Nella prima lezione faremo la conoscenza del teorema di Pitagora. Si tratta di un teorema importantissimo e sicuramente il più famoso della trigonometria. Il teorema di Pitagora ci permetterà di effettuare la risoluzione dei triangoli rettangoli a partire dalla conoscenza di due lati. Questi potranno essere i due cateti, oppure un cateto e l’ipotenusa.
Estenderemo poi subito le nostre conoscenze introducendo le funzioni trigonometriche in modo graduale. Il percorso che faremo inizierà con una semplice introduzione alle tecniche per risolvere i triangoli rettangoli mediante l’uso di tali funzioni. In particolare, mostreremo le esigenze che hanno portato alla definizione delle funzioni coseno, seno e tangente per risolvere i triangoli rettangoli. E vedremo come la conoscenza di queste funzioni ci permetterà di risolvere i triangoli rettangoli in modo più flessibile rispetto al teorema di Pitagora.
Nello specifico, mostreremo in tale contesto come sia possibile la risoluzione dei triangoli rettangoli a partire soltanto dalle definizioni delle funzioni trigonometriche, dai principi di similitudine dei triangoli e da semplici proporzioni aritmetiche. L’idea chiave sarà quella di risolvere i problemi sui triangoli a partire da opportuni triangoli di riferimento rappresentati sulla circonferenza goniometrica.
Nelle lezioni successive seguiremo invece un approccio più diretto, effettuando una sintesi dei risultati ottenuti. Ci svincoleremo cioè dalla circonferenza goniometrica e impareremo a risolvere i triangoli rettangoli grazie ai teoremi sui triangoli rettangoli. Questo ci permetterà di risolvere in modo più rapido i triangoli rettangoli stessi, senza dover impostare proporzioni e senza dover più rappresentare il triangolo da risolvere sulla circonferenza goniometrica. Tuttavia, saremo comunque consapevoli che dietro alle formule che utilizzeremo ci saranno sempre i concetti elementari introdotti nella parte precedente.
L’obiettivo delle lezioni sui triangoli rettangoli è in definitiva quello di mostrare i concetti anzitutto a livello elementare, presentando le definizioni come risposte ad esigenze crescenti, mostrando l’utilizzo di strumenti il più possibile elementari per risolvere i problemi. Introdurre poi i teoremi sui triangoli rettangoli sarà poi un passo irrinunciabile per acquisire rapidità nel risolvere gli esercizi e per avere una sintesi dei principi.
La fase successiva consisterà nello studio di triangoli qualsiasi (non più necessariamente rettangoli). Così ad esempio mostreremo come calcolare l’area di un triangolo qualunque. Presenteremo poi importanti teoremi quali il teorema della corda, il teorema dei seni e il teorema del coseno. E rifletteremo sulle loro conseguenze e sulle proprietà che ne derivano. Tra parentesi, il teorema del coseno è anche conosciuto come teorema di Carnot.
Risolvere i triangoli (definizioni, teoremi e formule)
- Teorema di Pitagora (con semplice dimostrazione ed esempi)
- Esercizi e problemi sul teorema di Pitagora (svolti e commentati)
- Introduzione allo studio dei triangoli rettangoli (funzioni coseno e seno)
- Introduzione allo studio dei triangoli rettangoli (funzione tangente)
- Teoremi sui triangoli rettangoli (con dimostrazioni)
- Esercizi sui triangoli rettangoli (applicazione dei teoremi)
- Teorema per il calcolo dell’area di un triangolo qualunque
- Teorema della corda
- Teorema dei seni
- Teorema del coseno (o teorema di Carnot)
