Vediamo ora come calcolare gli integrali del reciproco di polinomi (integrali indefiniti). Lo studio di questo tipo di integrali sarà importante come preparazione per le successive lezioni sul calcolo degli integrali di funzioni razionali. Per integrali di funzioni razionali intendiamo il calcolo dell’integrale indefinito di una data funzione che si presenta come rapporto tra polinomi.
E’ appena il caso di ricordare come preparazione allo studio degli integrali indefiniti dei reciproci di polinomi che, dato un polinomio generico \( p(x) \), il suo reciproco è \( \dfrac{1}{p(x)} \). Ciò è del tutto simile al caso del reciproco di un numero.
Osserviamo che saper calcolare gli integrali del reciproco di polinomi vuol dire automaticamente saper calcolare gli integrali indefiniti nel caso di frazioni algebriche della forma \( \dfrac{A}{p(x)} \), ove \( A \) è una costante arbitraria e \( p(x) \) un generico polinomio. Infatti, per la regola dell’integrale del prodotto di una funzione per una costante si ha:
\[ \int \dfrac{A}{p(x)}\, dx =A \int \dfrac{1}{p(x)}\, dx \]
Così il calcolo di integrali indefiniti come quello di partenza si riconduce al calcolo di integrali indefiniti del reciproco di polinomi.
Fatte le dovute premesse vediamo subito come calcolare gli integrali del reciproco di polinomi nei vari casi. 😉
Calcolo degli integrali del reciproco di polinomi
Ci occuperemo del calcolo degli integrali del reciproco di polinomi considerando polinomi di primo e secondo grado. Per quanto riguarda i polinomi di secondo grado, ci occuperemo sia del caso di polinomi scomponibili in fattori, sia del caso relativo a polinomi che non possono essere scomposti in fattori.
Integrale del reciproco di un binomio di primo grado
Il caso più semplice è relativo al calcolo dell’integrale indefinito:
\[ \int \dfrac{1}{x} \, dx \]
Si tratta di un integrale fondamentale ed abbiamo:
\[ \int \dfrac{1}{x} \, dx= \ln |x|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Consideriamo ora un integrale del tipo:
\[ \int \dfrac{1}{x+\alpha} \, dx , \qquad \alpha \in \mathbb{R} \]
Passando direttamente ad un esempio:
\[ \int \dfrac{1}{x+2} \, dx \]
In questo caso basta osservare che la derivata di un qualsiasi binomio del tipo \( x-\alpha \) è uguale a \( 1 \). E poiché ovviamente si ha:
\[ \int \dfrac{1}{x+2} \, dx=\int \dfrac{1}{x+2} \cdot 1\, dx \]
possiamo tranquillamente affermare che l’espressione da integrare è una funzione composta moltiplicata per la derivata del suo argomento. Infatti, \( \dfrac{1}{x+2} \) è una funzione composta ove la funzione esterna è \( f(x)=\dfrac{1}{x} \) e la funzione interna è \( g(x)=x+2 \). E si ha \( g'(x)=1 \). Così, possiamo applicare la tecnica di integrazione per sostituzione con la prima formula. In generale si ha:
\[ \int f(g(x)) \cdot f'(x) \, dx = F(g(x))+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Nel nostro caso:
\[ \int \overbrace{{\dfrac{1}{\underbrace{\boxed{x+2}}_{g(x)}}}}^{f(g(x))} \, dx=\int \dfrac{1}{x+2} \cdot \overbrace{1}^{g'(x)}\, dx=\ln |x+2|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Come regola generale possiamo quindi scrivere:
\[ \int \dfrac{1}{x+\alpha} \, dx = \ln |x+\alpha|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Detta \( A \) un’altra costante reale, per la regola dell’integrale del prodotto di una costante per una funzione avremo inoltre:
\[ \int \dfrac{A}{x+\alpha} \, dx =A \int \dfrac{1}{x+\alpha} \, dx = A \cdot \ln |x+\alpha|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ad esempio:
\[ \int \dfrac{2}{x+7} \, dx = 2 \int \dfrac{1}{x+7} \, dx =2 \ln |x+7|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Resta ora da esaminare il caso nel quale il coefficiente del termine in \( x \) del binomio di primo grado sia diverso da \( 1 \):
\[ \int \dfrac{1}{\beta x+\alpha} \, dx, \qquad \alpha, \: \beta \in \mathbb{R}, \: \beta \neq 1 \]
Ad esempio, consideriamo l’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{4x-5}\, dx \]
Stavolta la derivata della funzione \( g(x)=4x-5 \) è pari a \( 4 \). Ma non compare alcun fattore \( 4 \) nell’espressione da integrare. L’idea più semplice è moltiplicare e dividere l’espressione da integrare per \( 4 \). Si ha:
\[ \int \dfrac{1}{4x-5}\, dx=\int \dfrac{4}{4}\cdot \dfrac{1}{4x-5} \, dx =\dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{4x-5} \cdot 4 \, dx \]
ma a questo punto ci ritroviamo all’interno dell’integrale con un fattore uguale alla derivata dell’argomento della funzione composta \( \dfrac{1}{4x-5} \). Abbiamo quindi:
\[ \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{4x-5} \cdot 4 \, dx= \dfrac{1}{4} \ln |4x-5|+c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Ora, mettiamo insieme tutto quanto sin qui appreso e calcoliamo un altro integrale:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{5}{2x+8} \, dx=5\int \dfrac{1}{2x+8} \, dx=5 \int \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{1}{2x+8}\, dx = \\ \\ & = \dfrac{5}{2} \int \dfrac{2}{2x+8} \, dx = \dfrac{5}{2}\ln|2x+8|+c, \qquad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Integrale indefinito del reciproco di una potenza di un binomio di primo grado
Consideriamo ora integrali del reciproco di potenze di binomi di primo grado, ovvero integrali della forma:
\[ \int \dfrac{1}{(x+\alpha)^n} \, dx, \qquad n > 1 \]
Per le proprietà degli esponenti negativi si ha:
\[ \int \dfrac{1}{(x+\alpha)^n} \, dx=\int (x+\alpha)^{-n} \, dx \]
In tal modo ci siamo ricondotti all’integrale di una funzione potenza. Se necessario, adotteremo gli eventuali aggiustamenti per ritrovare un fattore pari alla derivata della base della potenza, nell’eventualità in cui la base è una funzione.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \int \dfrac{1}{(x-7)^5} \, dx \]
Si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{1}{(\underbrace{x-7}_{g(x)})^5} \, dx=\int (x-7)^{-5} \cdot \underbrace{1}_{g'(x)} \, dx= \\ \\ & =\dfrac{1}{-5+1}\cdot(x-7)^{-5+1}+c= -\dfrac{1}{4(x-7)^4}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Esempio 2
Calcolare:
\[ \int \dfrac{8}{(2x-7)^3} \, dx \]
Si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{8}{(2x-7)^3} \, dx=8 \int \dfrac{1}{(2x-7)^3}\cdot \dfrac{2}{2} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{8}{2} \int \dfrac{2}{(2x-7)^3} \, dx = 4 \int (2x-7)^{-3} \cdot 2 \, dx = \\ \\ & = 4 \cdot \dfrac{1}{-3+1} \cdot (2x-7)^{-3+1} +c = -\dfrac{2}{(2x-7)^2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Integrali del reciproco di polinomi con polinomio di secondo grado
Concludiamo la lezione esaminando il problema del calcolo dell’integrale indefinito del reciproco di un polinomio di secondo grado. Distingueremo due casi:
- il polinomio è scomponibile in fattori;
- il polinomio non è scomponibile in fattori (nei reali).
Polinomio di secondo grado al denominatore scomponibile
Consideriamo l’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{x^2+x-2} \, dx \]
Il polinomio al denominatore è scomponibile in fattori. Infatti, per la regola del trinomio caratteristico o utilizzando gli zeri dell’equazione di secondo grado \( x^2+x-2 = 0 \) si ha:
\[ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \]
Per l’espressione da integrare si ha allora l’uguaglianza:
\[ \dfrac{1}{x^2+x-2}=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)} \]
Per calcolare l’integrale di partenza, l’idea è quella di riscrivere l’espressione da integrare come somma del reciproco di binomi. Ed i binomi da utilizzare sono proprio quelli che compaiono nella scomposizione in fattori del denominatore \( x^2+x-2 \). Vogliamo cioè essere in grado di esprimere l’espressione da integrare come segue:
\[ \dfrac{1}{x^2+x-2}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2} \qquad (@) \]
ove \( A, \: B \) sono dei valori che dovremo determinare.
Mettiamo a denominatore comune i termini a secondo membro. Si ha:
\[ \dfrac{1}{x^2+x-2}=\dfrac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)} \]
Ma i denominatori delle frazioni a primo e secondo membro sono uguali. Di conseguenza, affinché l’uguaglianza sia verificata i numeratori a primo e secondo membro dovranno essere tra loro uguali:
\[ A(x+2)+B(x-1)=1 \qquad (*) \]
L’uguaglianza dovrà essere verificata per ogni \( x \), ed in particolare anche per i valori della \( x \) che annullano rispettivamente il fattore \( x+2 \) e il fattore \( x-1 \). Effettuando una alla volta queste sostituzioni ci ritroveremo rispettivamente con un’uguaglianza nella sola incognita \( A \) e nella sola incognita \( B \), quindi facilmente risolvibile.
Per cominciare abbiamo \( x+2 = 0 \: \iff \: x = -2 \). Poniamo allora \( x = -2 \). La precedente uguaglianza (*) diviene:
\[ A \cdot 0+ B (-2-1) = 1 \]
otteniamo:
\[ -3B=1 \quad \Rightarrow \quad B = -\dfrac{1}{3} \]
Ora ripartiamo dall’uguaglianza (*). Stavolta sostituiamo il valore della \( x \) che annulla il fattore \( x-1 \), ovvero \( x=1 \). Si ha:
\[ A(1+2)+B\cdot 0=1 \quad \Rightarrow \quad 3A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \dfrac{1}{3} \]
A questo punto sostituiamo i valori ottenuti per \( A \) e \( B \) nell’uguaglianza (@). Si ha:
\[ \dfrac{1}{x^2+x-2}=\dfrac{\frac{1}{3}}{x-1}+\dfrac{-\frac{1}{3}}{x+2} = \dfrac{1}{3(x-1)}-\dfrac{1}{3(x+2)} \]
Abbiamo così riscritto l’espressione da integrare come somma di particolari frazioni algebriche dette frazioni parziali. In questo modo, sfruttando la regola dell’integrale della somma, possiamo riscrivere l’integrale di partenza come:
\[ \int \dfrac{1}{x^2+x-2} \, dx=\int \dfrac{1}{3(x-1)} \, dx – \int \dfrac{1}{3(x+2)}\, dx \]
A questo punto ci ritroviamo a calcolare degli integrali di reciproci di binomi di primo grado, che abbiamo già visto nei casi precedenti. Proseguendo i passaggi otteniamo:
\[ \int \dfrac{1}{3(x-1)} \, dx – \int \dfrac{1}{3(x+2)}\, dx=\dfrac{\ln |x-1|}{3}-\dfrac{\ln |x+2|}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
e quindi in conclusione:
\[ \int \dfrac{1}{x^2+x-2} \, dx= \dfrac{\ln |x-1|}{3}-\dfrac{\ln |x+2|}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Possiamo semplificare ulteriormente il risultato grazie alle proprietà dei logaritmi (regola del logaritmo del rapporto applicata in senso inverso). Si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{1}{x^2+x-2} \, dx= \dfrac{\ln |x-1|}{3}-\dfrac{\ln |x+2|}{3}+c = \\ \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot \ln \left| \dfrac{x-1}{x+2}\right |+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Integrali indefiniti del reciproco di polinomi nel caso di polinomio non scomponibile in fattori
Consideriamo ora un paio di esempi relativi al caso del calcolo degli integrali indefiniti del reciproco di un polinomio non scomponibile in fattori. Il trucco consiste nel ricondursi all’integrale fondamentale:
\[ \int \dfrac{1}{x^2+1} \, dx = \arctan x + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
rileggendolo grazie alla prima formula di integrazione per sostituzione nella forma generalizzata:
\[ \int \dfrac{1}{[k(x)]^2+1}\cdot k'(x)\, dx = \arctan k(x) + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Per fare questo bisognerà riscrivere il polinomio a denominatore della funzione da integrare nella forma \( [k(x)]^2+1 \). Gli esempi mostrano chiaramente la procedura. 😉
Esempio 1
Consideriamo l’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{x^2-2x+5} \, dx \]
Il polinomio a denominatore non è scomponibile in fattori. Infatti, non è possibile applicare la tecnica di scomposizione del trinomio caratteristico e non è nemmeno possibile trovare degli zeri reali per il polinomio. Di conseguenza non è possibile utilizzare nemmeno la regola della scomposizione tramite le equazioni di secondo grado.
L’idea è riscrivere il polinomio nella forma:
\[ x^2-2x+5=(\dots)^2+1 \]
ovvero come il quadrato di una quantità incognita sommato ad \( 1 \). Sia detta quantità ad esempio \( k(x) \) (la quantità è dipendente da \( x \)). Dovremo allora ricondurre l’integrale alla forma:
\[ \int \dfrac{1}{x^2-2x+5} \, dx=\int \dfrac{1}{[k(x)]^2+1} \cdot \dfrac{d}{dx}k(x)\, dx \]
In tal modo potremo scrivere:
\[ \int \dfrac{1}{[k(x)]^2+1} \cdot \dfrac{d}{dx}k(x)\, dx= \arctan [k(x)]+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
in modo da ottenere il risultato dell’integrale di partenza.
Il metodo risolutivo consiste nel considerare soltanto i termini in \( x^2 \) e \( x \) del polinomio a denominatore e costruire a partire da essi il quadrato di un binomio. Si ha nel nostro caso:
\[ x^2-2x \quad \Rightarrow x^2 = (x)^2, \quad -2x = 2 \cdot (-1) \cdot x \]
Quindi \( x \) è il termine in \( x \) del binomio cercato e \( -1 \) è il termine noto del binomio stesso. Si ha:
\[ (x-1)^2=x^2-2x+1 \]
Possiamo allora riscrivere il polinomio di partenza come:
\[ x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=(x-1)^2+4 \]
Per cui lavorando sull’integrale di partenza:
\[ \begin{align} &\int \dfrac{1}{x^2-2x+5} \, dx=\int \dfrac{1}{(x-1)^2+4} \, dx=\int \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{4}{4}} \, dx = \\ \\ & = \int \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{(x-1)^2}{4}+1} \, dx = \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{x-1}{2} \right)^2+1} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{x-1}{2} \right)^2+1} \cdot \dfrac{2}{2} \, dx = \dfrac{2}{4} \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{x-1}{2} \right)^2+1} \cdot \dfrac{1}{2} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{1}{2} \arctan \left(\dfrac{x-1}{2} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Commentiamo i passaggi. Anzitutto abbiamo diviso numeratore e denominatore dell’espressione da integrare per una stessa quantità, scelta in modo da ritrovarci con un “più uno” a denominatore. Abbiamo inoltre riscritto la quantità \( \dfrac{(x-1)^2}{4} \) come \( \left(\dfrac{x-1}{2} \right)^2 \) in modo da ritrovare la quantità \( [k(x)]^2 \). Successivamente abbiamo moltiplicato e diviso dentro l’integrale per \( 2 \). L’operazione si è resa necessaria per avere un fattore pari alla derivata di \( k(x) \). In tal modo abbiamo potuto calcolare abbastanza agevolmente l’integrale.
Esempio 2
Vediamo un ultimo esempio sugli integrali indefiniti del reciproco di polinomi, sempre nel caso di polinomio non scomponibile.
Calcolare:
\[ \int \dfrac{1}{x^2+3x+3} \, dx \]
Anche in questo caso non è possibile scomporre nei reali il polinomio a denominatore. Consideriamo i due termini \( x^2 \) e \( 3x \) e completiamo il quadrato:
\[ x^2 \quad \Rightarrow \quad (x)^2, \qquad 3x= 2\cdot \dfrac{3}{2} \cdot x \]
Il binomio avrà dunque i termini \( x \) e \( \dfrac{3}{2} \):
\[ \left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2 = x^2+3x+\dfrac{9}{4} \]
Di conseguenza potremo calcolare l’integrale di partenza in modo del tutto simile a quanto visto nell’esempio precedente:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{1}{x^2+3x+3} \, dx = \int \dfrac{1}{x^2+3x+\underbrace{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}_{3}} \, dx=\int \dfrac{1}{\left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2+\dfrac{3}{4} }\, dx = \\ \\ & = \int \dfrac{\dfrac{1}{\frac{3}{4}}}{\dfrac{\left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2}{\dfrac{3}{4}}+\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{3}{4}}}\, dx = \int \dfrac{\dfrac{4}{3}}{\left(\dfrac{x+\dfrac{3}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \right)^2+1} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{4}{3}\int \dfrac{1}{\left(\dfrac{2x}{\sqrt{3}}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \right)^2+1} \, dx = \dfrac{4}{3}\int \dfrac{1}{\left(\dfrac{2x}{\sqrt{3}}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \right)^2+1} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\, dx = \\ \\ & = \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{2x}{\sqrt{3}}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \right)^2+1}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan \left(\dfrac{2x}{\sqrt{3}}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Per quanto riguarda gli integrali del reciproco di polinomi è tutto. Grazie allo studio degli integrali indefiniti del reciproco di polinomi abbiamo posto le basi per il calcolo degli integrali di funzioni razionali (rapporto tra polinomi). Per cui non perdetevi la prossima lezione sul calcolo degli integrali di funzioni razionali. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂