I vettori sono degli oggetti matematici utilizzati in fisica per descrivere grandezze rappresentate da una intensità, una direzione e un verso. Dal punto di vista dell’algebra lineare, i vettori sono degli enti che appartengono ad uno spazio vettoriale, e per i quali sono di conseguenza possibili le operazioni di somma e di prodotto di uno scalare per un vettore. In geometria, un vettore è definito come una classe di equivalenza di segmenti orientati aventi la stessa lunghezza, direzione e verso.
In questa sezione potete trovare una serie di lezioni sui vettori, destinate agli studenti dell’università (facoltà ad indirizzo tecnico-scientifico). In particolare, questa serie di lezioni è stata pensata per fornire delle utili competenze di base per gli esami di algebra lineare e geometria, analisi 2, fisica generale e meccanica razionale. In generale, qualsiasi disciplina che faccia uso del concetto di vettore.
Nella prima lezione introdurremo la definizione di segmento orientato, mostrando tutte le principali proprietà dei segmenti orientati. Ci occuperemo inoltre del problema della parametrizzazione di un segmento orientato.
Procederemo poi ad introdurre i vettori e la relativa definizione di vettore, mostrando la rappresentazione grafica di un vettore e fornendo il concetto di componenti cartesiane.
A tal punto, daremo il via allo studio delle operazioni fra vettori a cominciare dall’algebra dei vettori nel piano. E dopo aver introdotto il concetto di spazio tridimensionale, rileggeremo l’algebra dei vettori relativamente al caso dello stesso spazio tridimensionale.
Fatta così la conoscenza delle operazioni di somma e differenza tra vettori, prodotto di uno scalare per un vettore e delle nozioni di lunghezza o modulo di un vettore e di versore, procederemo con l’introdurre ulteriori importanti operazioni. Ci occuperemo in particolare del prodotto scalare e di come proiettare un vettore su un altro vettore, del prodotto vettoriale e per concludere del prodotto misto. Per ognuna di tali operazioni presenteremo la formula algebrica, la formula geometrica, dimostreremo dei teoremi e rifletteremo sul relativo significato geometrico.
Nella seconda parte di questa serie di lezioni ci occuperemo della geometria con i vettori, ovvero mostreremo l’utilizzo dei vettori nel descrivere particolari proprietà di enti geometrici dello spazio. In particolare, definiremo l’equazione cartesiana e le equazioni parametriche di un piano nello spazio e le equazioni parametriche e cartesiane di una retta nello spazio. Dopo di che, stabiliremo delle formule per il calcolo della distanza tra un punto e un piano, tra un punto e una retta e infine tra due rette nello spazio.
Infine, nella terza parte introdurremo le funzioni vettoriali e forniremo per esse delle regole relative al calcolo di limiti, derivate ed integrali, mutuandole dalle regole a suo tempo stabilite per le funzioni scalari (funzioni reali di variabile reale). Concluderemo poi questa serie di lezioni sui vettori con delle utili applicazioni relative alla fisica, introducendo le definizioni di velocità istantanea e di accelerazione istantanea.
In generale potrete trovare in ciascuna lezione degli esempi che spiegano come mettere in pratica le nozioni teoriche via via acquisite lungo questa serie di lezioni sui vettori per università.
Lezioni sui vettori (definizioni ed operazioni, per università)
- Segmenti orientati
- Definizione di vettore
- Algebra dei vettori nel piano
- Spazio tridimensionale
- Algebra dei vettori nello spazio
- Prodotto scalare
- Proiezione di un vettore su un altro vettore e coseni direttori
- Prodotto vettoriale
- Prodotto misto
Geometria con i vettori
- Equazione cartesiana di un piano
- Equazioni parametriche (scalari) di un piano ed equazione parametrica vettoriale
- Equazioni parametriche (scalari) di una retta nello spazio
- Le equazioni cartesiane di una retta nello spazio
- Distanza tra un punto e un piano nello spazio
- Distanza tra un punto e una retta nello spazio
- Distanza tra due rette nello spazio
Funzioni vettoriali
- Definizione di funzione vettoriale
- Limite di una funzione vettoriale
- Continuità delle funzioni vettoriali
- Derivata di una funzione vettoriale
- Integrale di una funzione vettoriale
- Velocità come derivata di una funzione vettoriale (velocità istantanea)
- Retta tangente ad una curva dello spazio in un punto
- Accelerazione istantanea