Oltre alle lezioni teoriche riportate a seguire sono anche disponibili numerosi esercizi svolti sulle derivate.
Nella prima parte di questo corso di lezioni introdurremo la definizione di derivata, riguardando le derivate come particolari rapporti tra quantità infinitamente piccole (infinitesime). Partiremo anzitutto dai concetti di variabile indipendente e variabile dipendente di una funzione, per poi arrivare alla definizione di derivata come un rapporto ove a denominatore compare l’incremento infinitesimo della variabile indipendente e a numeratore il corrispondente incremento della variabile dipendente. E vedremo come la nozione di limite si riveli fondamentale proprio per effettuare il passaggio da incrementi finiti a incrementi infinitamente piccoli.
Vedremo in particolare che la funzione derivata esprime tale rapporto tra i suddetti incrementi infinitesimi per un punto generico, mentre la derivata di una funzione in un punto è un numero che rappresenta tale rapporto per il punto scelto.
Introdurremo poi la nozione di derivabilità di una funzione e ci concentreremo in modo particolare sulla relazione tra continuità e derivabilità di una funzione in un punto.
Sarà poi la volta di spiegare il significato geometrico del concetto di derivata anche mostrando come determinare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto.
Nella seconda parte di questa sezione sulle derivate ci concentreremo sulle tecniche di calcolo delle derivate, introducendo e dimostrando delle regole di pratico utilizzo. Ciò fornirà degli agili strumenti per il calcolo delle derivate.
Così, partiremo dalle derivate fondamentali (derivate delle funzioni elementari) per poi introdurre le regole di derivazione delle funzioni e i teoremi della derivata della funzione composta e della derivata della funzione inversa.
Nella terza parte svilupperemo l’importante tema della teoria sullo studio di funzioni. Presenteremo in particolare la definizioni di punti di massimo e minimo relativi ed assoluti, di punti di flesso, di crescenza, decrescenza e concavità. Enunceremo e dimostreremo inoltre i teoremi che consentono di stabilire le regole per poter studiare una funzione e tracciarne il grafico. Tra questi il teorema di Fermat, i teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange e i teoremi sulla derivata prima e derivata seconda.
Lezioni sulle derivate
Definizioni e regole per il calcolo delle derivate
- Derivata di una funzione (introduzione e prime definizioni)
- Significato geometrico della derivata
- Retta tangente al grafico di una funzione in un punto
- Derivabilità di una funzione in un punto
- Derivabilità e continuità (funzione continua e funzione derivabile)
- Derivate fondamentali (introduzione e dimostrazioni)
- Tabella delle derivate fondamentali e principali regole di calcolo delle derivate di funzioni
- Calcolo delle derivate (regole e dimostrazioni)
- Teorema della derivata della funzione composta, con regole ed esempi sulla chain rule
- Derivata della funzione inversa
- Derivate di ordine superiore (derivate successive)
Teoria sullo studio di funzione
- Introduzione allo studio delle funzioni (semplici considerazioni sulla ricerca di massimi e minimi relativi)
- Massimi e minimi relativi ed assoluti
- Teorema di Fermat (individuare i possibili punti di massimo e minimo locali)
- Teorema di Rolle, teorema di Cauchy e teorema di Lagrange
- Significato geometrico dei teoremi di Rolle e Lagrange
- Dimostrazione alternativa del teorema di Lagrange (o teorema del valor medio)
- Funzioni crescenti e decrescenti (teorema crescenza/decrescenza delle funzioni)
- Studio del segno della derivata prima (per punti di massimo e minimo locali)
- Concavità di una funzione (introduzione e definizioni)
- Definizione di punto di flesso (con regole per individuare i punti di flesso)
- Metodo delle derivate successive (per ricercare estremanti e punti di flesso)
- Distinguere tra massimi e minimi relativi ed assoluti
- Studio di funzione: come disegnare il grafico di una funzione
Esercizi svolti sulle derivate e studi di funzione
Sviluppi di Taylor (per universitari)
- Il polinomio di Taylor
- Sviluppi in serie di Taylor con c=0 delle funzioni elementari
- Definizione di o-piccolo ed algebra degli o-piccolo
- Come calcolare gli sviluppi di Taylor delle funzioni non elementari
Le differenti definizioni di derivata (una precisazione sulla convenzione utilizzata nelle lezioni)
Per meglio comprendere le precisazioni qui riportate è importante conoscere la definizione di derivata.
Nelle lezioni teoriche viene introdotta la definizione di derivata secondo la seguente notazione:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
Tuttavia, spesso l’incremento della variabile indipendente \( \Delta x \) viene espresso mediante la lettera \( h \):
\[ \dfrac{d}{dx}f(x)= \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Nulla cambia rispetto alla precedente notazione. Qui su Altramatica utilizzeremo la prima notazione poiché anche se meno comune rende più chiare le varie definizioni e rende più agili ed immediate le dimostrazioni. L’importante è solo tenere conto che \( \Delta x \) va inteso come una variabile differente rispetto ad \( x \).
Ora, le precedenti notazioni indicano la funzione derivata. Volendo invece rappresentare la derivata in un punto \( x_0 \), che è un valore numerico, avremo:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
e:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x_0)= \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
E’ infine importante sottolineare che la definizione di derivata in un punto \( x_0 \) può anche essere data come segue:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x_0)= \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Ciò si giustifica osservando che l’affermazione \( \Delta x \to 0 \) è equivalente a \( x \to x_0 \).