In questa sezione ci occupiamo degli integrali relativamente al caso di integrali in una variabile. Troverete così moltissime informazioni sugli integrali per le scuole superiori e per l’esame di Analisi 1. Le risorse disponibili comprendono sia lezioni teoriche, sia esercizi svolti sugli integrali.
Nella prima parte affronteremo lo studio degli integrali indefiniti, a partire dal problema della ricerca delle antiderivate. Presenteremo così tutte le principali tecniche di integrazione (integrazione per parti, integrazione per sostituzione, metodo dei fratti semplici e molto altro ancora).
In particolare, per l’integrazione delle funzioni razionali (rapporti tra polinomi) offriremo fin da subito le spiegazioni di tutte le principali tecniche, condensate in un paio di lezioni molto complete. Proseguiremo poi con delle lezioni di approfondimento per rivedere nel dettaglio ciascuna tecnica. Così, studieremo con particolare attenzione il calcolo degli integrali fratti tramite la divisione tra polinomi e il metodo dei fratti semplici. Nello specifico, presenteremo numerosi esempi relativi alla tecnica di decomposizione in frazioni parziali. Inoltre, dedicheremo ampio spazio anche agli integrali con delta negativo.
Per quanto riguarda il calcolo degli integrali delle funzioni irrazionali (integrali con radici) sono inoltre disponibili numerose lezioni. Nelle prime lezioni l’idea sarà quella di adattare l’approccio generale dell’integrazione per sostituzione al caso degli integrali con radici. Nelle lezioni successive mostreremo invece dei metodi più specifici: le sostituzioni di Eulero e le tecniche per gli integrali con differenziale binomio.
Concludono la parte sugli integrali indefiniti delle lezioni relative alla integrazione delle funzioni trigonometriche. Si comincerà con l’utilizzo delle tecniche di integrazione per parti e per sostituzione, per poi procedere con i metodi più specifici per prodotti di funzioni trigonometriche, anche con potenze e con argomenti multipli interi.
Per gli integrali definiti forniremo delle lezioni che ne illustrano e dimostrano le proprietà. Cominceremo dalla definizione dell’integrale secondo Riemann, stabilendo un criterio di integrabilità, fino ad arrivare al teorema fondamentale del calcolo integrale.
In tutte le lezioni presenteremo spesso più metodi risolutivi per un dato problema. In tal modo, sarà possibile risolvere gli esercizi sia adottando degli schemi generali, sia utilizzando tecniche più specialistiche. Così, vedremo ad esempio come uno stesso integrale possa essere calcolato sia per parti, sia per sostituzione.
Integrali indefiniti
Nozioni di base
- Antiderivate (integrali indefiniti)
- Integrali fondamentali (con tabella)
- Regole di integrazione di base
Tecniche di integrazione e loro applicazioni
- Integrazione per parti (per integrali di prodotti di funzioni)
- Integrazione per sostituzione
- Sostituzioni con esponenziali e logaritmi negli integrali
Integrali di funzioni razionali (lezioni intensive)
- Calcolo degli integrali del reciproco di polinomi
- Integrali di funzioni razionali (rapporti tra polinomi)
Integrali di funzioni irrazionali (nozioni di base)
- Integrali di funzioni irrazionali (integrali con radici, metodo generale)
- Integrale di una funzione razionale sotto radice
Regole di uso pratico nell’integrazione per sostituzione
- Differenziale e integrazione per sostituzione (i differenziali negli integrali)
- Integrali immediati generalizzati
Ulteriori tecniche per gli integrali irrazionali
- Sostituzioni negli integrali con radici (casi difficili)
- Sostituzioni di Eulero (per integrali con radici)
- Integrali con differenziale binomio
- Confronto tra i metodi risolutivi per gli integrali irrazionali
- Sostituzioni iperboliche negli integrali
Calcolo degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche
- Integrali delle funzioni trigonometriche
- Calcolo degli integrali trigonometrici con sostituzioni parametriche
- Integrali con potenze di funzioni trigonometriche
- Integrali trigonometrici con le formule di duplicazione
- Calcolo degli integrali trigonometrici con argomento multiplo intero
Lezioni specifiche per gli integrali indefiniti di funzioni razionali (integrali fratti)
- Integrali con la divisione tra polinomi
- Integrali di funzioni razionali con denominatore di secondo grado (con denominatore di grado maggiore del numeratore e scomponibile in fattori)
- Integrali di funzioni razionali con delta negativo
- Metodo dei fratti semplici (tecnica della decomposizione in frazioni parziali)
- Integrali di funzioni razionali con insieme la divisione tra polinomi e il metodo dei fratti semplici
Integrali indefiniti delle funzioni elementari (non immediati)
- Integrale dell’esponenziale
- Integrale del logaritmo
- Integrale della secante
- Integrale della cosecante
- Integrale dell’arcoseno
- Integrale dell’arcocoseno
- Integrale dell’arcotangente
Integrali definiti
- Integrale definito secondo Riemann: definizione
- Integrabilità di una funzione: criterio di integrabilità
- Classi di funzioni integrabili (con dimostrazioni)
- Additività dell’integrale definito rispetto agli estremi di integrazione
- Linearità dell’integrale definito (omogeneità e linearità rispetto alla somma)
- Ulteriori proprietà degli integrali definiti (teoremi con dimostrazioni)
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Teorema della media integrale
- Integrali definiti per sostituzione (con esempi)
Esercizi correlati alle lezioni
- Esercizi sugli integrali fratti (integrali di funzioni razionali)
- Esercizi sugli integrali per parti
- Esercizi sugli integrali per sostituzione
- Esercizi sulle sostituzioni iperboliche negli integrali (per universitari)
- Esercizi sugli integrali con radici (per universitari)
Approfondimenti
- Uso della costante additiva negli integrali indefiniti
- Come calcolare gli integrali per sostituzione (spiegazioni intuitive a partire dalla derivata di una funzione composta)
Guida all’utilizzo delle lezioni
Le lezioni disponibili in questa sezione sono realizzate sia per gli studenti delle scuole superiori, sia per gli studenti universitari. Avvertiamo comunque che diverse lezioni sono intese solamente per gli studenti universitari. L’uso ad esempio delle sostituzioni di Eulero e delle sostituzioni iperboliche riguarda di solito unicamente gli studenti universitari.
Per quanto riguarda inoltre gli i. definiti, le lezioni qui proposte contengono dimostrazioni dettagliate e sono anch’esse destinate prevalentemente agli studenti universitari.
In ogni caso, tutte le lezioni sono state scritte in modo da essere chiare a tutti. Di conseguenza, regolandosi in base al programma scolastico ogni studente anche non universitario può comunque utilizzare proficuamente ciascuna lezione qui presentata.
Ogni lezione non è solo teorica ma anche applicativa. Potrete infatti trovare all’interno delle lezioni teoriche moltissimi esercizi svolti e commentati, passaggio per passaggio. In tal modo, i concetti teorici presentati sono sempre accompagnati dai corrispondenti risvolti applicativi.
E’ inoltre sempre bene ricordare l’importanza di una buona conoscenza delle funzioni elementari e delle loro proprietà. Nessun problema: qui su Altramatica potete trovare delle ampie sezioni che trattano le funzioni elementari:
Inoltre, per affrontare le lezioni di questa sezione è senza dubbio fondamentale una sicura conoscenza delle derivate e dei limiti. Per uno studio approfondito o per un semplice ripasso, sono disponibili le seguenti sezioni:
La conoscenza delle derivate è importantissima da un punto di vista applicativo per vari motivi. Ad esempio, nei cambi di variabile saper derivare è necessario per calcolare il differenziale nella nuova variabile. Inoltre, il calcolo delle derivate è anche un utile strumento per verificare i risultati degli esercizi. Infatti, se deriviamo una qualsiasi primitiva (o antiderivata) otteniamo la funzione di partenza.
Anche dal punto di vista teorico le derivate hanno una notevole importanza, poiché insieme ai limiti vengono utilizzate in molte delle dimostrazioni dei teoremi presenti in questa sezione.
Infine, osserviamo che in questo corso di lezioni abbiamo preferito anzitutto studiare approfonditamente il problema della ricerca delle primitive o antiderivate, per poi presentare lo studio degli i. definiti solo in un secondo momento. Chiaramente, l’ordine delle lezioni così come è presentato in questa sezione è facoltativo e ciascuno potrà studiare i vari argomenti secondo l’ordine utilizzato nel proprio corso di studi.
Buono lavoro a tutti voi! 🙂
