In questa lezione vediamo più in dettaglio le regole per il calcolo delle derivate di funzioni (regole di derivazione). Dopo aver visto le regole per il calcolo delle derivate di funzioni elementari (regole di derivazione per le derivate fondamentali), ora ci concentreremo sul calcolo delle derivate di funzioni non elementari. In particolare, approfondiremo le regole che già abbiamo presentato nella tabella N. 4 delle derivate.
Per il calcolo delle derivate di funzioni non elementari faremo uso delle nostre conoscenze sulle derivate fondamentali. Infatti, potremo riguardare ad esempio una data funzione non elementare come una somma (algebrica) di funzioni elementari. Oppure, potremo vedere una certa funzione come un prodotto tra funzioni elementari.
Sarà così possibile utilizzare di volta in volta quanto sappiamo sul calcolo delle derivate delle funzioni elementari, tuttavia secondo determinate regole che ora presenteremo. Vedremo che la derivata di una somma (algebrica) di funzioni elementari è pari alla somma (algebrica) delle derivate delle singole funzioni. Più complicato invece sarà il discorso nel caso di prodotti e rapporti.
Studieremo così i vari casi delle regole di calcolo delle derivate (regole di derivazione), ovvero i casi della derivata della somma o differenza di funzioni, della derivata del prodotto tra funzioni e infine della derivata del rapporto tra funzioni. Per ciascuna regola presenteremo vari esempi e la relativa dimostrazione. Studieremo anche la regola della derivata del prodotto di una costante per una funzione, ma mostreremo come questa non sia che un caso particolare della regola della derivata del prodotto tra due funzioni. 😉
Nel dimostrare le regole di derivazione ragioneremo sugli incrementi \( \Delta x \) e \( \Delta y \), passando poi al limite per far tendere a zero l’incremento \( \Delta x \), secondo quanto già visto per la definizione di derivata.
Regole per il calcolo delle derivate di funzioni non elementari (regole di derivazione)
Riportiamo a seguire gli enunciati delle regole di derivazione. Seguiranno esempi sul loro utilizzo e nella parte finale della lezione presenteremo le dimostrazioni.
Calcolo delle derivate: derivata della somma (algebrica) di funzioni
La derivata della somma (algebrica) di funzioni è pari alla somma (algebrica) delle derivate di ciascuna funzione:
\[ \dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = \dfrac{d}{dx}f(x)+\dfrac{d}{dx}g(x) \]
In caso di segno meno:
\[ \dfrac{d}{dx}[f(x)-g(x)] = \dfrac{d}{dx}f(x)-\dfrac{d}{dx}g(x) \]
Negli enunciati abbiamo considerato la somma di due funzioni, ma la regola si applica allo stesso modo per la somma di un numero di funzioni qualsiasi. Ad esempio, nel caso di tre funzioni:
\[ \dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)+h(x)] = \dfrac{d}{dx}f(x)+\dfrac{d}{dx}g(x)+\dfrac{d}{dx}h(x) \]
EsempiO
\[ \dfrac{d}{dx}(x^2+\ln x) \]
Per derivare la funzione \( x^2+\ln x \) basta osservare che abbiamo la somma di due funzioni elementari, \( x^2 \) e \( \ln x \), che sappiamo derivare.
Deriviamo separatamente le funzioni. Per la regola della derivata della funzione potenza si ha, per la prima funzione:
\[ \dfrac{d}{dx}x^2=2x^{2-1}=2x \]
Per la seconda funzione, utilizzando la regola della derivata del logaritmo naturale:
\[ \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x} \]
La derivata della funzione di partenza sarà pertanto data dalla somma delle derivate delle singole funzioni elementari che abbiamo appena calcolato. Quindi:
\[ \dfrac{d}{dx}(x^2+\ln x)=2x+\dfrac{1}{x} \]
e questa è la derivata della funzione di partenza. 🙂
Calcolo delle derivate: derivata del prodotto di funzioni
La derivata del prodotto tra due funzioni è data dalla derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione.
In simboli:
\[ \dfrac{d}{dx}\left[f(x) \cdot g(x) \right] = \dfrac{d}{dx}[f(x)] \cdot g(x) + f(x) \cdot \dfrac{d}{dx}[g(x)] \]
Per imparare la regola a memoria: “derivata della prima per la seconda più la prima per la derivata della seconda”.
Tra parentesi, la regola si estende al prodotto di un numero qualsiasi di funzioni. Ad esempio:
\[ \small \begin{align} & \dfrac{d}{dx}\left[f(x)\cdot g(x) \cdot h(x) \right]= \\ \\ & = \dfrac{d}{dx}\left[f(x) \right] \cdot g(x) \cdot h(x)+ f(x) \cdot \dfrac{d}{dx}\left[g(x) \right] \cdot h(x)+ f(x) \cdot g(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \left[h(x) \right]\end{align} \]
Tuttavia il caso più ricorrente è quello del prodotto tra due funzioni. Inoltre, la regola per la derivata del prodotto di due funzioni può essere applicata in modo ricorsivo anche al caso di tre o più funzioni, senza il bisogno di ricordarsi la regola specifica appena mostrata.
Ad esempio, per calcolare la derivata:
\[ \dfrac{d}{dx}\left[f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \right] \]
è sufficiente riguardare l’espressione da derivare come il prodotto delle funzioni \( \left[f(x) \cdot g(x) \right] \) e \( h(x) \). Trattiamo cioè il prodotto tra le funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) come se fosse un’unica funzione, in modo da poter ancora applicare la regola della derivata del prodotto tra due funzioni. Abbiamo:
\[ \begin{align}& \dfrac{d}{dx}\left[f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \right] = \dfrac{d}{dx}\left\{[f(x) \cdot g(x)] \cdot h(x) \right\}= \\ \\ & = \dfrac{d}{dx}\left[f(x) \cdot g(x)\right]\cdot h(x) + [f(x)\cdot g(x)] \cdot \dfrac{d}{dx}h(x)= \\ \\ & = \left[\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot \dfrac{d}{dx} g(x)\right]\cdot h(x)+[f(x) \cdot g(x)]\cdot \dfrac{d}{dx}h(x)\end{align} \]
Come è chiaro dai passaggi, ad un certo punto abbiamo poi derivato il prodotto \( f(x) \cdot g(x) \).
Vediamo subito un esempio di applicazione della regola della derivata del prodotto. 🙂
Esempio
Derivare la funzione:
\[ \sin x \cdot \cos x \]
Per le derivate fondamentali, ricordiamo che \( \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \) e che \( \dfrac{d}{dx}\cos x = – \sin x \). Di conseguenza:
\[ \begin{align} & \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx}\sin x \cdot \cos x + \sin x \cdot \dfrac{d}{dx} \cos x = \\ \\ & = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x )= \\ \\ & = \cos^2 x- \sin^2 x\end{align} \]
Dalla regola della derivata del prodotto discende come caso particolare la seguente regola.
Derivata del prodotto di una costante per una funzione
Indicata con \( \alpha \in \mathbb{R} \) una costante e con \( f(x) \) una generica funzione reale di variabile reale, si ha:
\[ \dfrac{d}{dx}\left[\alpha \cdot f(x) \right] = \alpha \cdot \dfrac{d}{dx}f(x) \]
Ovvero, la derivata del prodotto di una costante per una funzione è pari al prodotto fra la costante e la derivata della funzione.
In altri termini, possiamo portare fuori una costante moltiplicativa dal simbolo di derivata.
La regola è una conseguenza della regola della derivata del prodotto tra funzioni. Infatti, se riguardiamo \( \alpha \) come una funzione costante e ricordiamo che la derivata di una funzione costante è pari a zero (derivate fondamentali), si ha:
\[ \dfrac{d}{dx}\left(\alpha \cdot f(x) \right) = \dfrac{d}{dx}\alpha \cdot f(x) + \alpha \cdot \dfrac{d}{dx}f(x) = 0 + \alpha \cdot \dfrac{d}{dx}f(x) \]
E quindi ritroviamo la regola appena introdotta semplicemente come caso particolare della derivata del prodotto tra funzioni. 😉
Esempio
Calcolare la seguente derivata:
\[ \dfrac{d}{dx} \left(3 \sin x \right) \]
Possiamo vedere la funzione da derivare come il prodotto della costante \( 3 \) per la funzione \( \sin x \). Possiamo dunque portare fuori dal simbolo di derivata il fattore \( 3 \). Si ha:
\[ \dfrac{d}{dx} \left(3 \sin x \right)=3 \dfrac{d}{dx}\sin x =3 \cos x \]
Derivata del rapporto tra funzioni
La derivata del rapporto tra funzioni si calcola con la seguente regola:
\[ \dfrac{d}{dx} \dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)] \cdot g(x) – f(x) \cdot \dfrac{d}{dx}[g(x)]} {\left[g(x) \right]^2} \: \]
La regola è apparentemente difficile da ricordare, ma basta osservare che al numeratore abbiamo gli stessi termini dell’espressione della derivata del prodotto, ma con il segno meno a separare i due prodotti. A denominatore, abbiamo semplicemente il quadrato della funzione che compare al denominatore del rapporto da derivare.
Esempio
Calcolare la derivata della funzione:
\[ \dfrac{\ln x }{\cos x} \]
Ricordiamo che si ha (derivate fondamentali):
\[ \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}; \qquad \dfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x \]
Per applicare la formula dobbiamo considerare \( f(x) = \ln x \) (funzione a numeratore del rapporto da derivare) e \( g(x) = \cos x \) (funzione a denominatore). Abbiamo:
\[ \begin{align}& \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\ln x }{\cos x} \right) = \dfrac{\dfrac{d}{dx} \ln x \cdot \cos x – \ln x \cdot \dfrac{d}{dx}\cos x}{\cos^2 x}= \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot \cos x – \ln x \cdot (-\sin x)}{\cos^2x} = \dfrac{\dfrac{\cos x}{x}+\ln x \sin x}{\cos^2x} = \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{\cos x + x \ln x \sin x }{x} }{\cos^2 x} = \dfrac{\cos x + x \ln x \sin x }{x \cdot \cos^2x}=\end{align} \]
Possiamo ulteriormente semplificare l’espressione ottenuta. Spezziamo la frazione:
\[ \begin{align} &=\dfrac{\cos x }{x \cdot \cos^2x}+\dfrac{ x \ln x \sin x }{x \cos^2 x}=\dfrac{1}{x \cos x}+\dfrac{\ln x }{ \cos x} \cdot \dfrac{\sin x }{\cos x}= \\ \\ & = \dfrac{1}{x \cos x }+ \dfrac{\ln x}{\cos x} \cdot \tan x =\dfrac{\sec x}{x}+ \sec x \ln x \tan x \end {align} \]
Per meglio comprendere i passaggi eseguiti ricordiamo che
\[ \dfrac{1}{\cos x} = \sec x \]
ove \( \sec x \) è la funzione cosecante. Inoltre può essere il caso di ricordare che \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \).
Per semplificare l’espressione ottenuta abbiamo utilizzato le regole relative alle espressioni con frazioni algebriche.
Dimostrazioni delle regole di derivazione
Proponiamo ora le dimostrazioni delle regole di derivazione che abbiamo appena visto. Come al solito non utilizzeremo la variabile \( h \) ma ci riferiremo sempre all’incremento della variabile indipendente con il simbolo \( \Delta x \).
Dimostrazione della regola della derivata della somma di funzioni
Consideriamo le due funzioni:
\[ u = g(x); \qquad v = h(x) \]
Sia \( y=f(x) \) la funzione data dalla loro somma:
\[ y=f(x)=g(x)+h(x) \]
Per tutte e tre le funzioni la variabile indipendente considerata è la \( x \). Per quanto riguarda la variabile dipendente, abbiamo per ciascuna funzione le variabili \( y, \: u, \: v \) come indicato.
Supponiamo di incrementare la variabile indipendente \( x \) di un incremento \( \Delta x \). In tal modo otteniamo la quantità \( x + \Delta x \).
Se considerata una funzione incrementiamo la variabile indipendente, otteniamo un corrispondente incremento della variabile dipendente. Così, ad esempio, se all’inizio consideriamo il valore \( x \) per la variabile indipendente, abbiamo \( y = f(x) \). Se ora incrementiamo la \( x \) di una quantità \( \Delta x \) e valutiamo la funzione in \( x + \Delta x \), otteniamo \( y+ \Delta y = f(x+\Delta x) \).
\( \Delta y \) è proprio l’incremento della variabile dipendente corrispondente all’incremento della variabile indipendente \( x \).
Supponiamo di valutare tutte e tre le funzioni in corrispondenza di \( x + \Delta x \):
\[ f(x + \Delta x) = y + \Delta y; \qquad g(x+\Delta x) = u+ \Delta u; \qquad h(x + \Delta x) = v+ \Delta v \]
Poiché per come abbiamo definito \( f(x) \) si ha \( f(x+\Delta x) = g(x+ \Delta x)+ h(x + \Delta x) \) possiamo scrivere:
\[ y + \Delta y = u + \Delta u + v + \Delta v \]
Riordiniamo i termini:
\[ y + \Delta y = u + v + \Delta u + \Delta v \]
Poiché \( y = u + v \) possiamo cancellare i termini simili come segue:
\[ \cancel{y} + \Delta y = \cancel{u + v} + \Delta u + \Delta v \]
Otteniamo:
\[ \Delta y = \Delta u + \Delta v \]
Ora non ci resta che dividere tutti i termini per \( \Delta x \) (supponendo ovviamente \( \Delta x \neq 0 \)):
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta u}{\Delta x}+ \dfrac{\Delta v}{\Delta x} \]
Abbiamo ottenuto un’uguaglianza ove compaiono i rapporti incrementali di tutte e tre le funzioni. Poiché la derivata di una funzione è il limite per \( \Delta x \to 0 \) del rapporto incrementale, se vogliamo ottenere un’uguaglianza tra le derivate delle funzioni basterà passare al limite:
\[ \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x}+ \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta v}{\Delta x} \]
Data \( y = f(x) \), per la definizione di derivata si ha in generale \( \displaystyle \dfrac{d}{dx}y = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \). Possiamo allora scrivere:
\[ \dfrac{d}{dx}y= \dfrac{d}{dx}u+\dfrac{d}{dx}v \]
e sostituendo alle variabili dipendenti le corrispondenti funzioni otteniamo in conclusione:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x)= \dfrac{d}{dx}g(x)+\dfrac{d}{dx}h(x) \]
Ricordiamo che avevamo posto \( f(x)=g(x)+h(x) \). Abbiamo allora dimostrato che la derivata della somma di due funzioni è pari alla somma delle derivate delle singole funzioni. Il risultato si estende banalmente alla derivata della somma di un numero qualsiasi di funzioni.
Dimostrazione della regola della derivata del prodotto di funzioni
Consideriamo la funzione \( y=f(x) \) definita come il prodotto tra le funzioni \( u=g(x), \: v=h(x) \):
\[ f(x) = g(x) \cdot h(x) \]
Vogliamo dimostrare che:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx} \left[g(x) \right] \cdot h(x) + g(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \left[ h(x)\right] \]
Con ragionamenti del tutto simili a quelli fatti in precedenza relativamente alle variabili dipendenti \( y, \: u, \: v \) possiamo scrivere:
\[ y + \Delta y = (u + \Delta u) \cdot (v + \Delta v) \]
Calcoliamo il prodotto a secondo membro:
\[ y + \Delta y = u \cdot v + u \cdot \Delta v + \Delta u \cdot v + \Delta u \cdot \Delta v \]
Tenendo conto che \( y = u \cdot v \) possiamo cancellare tra loro i termini simili \( y \) e \( u \cdot v \) ottenendo:
\[ \Delta y = u \cdot \Delta v + \Delta u \cdot v + \Delta u \cdot \Delta v \]
Come nei precedenti casi, dividiamo tutti i termini per \( \Delta x \) in modo da ottenere un’uguaglianza contenente i rapporti incrementali delle funzioni:
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{u \Delta v + \Delta u \cdot v}{\Delta x}+ \dfrac{\Delta u \cdot \Delta v }{\Delta x} \]
Abbiamo spezzato la frazione a secondo membro perché ci tornerà comodo tra un istante.
Poiché vogliamo ottenere un’uguaglianza tra derivate, passiamo al limite per \( \Delta x \to 0 \):
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{ \Delta x \to 0}\dfrac{u \Delta v + \Delta u \cdot v}{\Delta x}+ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u \cdot \Delta v }{\Delta x} \]
Osserviamo che:
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u \cdot \Delta v }{\Delta x}=0 \]
Infatti, al numeratore abbiamo un prodotto tra quantità infinitesime per \( \Delta x \to 0 \). In altre parole, entrambe le quantità \( \Delta u \) e \( \Delta v \) tendono a zero per \( \Delta x \to 0 \). E poiché abbiamo un prodotto tra due quantità che tendono entrambe a zero, il numeratore nell’argomento del limite tende a zero più rapidamente del denominatore. In altri termini è come se avessimo un limite del tipo \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x} \), il cui risultato è zero per le regole sul confronto tra infinitesimi.
Di conseguenza, rimaniamo con l’uguaglianza tra limiti:
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{ \Delta x \to 0}\dfrac{u \Delta v + \Delta u \cdot v}{\Delta x} \]
Per comodità riordiniamo i termini al numeratore dell’argomento del limite al secondo membro:
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{ \Delta x \to 0}\dfrac{ \Delta u \cdot v+u \cdot \Delta v}{\Delta x}= \]
ovvero, applicando i teoremi delle operazioni tra limiti:
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v+\lim_{\Delta x \to 0} u\cdot \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta v}{\Delta x}= \]
Osservando poi che \( u \) e \( v \) sono costanti rispetto a \( \Delta x \):
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \cdot v+u\cdot \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta v}{\Delta x}= \]
Infine, per la definizione di derivata (limite per \( \Delta x \to 0 \) del rapporto incrementale) si ha:
\[ \dfrac{d}{dx}y=\dfrac{d}{dx} \left(u \right) \cdot v + u \cdot \dfrac{d}{dx} \left(v \right) \]
Sostituendo alle variabili dipendenti le rispettive funzioni possiamo scrivere:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{d}{dx} \left[g(x) \right] \cdot h(x) + g(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \left[h(x) \right] \]
Poiché abbiamo definito \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) la regola della derivata del prodotto risulta in conclusione dimostrata.
NOTA: per chiarire ancora meglio la dimostrazione appena svolta, possiamo far vedere in modo più chiaro che:
\[ \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u \cdot \Delta v }{\Delta x}=0 \]
Scriviamo in modo esplicito gli incrementi \( \Delta u \) e \( \Delta v \). Si ha:
\[ \Delta u = u(x + \Delta x) – u(x); \qquad \Delta v = v(x+\Delta x)-v(x) \]
Possiamo riscrivere allora il limite come:
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[ u(x + \Delta x) – u(x) \right] \cdot \left[ v(x+\Delta x)-v(x)\right] }{\Delta x} \]
I fattori a numeratore tendono entrambi a zero (questi si riducono rispettivamente a \( u(x)-u(x) \) e \( v(x)-v(x) \)). Poiché a numeratore abbiamo un prodotto tra infinitesimi (infinitesimo del secondo ordine), mentre al denominatore abbiamo un infinitesimo del primo ordine, concludiamo per il confronto tra infinitesimi che il limite è nullo.
Calcolo delle derivate: dimostrazione della regola della derivata del rapporto
Veniamo ora all’ultima dimostrazione delle regole di derivazione per questa lezione: la regola per il calcolo delle derivate relative ad un rapporto tra funzioni.
In questa lezione vedremo due dimostrazioni per questa regola di calcolo delle derivate.
Una semplice dimostrazione della regola della derivata del rapporto tra funzioni si basa sull’osservare che:
\[ \dfrac{g(x)}{h(x)}= g(x) \cdot \dfrac{1}{h(x)} \]
Per cui:
\[ \begin{align} & \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{g(x)}{h(x)} \right]=\dfrac{d}{dx}\left[g(x) \cdot \dfrac{1}{h(x)}\right]= \\ \\ & = \dfrac{d}{dx} \left[g(x) \right] \cdot \dfrac{1}{h(x)}+ g(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \left[\dfrac{1}{h(x)} \right]\end{align} \]
Capiamo quindi che possiamo ricondurci alla derivata del prodotto tra funzioni, a patto però di saper derivare la funzione reciproca di \( h(x) \), ovvero di saper calcolare la derivata di \( \dfrac{1}{h(x)} \).
La regola per il calcolo delle derivate relativa alla della derivata della funzione reciproca è un’applicazione della regola della derivata della funzione composta, che vedremo nelle successive lezioni. In questo contesto, procederemo determinando la regola di derivazione specifica per la funzione reciproca sfruttando la definizione di derivata. Considerando una generica funzione \( f(x) \) si ha:
\[ \dfrac{d}{dx} \left[\dfrac{1}{f(x)} \right]=\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{f(x + \Delta x)}-\dfrac{1}{f( x)}}{\Delta x}= \]
Mettiamo a denominatore comune le frazioni algebriche al numeratore dell’argomento del limite:
\[ =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\dfrac{f(x)-f(x+\Delta x)}{f(x+\Delta x) \cdot f(x)}}{\Delta x}= \]
A questo punto riscriviamo il numeratore dell’argomento del limite come segue:
\[ =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{f(x+\Delta x) \cdot f(x)} \cdot \left(f(x)-f(x+ \Delta x \right)}{\Delta x}= \]
Ora, sempre all’interno dell’argomento del limite, cambiamo il segno ad entrambi i fattori a numeratore. Ciò è lecito perché equivale a moltiplicare due volte per -1, ovvero a moltiplicare semplicemente per 1, lasciando effettivamente inalterata la quantità. Si ha:
\[ =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{-\dfrac{1}{f(x+\Delta x) \cdot f(x)} \cdot \left(f(x+ \Delta x \right)-f(x))}{\Delta x}= \]
e quindi, con un passaggio algebrico:
\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \left[-\dfrac{1}{f(x + \Delta x) \cdot f(x)} \cdot \dfrac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\right]= \]
Per il teorema del limite del prodotto:
\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \left[-\dfrac{1}{f(x + \Delta x) \cdot f(x)}\right] \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}= \]
Il primo limite nel prodotto può essere valutato osservando che per \( \Delta x \to 0 \) il fattore \( f(x + \Delta x) \) si riduce a \( f(x) \). Per quanto riguarda il secondo limite, grazie alla definizione di derivata riconosciamo in esso la derivata di \( f(x) \). Ricordandoci che siamo partiti dalla derivata del reciproco di \( f(x) \) possiamo in conclusione scrivere:
\[ \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{f(x)} \right] = -\dfrac{1}{[f(x)]^2}\cdot \dfrac{d}{dx}f(x) \]
e questa è la regola per la derivata del reciproco di una funzione. Attenzione: la derivata della funzione inversa è tutt’altra cosa, e ne parleremo in una prossima lezione. 😉
Ma tornando al problema iniziale, a questo punto siamo in grado di dimostrare la regola della derivata del rapporto. Infatti adesso possiamo valutare il termine
\[ \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{h(x)} \right] \]
Abbiamo:
\[ \begin{align} & \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{g(x)}{h(x)} \right]=\dfrac{d}{dx}\left[g(x) \cdot \dfrac{1}{h(x)}\right]= \\ \\ & = \dfrac{d}{dx} \left[g(x) \right] \cdot \dfrac{1}{h(x)}+ g(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \left[\dfrac{1}{h(x)} \right] = \\ \\ & = \dfrac{d}{dx} \left[g(x) \right] \cdot \dfrac{1}{h(x)}+ g(x) \cdot \left[-\dfrac{1}{[h(x)]^2} \cdot \dfrac{d}{dx} \left[ h(x)\right] \right] = \end{align} \]
Lavorando algebricamente sull’espressione otteniamo:
\[ = \dfrac{\dfrac{d}{dx} \left[g(x) \right]}{h(x)}- \dfrac{g(x) \cdot \dfrac{d}{dx} \left( h(x)\right)}{[h(x)]^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left[g(x) \right] \cdot h(x)-g(x) \cdot \dfrac{d}{dx}\left[h(x)\right]}{[h(x)]^2} \]
E in conclusione abbiamo ritrovato la regola per la derivata del rapporto. 😉
Dimostrazione alternativa (regola di calcolo delle derivate per il rapporto di funzioni)
Con un maggiore sforzo possiamo anche dimostrare direttamente la regola della derivata del rapporto senza ricorrere alla regola della derivata della funzione reciproca.
Lavoreremo sugli infinitesimi in modo non perfettamente rigoroso ma presentando delle osservazioni di carattere intuitivo.
Vediamo allora subito questa dimostrazione alternativa su questa particolare regola di calcolo delle derivate.
Utilizziamo come al solito le funzioni:
\[ y = f(x); \qquad u = g(x); \qquad v = h(x) \]
Definiamo \( f(x) \) come:
\[ f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \]
Considerando le corrispondenti variabili dipendenti possiamo scrivere:
\[ y = \dfrac{u}{v} \]
Come nei precedenti casi, lavoriamo sugli incrementi delle variabili. Valutando le funzioni in \( x + \Delta x \) otteniamo:
\[ y + \Delta y = \dfrac{u + \Delta u}{v + \Delta v} \]
L’idea è quella di eseguire la divisione a secondo membro per poi passare al limite. La divisione può essere vista come una divisione tra polinomi, ma con particolari accorgimenti.
Nell’eseguire la divisione, dobbiamo ordinare i termini per ordini di infinitesimo. Già sappiamo che per eseguire una divisione tra polinomi dobbiamo ordinare i termini per ordine di grandezza, considerando il grado di ciascun termine. Ragionando con gli ordini di infinitesimo, dovremo ordinare i termini da quello di ordine di infinitesimo minore fino a scendere verso i termini di ordine di infinitesimo maggiore. Ciò comunque corrisponde ancora, in senso generale, ad ordinare i termini secondo il proprio ordine di grandezza.
Così ad esempio, per \( \Delta x \to 0 \) la quantità \( x \) non è infinitesima ed è quindi banalmente di ordine di infinitesimo inferiore rispetto a \( \Delta x \). A sua volta, \( \Delta x \) è di ordine di infinitesimo inferiore rispetto a \( \Delta x \cdot \Delta x \), poiché effettivamente \( \Delta x \) tende a zero più lentamente di \( \Delta x \cdot \Delta x \). Infatti, quest’ultimo prodotto tende a zero più rapidamente di \( \Delta x \) (intuitivamente, due numeri minori di 1 moltiplicati tra loro restituiscono un numero più piccolo di entrambi).
Così, per ordinare dei termini da quello di ordine di infinitesimo minore a quello di ordine di infinitesimo maggiore scriveremo ad esempio \( x, \: \Delta x, \: \Delta x \cdot \Delta x \).
Eseguiamo dunque la divisione \( \dfrac{u + \Delta u}{v + \Delta v} \) tenendo conto che poi passeremo al limite. Ordiniamo quindi le quantità da quella che per \( \Delta x \to 0 \) risulterà al limite un infinitesimo di ordine inferiore via via fino a quella che risulterà al limite un infinitesimo di ordine superiore rispetto a tutte le altre. Nel calcolare i resti nella divisione sommeremo tra loro quantità che al limite rappresentano infinitesimi dello stesso ordine. Procediamo:
Ricordiamoci sempre di considerare le quantità al limite, per \( \Delta x \to 0 \). Osserviamo così che il resto è una quantità che contiene esclusivamente infinitesimi del secondo ordine ed è quindi trascurabile rispetto al quoziente, che invece non contiene infinitesimi del secondo ordine.
Una precisazione: la divisione avrebbe potuto proseguire, ma avremmo soltanto ottenuto termini del secondo ordine e oltre, quindi trascurabili.
Per cui possiamo dire che per i nostri fini la divisione ha come risultato:
\[ \dfrac{u}{v}+\dfrac{\Delta u}{v}-\dfrac{u}{v^2}\Delta v \]
Di conseguenza:
\[ y+\Delta y = \dfrac{u}{v}+\dfrac{\Delta u}{v}-\dfrac{u}{v^2}\Delta v \]
Mettiamo tutti i termini nel secondo membro a denominatore comune:
\[ y+\Delta y = \dfrac{u \cdot v + \Delta u \cdot v – u \cdot \Delta v}{v^2} \]
Poiché \( y = u \cdot v \) possiamo cancellare tra loro i termini simili ottenendo:
\[ \Delta y = \dfrac{ \Delta u \cdot v – u \cdot \Delta v}{v^2} \]
Dividiamo ora tutti i termini per \( \Delta x \), in modo da avere un’uguaglianza contenente i vari rapporti incrementali delle funzioni:
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{ \dfrac{\Delta u \cdot v }{\Delta x}-\dfrac{u \cdot \Delta v}{\Delta x} }{v^2} \]
Ora passiamo al limite:
\[ \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u \cdot v }{\Delta x}- \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{u \cdot \Delta v}{\Delta x} }{v^2} \]
Ricordandoci che è possibile portare fuori le costanti dagli argomenti dei limiti si ha:
\[ \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{ v \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u }{\Delta x}- \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left( \dfrac{\Delta v}{\Delta x} \right)\cdot u }{v^2} \]
Per la definizione di derivata otteniamo:
\[ \dfrac{d}{dx}y = \dfrac{ v \cdot \dfrac{d}{dx}u- \dfrac{d}{dx}v\cdot u }{v^2} \]
Riordiniamo per comodità i fattori a numeratore:
\[ \dfrac{d}{dx}y = \dfrac{ \dfrac{d}{dx}u \cdot v – u \cdot \dfrac{d}{dx}v}{v^2} \]
Infine, sostituendo a ciascuna variabile dipendente le corrispondenti funzioni otteniamo in conclusione:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x) = \dfrac{ \dfrac{d}{dx}g(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot \dfrac{d}{dx}h(x)}{v^2} \]
E poiché abbiamo posto \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) la regola di derivazione relativa al calcolo di derivate di un rapporto di funzioni risulta così dimostrata. 😉
Qui si conclude questa lezione sulle regole per il calcolo delle derivate (regole di derivazione). Nella prossima lezione vedremo il teorema della derivata della funzione composta, grazie al quale potremo finalmente derivare una qualsiasi funzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂