Una funzione vettoriale f(t) è continua in un punto c se il limite per t che tende a c di f(t) è uguale alla valutazione della funzione nel punto c, ovvero f(c). Questa è in breve la definizione di continuità per le funzioni vettoriali.
In questa lezione estendiamo il concetto di continuità di una funzione relativamente al caso delle funzioni vettoriali di una variabile reale, ovvero funzioni del tipo {\textbf{f}(t):D \rightarrow \R^n}, con {n > 1, \: n \in \N}. Ricordiamo che le funzioni vettoriali sono funzioni a valori vettoriali. In altre parole, la valutazione di una funzione vettoriale in un dato punto {c \in \R} corrisponde ad un vettore.
Abbiamo già visto la definizione di funzione continua relativamente al caso delle funzioni di una variabile reale e a valori reali. E in questa lezione, mostreremo quando si può parlare di continuità per le funzioni vettoriali. Ci occuperemo anche dei teoremi sulle funzioni vettoriali continue.
Definizione di continuità per le funzioni vettoriali
Una funzione vettoriale {\textbf{f}(t)} di una variabile reale è continua in un punto {c \in \R} se:{\lim_{t \to c}\textbf{f}(t)=\textbf{f}(c)}Diversamente, se la funzione non è continua in un punto {c}, ovvero non rispetta la precedente condizione, allora diciamo che la funzione è discontinua in {c}.
Ora, per quanto visto nella precedente lezione sui limiti delle funzioni vettoriali, se esiste il limite:
\lim_{t \to c}\textbf{f}(t)allora esistono necessariamente anche i limiti scalari:
\lim_{t \to c}f_x(t), \quad \lim_{t \to c}f_y(t), \quad \lim_{t \to c}f_z(t)Così, in particolare, se una funzione vettoriale è continua in un punto {c}, ovvero:
\lim_{t \to c}\textbf{f}(t)=\textbf{f}(c)allora dovranno essere continue nel punto {c} anche le corrispondenti funzioni scalari:
\small \lim_{t \to c}f_x(t)=f_x(c), \qquad \lim_{t \to c}f_y(t)=f_y(c), \qquad \lim_{t \to c}f_z(t)=f_z(c)Seguendo questo ragionamento, è possibile testare la continuità di una funzione vettoriale {\textbf{f}(t)} controllando se le funzioni scalari date dalle componenti di {f}(t) sono continue. In tal modo, riconduciamo la verifica della continuità di una funzione vettoriale in un dato punto {c} alla verifica della continuità di funzioni scalari in quello stesso punto {c}. Ma vediamo subito un esempio.
Esempio (continuità di una funzione vettoriale)
Stabilire se la funzione vettoriale {\textbf{f}(t)=\sin(t)\textbf{i}+3t\textbf{j}-\ln|t-2|\textbf{k}} è continua nel punto {c=2}.
Per verificare se la funzione data è continua nel punto {c=2} basta verificare se sono continue le seguenti funzioni:
\sin t, \qquad 3t, \qquad -\ln| t-2|
Le prime due funzioni sono continue in tutto {\R}, ma la terza funzione non è continua in {c=2}. Di conseguenza, la funzione vettoriale di partenza non è continua nel punto {c=2}.
Teoremi sulle funzioni vettoriali continue
Enunciamo senza dimostrare i teoremi sulle funzioni vettoriali continue, che raggruppiamo per brevità in un unico teorema.
Teorema. Se due funzioni vettoriali {\textbf{f}(t)} e {\textbf{g}(t)} sono continue in un punto {c}, una funzione scalare {f(t)} è anch’essa continua in {c}, ed inoltre {\lambda} è una costante, allora:
{\textbf{f}(t)+\textbf{g}(t)} è continua in {c};
{\textbf{f}(t) \times \textbf{g}(t)} è continua in {c};
{\lambda \cdot \textbf{f}(t)} è continua in {c};
{\textbf{f}(t) \land \textbf{g}(t)} è continua in {c};
{f(t) \cdot \textbf{f}(t)} è continua in {t}.
In altre parole, se sappiamo che due funzioni vettoriali sono continue in un dato punto {c}, allora la funzione data dalla somma delle due stesse funzioni vettoriali sarà anch’essa continua in {c}, la funzione data dal prodotto scalare delle due stesse funzioni sarà ancora continua in {c}, e così via.
Conclusioni
Per quanto riguarda la continuità delle funzioni vettoriali per questa lezione è tutto. Come abbiamo visto, per le funzioni vettoriali riguardo alla continuità valgono delle considerazioni del tutto simili a quelle viste a suo tempo per le funzioni scalari.
Nella prossima lezione ci occuperemo del concetto di derivata ritradotto al caso delle funzioni vettoriali. Buono studio a tutti voi!