Completiamo così il quadro sulle frazioni algebriche mettendo in pratica grazie ai seguenti esercizi tutte le tecniche apprese nelle precedenti lezioni. Nel risolvere le espressioni con le frazioni algebriche è importante ricordare tutte le regole relative al calcolo di espressioni aritmetiche ed in particolare le regole di precedenza delle operazioni.
Sarà inoltre fondamentale ricordare i prodotti notevoli e le tecniche di scomposizione dei polinomi. In ogni caso, qua ci proporremo di commentare gli svolgimenti il più dettagliatamente possibile. 😉
Allora mettiamoci comodi e vediamo di svolgere insieme questi esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche.
NOTA: in questa scheda trascureremo per semplicità la discussione delle condizioni di esistenza. Discuteremo comunque il campo di esistenza in altre esercitazioni.
Esercizio 1
\[ \left(\dfrac{3}{2a+b}-\dfrac{2}{2a-b} \right):\left(\dfrac{6a-15b}{4a^2-b^2} \right) \]
Anzitutto ricordiamoci la regola della divisione tra frazioni algebriche. Questa è la stessa, più in generale, della divisione tra frazioni. In particolare, sostituiamo il simbolo di divisione con il simbolo di moltiplicazione a patto però di sostituire la frazione \( \dfrac{6a-15b}{4a^2-b^2} \) con la sua inversa. Scriveremo così:
\[ \begin{align}& \left(\dfrac{3}{2a+b}-\dfrac{2}{2a-b} \right):\left(\dfrac{6a-15b}{4a^2-b^2} \right) = \\ \\ & = \left(\dfrac{3}{2a+b}-\dfrac{2}{2a-b} \right)\cdot \left(\dfrac{4a^2-b^2}{6a-15b}= \right) \end{align} \]
Proseguiamo i passaggi eseguendo la sottrazione di frazioni dentro la prima coppia di parentesi tonde e scomponendo i binomi nella seconda coppia:
\[ =\left[ \dfrac{3\left(2a-b \right)-2(2a+b)}{(2a+b)(2a-b)}\right]\cdot \left[ \dfrac{(2a-b)(2a+b)}{3(2a-5b)}\right]= \]
Ora possiamo semplificare il numeratore della seconda frazione con il denominatore della prima. Eseguiamo cioè una semplificazione a croce. Possiamo farlo poiché abbiamo una moltiplicazione tra frazioni e poiché nel denominatore e nel numeratore indicati abbiamo solo prodotti. Quindi:
\[ \begin{align}&\left[ \dfrac{3\left(2a-b \right)-2(2a+b)}{\cancel{(2a+b)}\cancel{(2a-b)}}\right]\cdot \left[ \dfrac{\cancel{(2a-b)}\cancel{(2a+b)}}{3(2a-5b)}\right]= \\ \\ &=\dfrac{3(2a-b)-2(2a+b)}{3(2a-5b)}=\dfrac{6a-3b-4a-2b}{3(2a-5b)} =\dfrac{\cancel{2a-5b}}{3(\cancel{2a-5b)}}= \dfrac{1}{3}\end{align} \]
Esercizio 2
\[ \left(\dfrac{x+2y}{x-2y}+\dfrac{x-2y}{x+2y}-\dfrac{2x^2+1+4y^2}{x^2-4y^2} \right) \cdot \left(\dfrac{3x^2-12y^2}{4y^2+1+4y} \right) \]
Cominciamo a scomporre in fattori i polinomi ove possibile:
\[ \begin{align} &\left(\dfrac{x+2y}{x-2y}+\dfrac{x-2y}{x+2y}-\dfrac{2x^2+1+4y^2}{x^2-4y^2} \right) \cdot \left(\dfrac{3x^2-12y^2}{4y^2+1+4y}\right)= \\ \\ & =\left[\dfrac{x+2y}{x-2y}+\dfrac{x-2y}{x+2y}-\dfrac{2x^2+1+4y^2}{(x-2y)(x+2y)} \right] \cdot \left(\dfrac{3(x^2-4y^2)}{(2y+1)^2}\right)= \end{align} \]
Ora eseguiamo la somma algebrica nella prima coppia di parentesi quadre. Ricordiamo che il denominatore comune è dato dal minimo comune multiplo dei denominatori. Dobbiamo prendere i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente. Si ha, proseguendo i passaggi:
\[ = \left[\dfrac{(x+2y)^2+(x-2y)^2-2x^2-4y^2-1}{(x-2y)(x+2y)} \right]\cdot \left[\dfrac{3(x^2-4y^2)}{(2y+1)^2} \right]= \]
Nel numeratore dell’ultima frazione dobbiamo ancora procedere con la scomposizione. Infatti il termine \( x^2-4y^2 \) è una differenza tra due quadrati. Abbiamo così:
\[ = \left[\dfrac{(x+2y)^2+(x-2y)^2-2x^2-4y^2-1}{(x-2y)(x+2y)} \right]\cdot \left[\dfrac{3(x-2y)(x+2y)}{(2y+1)^2} \right]= \]
Ora possiamo eseguire delle semplificazioni in croce:
\[ = \left[\dfrac{(x+2y)^2+(x-2y)^2-2x^2-4y^2-1}{\cancel{(x-2y)}\cancel{(x+2y)}} \right]\cdot \left[\dfrac{3\cancel{(x-2y)}\cancel{(x+2y)}}{(2y+1)^2} \right]= \]
Stiamo attenti a non dimenticarci quel \( 3 \) al numeratore dentro la seconda coppia di parentesi. 😉 Abbiamo:
\[ = \dfrac{3\left[(x+2y)^2+(x-2y)^2-2x^2-4y^2-1 \right]}{(2y+1)^2}= \]
In questo caso dobbiamo sviluppare i prodotti notevoli entro le parentesi quadre, per poi sommare i termini simili:
\[ \begin{align}=&\dfrac{3(x^2+4y^2+4xy+x^2+4y^2-4xy-2x^2-4y^2-1)}{(2y+1)^2}= \\ \\ & = \dfrac{3(4y^2-1)}{(2y+1)^2} = \dfrac{3\left[ (2y-1)\cancel{(2y+1)}\right]}{(2y+1)^\cancel{2}} =\dfrac{3(2y-1)}{2y+1}\end{align} \]
E siamo così arrivati al risultato.
Esercizio 3
\[ \left(-\dfrac{6}{y}+1+\dfrac{9}{y^2} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{y^2-4y+3}+\dfrac{1}{y-3} \right)^2 \]
Dobbiamo sommare i termini entro le parentesi tonde. Osserviamo che nella seconda coppia di parentesi dobbiamo prima scomporre un denominatore riconoscendo un trinomio caratteristico. Abbiamo:
\[ \begin{align}& \left(-\dfrac{6}{y}+1+\dfrac{9}{y^2} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{y^2-4y+3}+\dfrac{1}{y-3} \right)^2 = \\ \\ & = \dfrac{-6y+y^2+9}{y^2} \cdot \left[\dfrac{1}{(y-3)(y-1)} +\dfrac{1}{y-3}\right]^2= \\ \\ & = \dfrac{y^2-6y+9}{y^2}\cdot \left[\dfrac{\cancel{1}+y-\cancel{1}}{(y-3)(y-1)} \right]^2=\end{align} \]
Per le proprietà del prodotto e del rapporto tra potenze di uguale esponente, applicata in senso inverso, si ha:
\[ \begin{align}& =\dfrac{y^2-6y+9}{y^2}\cdot \left[\dfrac{y}{(y-3)(y-1)} \right]^2= \\ \\ & = \dfrac{y^2-6y+9}{y^2} \cdot \dfrac{y^2}{(y-3)^2(y-1)^2} = \end{align} \]
Scomponiamo il polinomio nel primo numeratore (è il quadrato di un binomio) ed eseguiamo infine le semplificazioni incrociate:
\[= \dfrac{\cancel{(y-3)^2}}{\cancel{y^2}}\cdot\dfrac{\cancel{y^2}}{\cancel{(y-3)^2}(y-1)^2}=\dfrac{1}{(y-1)^2} \]
Ricordiamoci sempre che quando semplifichiamo un termine in modo da “cancellarlo” sottintendiamo sempre che questo diventi 1. Per cui anche se sembra in questo caso “sparire tutto”, non facciamo l’errore di intendere un numeratore pari a zero. 😉
Esercizio 4
\[ \dfrac{1}{a^2+2ab+b^2}: \left[\left(\dfrac{a^2-ab+b^2}{y^3-27}:\dfrac{a^3+b^3}{y^2+9+3y} \right) :\dfrac{1}{y-3}\right] \]
Anzitutto salta all’occhio che ci ritroveremo a dover scomporre i binomi \( a^3+b^3 \) e \( y^3-27=y^3-3^3 \). Entrambi corrispondono al caso della somma o differenza di potenze di uguale esponente.
Qua è importante inoltre ricordarsi come ragionare sulle divisioni. Ma come sappiamo, possiamo ricondurre una divisione tra frazioni ad una moltiplicazione considerando il reciproco del divisore. Non lasciamoci intimorire dalla presenza di più divisioni. Si tratterà soltanto di applicare la regola, ordinatamente, più volte. 😉 Cominciamo:
\[ \begin{align}&\dfrac{1}{a^2+2ab+b^2}: \left[\left(\dfrac{a^2-ab+b^2}{y^3-27}:\dfrac{a^3+b^3}{y^2+9+3y} \right) :\dfrac{1}{y-3}\right] = \\ \\ & =\dfrac{1}{(a+b)^2}:\left\{\left[ \dfrac{\cancel{a^2-ab+b^2}}{(y-3)\cancel{(y^2+3y+9})}\cdot \dfrac{\cancel{y^2+3y+9}}{(a+b)\cancel{(a^2-ab+b^2)}} \right]\cdot (y-3) \right\}= \\ \\ & = \dfrac{1}{(a+b)^2}: \left[ \dfrac{\cancel{y-3}}{\cancel{(y-3)}(a+b)}\right]= \\ \\ & = \dfrac{1}{(a+b)^2}:(\dfrac{1}{a+b} )= \\ \\ & = \dfrac{1}{(a+b)^2} \cdot (a+b)= \dfrac{1}{a+b}\end{align} \]
Esercizio 5
\[ \left(\dfrac{7x^2+7}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{2x-2} \cdot \dfrac{6x^2+6-12x}{21x^2+21} \right)^2: \left(\dfrac{1}{2x}-1+\dfrac{x}{2} \right) \]
L’espressione è abbastanza immediata da calcolare. Un consiglio per meglio fruire di questa esercitazione: prima di leggere lo svolgimento degli esercizi, d’ora in poi provate prima a risolverli autonomamente. 😉
\[ \begin{align}& \left(\dfrac{7x^2+7}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{2x-2} \cdot \dfrac{6x^2+6-12x}{21x^2+21} \right)^2: \left(\dfrac{1}{2x}-1+\dfrac{x}{2} \right) = \\ \\ & = \left(\dfrac{7(x^2+1)}{(x+1)}\cdot \dfrac{x+1}{2(x-1)} \cdot \dfrac{6(x^2-2x+1)}{21(x^2+1)} \right)^2 : \left( \dfrac{1-2x+x^2}{2x}\right)= \\ \\ & = \left(\dfrac{\cancel{7}\cancel{(x^2+1)}}{\cancel{x+1}} \cdot \dfrac{\cancel{x+1}}{\cancel{2}\cancel{(x-1)}} \cdot \dfrac{\cancel{6}^{\small \displaystyle\cancel{3}}(x-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{21}^{\small \displaystyle\cancel{3}}\cancel{(x^2+1)}} \right)^2\cdot \dfrac{2x}{(x-1)^2} = \\ \\ & = \cancel{(x-1)^2} \cdot \dfrac{2x}{\cancel{(x-1)^2}} = 2x \end{align} \]
Esercizio 6
\[ \left[(y^2-5y-14)^{-1}:\left(\dfrac{y^2}{16-y^4}-\dfrac{1}{y^2+4}-\dfrac{2}{4-y^2} \right) \right] \cdot \dfrac{4y-28}{y^2+4} \]
Qua è importante ricordarsi come trattare un esponente negativo. Di questo abbiamo parlato a proposito del calcolo delle potenze di frazioni algebriche.
In particolare, si ha in generale:
\[ a^{-1} = \dfrac{1}{a} \]
Ora possiamo calcolare l’espressione. Le scomposizioni che incontreremo sono simili a quelle già viste nei precedenti esercizi.
\[ \small \begin{align}&\left[(y^2-5y-14)^{-1}:\left(\dfrac{y^2}{16-y^4}-\dfrac{1}{y^2+4}-\dfrac{2}{4-y^2} \right) \right] \cdot \dfrac{4y-28}{y^2+4} = \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{(y-7)(y+2)} : \left(\dfrac{y^2}{(4-y^2)(4+y^2)}-\dfrac{1}{y^2+4}-\dfrac{2}{(2-y)(2+y)} \right)\right]\cdot \dfrac{4(y-7)}{y^2+4}= \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{(y-7)(y+2)}: \left(\dfrac{y^2}{(2-y)(2+y)(4+y^2)}-\dfrac{1}{4+y^2}-\dfrac{2}{(2-y)(2+y)} \right) \right] \cdot \dfrac{4(y-7)}{y^2+4}= \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{(y-7)(y+2)}:\left(\dfrac{y^2-(2-y)(2+y)-2(4+y^2)}{(2-y)(2+y)(4+y^2)} \right) \right] \cdot \dfrac{4(y-7)}{y^2+4} = \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{(y-7)(y+2)}:\left(\dfrac{y^2-(4-y^2)-2(4+y^2)}{(2-y)(2+y)(4+y^2)} \right) \right] \cdot \dfrac{4(y-7)}{y^2+4} = \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{(y-7)(y+2)}:\left(\dfrac{y^2-4+y^2-8-2y^2}{(2-y)(2+y)(4+y^2)} \right) \right] \cdot \dfrac{4(y-7)}{y^2+4} = \\ \\ & =\left[\dfrac{1}{(y-7)(y+2)}:\left(\dfrac{-12}{(2-y)(2+y)(4+y^2)} \right) \right] \cdot \dfrac{4(y-7)}{y^2+4} = \\ \\ & =\dfrac{1}{\cancel{(y-7)}\cancel{(y+2)}} \cdot \dfrac{(2-y)\cancel{(2+y)}\cancel{(4+y^2)}}{\cancel{-12}^{\small \displaystyle-3}} \cdot \dfrac{\cancel{4}\cancel{(y-7)}}{\cancel{y^2+4}} = \dfrac{y-2}{3}\end{align} \]
Esercizio 7
\[ \left(\dfrac{ab+b^2}{b^2-ab}\cdot \dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{a^2-2ab+b^2} \right)+\dfrac{a^3b^3}{b}: \dfrac{b-a}{b^2} \]
L’esercizio non presenta particolari difficoltà per quanto riguarda la scomposizione dei polinomi. Viene richiesta particolare attenzione invece nell’eseguire i raccoglimenti. Vedremo infatti che ad un certo punto sarà necessario lavorare opportunamente sui segni per poter raccogliere un termine.
Svolgiamo tutti i passaggi fino ad arrivare al punto “critico”:
\[ \small \begin{align}& \left[\dfrac{ab+b^2}{b^2-ab}\cdot \dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{a^2-2ab+b^2} \right]+\dfrac{a^3b^3}{b}: \dfrac{b-a}{b^2} = \\ \\ & = \left[\dfrac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{b}(b-a))} \cdot \dfrac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}+\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{(a-b)^2}\right]+\dfrac{a^3-b^3}{b}:\dfrac{b-a}{b^2}= \\ \\ & = \left[\dfrac{\cancel{a+b}}{b-a}\cdot \dfrac{a^2+b^2}{(a-b)\cancel{(a+b)}} +\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{(a-b)^2}\right]+\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{\cancel{b}}\cdot \dfrac{b^{\cancel{2}}}{b-a} = \\ \\ & = \left[ \dfrac{a^2+b^2}{(a-b)(b-a)}+\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{(a-b)^2} \right]+\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)\cdot b}{b-a}\end{align} \]
Osserviamo che per il momento non possiamo semplificare il fattore \( a-b \) con il fattore \( b-a \) nell’ultima frazione. Tuttavia, ricordiamo che una frazione algebrica non cambia se la moltiplichiamo per \( -1 \) due volte. Ciò equivale nel nostro caso a sostituire il segno di \( + \) davanti al simbolo di fratto della frazione algebrica con un segno \( – \) e a sostituire il binomio \( a-b \) al numeratore con il suo opposto (cioè, \( b-a \)).
Vediamo per comodità il trucco da adottare per l’ultima frazione algebrica a parte:
\[ \small +\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)\cdot b}{b-a}=-\dfrac{(-a+b)(a^2+ab+b^2)\cdot b}{b-a}=-\dfrac{\cancel{(b-a)}(a^2+ab+b^2)\cdot b}{\cancel{b-a}} \]
Riprendiamo ora i passaggi:
\[ \small \begin{align} &\left[ \dfrac{a^2+b^2}{(a-b)(b-a)}+\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{(a-b)^2} \right]+\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)\cdot b}{b-a}= \\ \\ & = \left[ \dfrac{a^2+b^2}{(a-b)(b-a)}+\dfrac{a^2}{(b-a)^2}+\dfrac{b^2}{(a-b)^2} \right]-\dfrac{\cancel{(b-a)}(a^2+ab+b^2)\cdot b}{\cancel{b-a}} = \\ \\ & = \left[\dfrac{(a^2+b^2)(a-b)(b-a)+a^2(a-b)^2+b^2(b-a)^2}{(a-b)^2(b-a)^2} \right]-(a^2+ab+b^2) \cdot b = \\ \\ & = \dfrac{(a-b)\left[(a^2+b^2)(b-a)+a^2(a-b)+b^2(a-b) \right]}{(a-b)^2(b-a)^2}-(a^2+ab+b^2)\cdot b = \\ \\ & =\dfrac{(a-b)\left[\boxed{(-a^2-b^2)(-b+a)}+a^2(a-b)+b^2(a-b) \right]}{(a-b)^2(b-a)^2}-(a^2+ab+b^2)\cdot b \end{align} \]
Ancora, nella parte messa in riquadro abbiamo cambiato i segni dei fattori in modo da avere dentro le parentesi quadre una somma algebrica di termini aventi tutti il fattore comune \( a-b \). Quanto fatto non altera l’espressione, poiché così facendo abbiamo di fatto moltiplicato per \( -1 \) due volte una stessa quantità.
Procediamo con i passaggi:
\[\small \begin{align} &\dfrac{(a-b)\left[\boxed{(-a^2-b^2)(-b+a)}+a^2(a-b)+b^2(a-b) \right]}{(a-b)^2(b-a)^2}-(a^2+ab+b^2)\cdot b= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{(a-b)}\left[(a-b)(\cancel{-a^2}\cancel{-b^2}\cancel{+a^2}\cancel{+b^2})\right]}{(a-b)^{\cancel{2}}(b-a)^2}-(a^2+ab+b^2)\cdot b= \\ \\ & = 0 – (a^2+ab+b^2)b = -b (a^2+ab+b^2)\end{align} \]
Vediamo che tutti i termini di un fattore si annullano tra loro. Ciò corrisponde ad una somma algebrica con risultato zero. Quindi la prima frazione risulta pari a zero e di qui il risultato.
In questi esercizi è in generale importante non confondere il significato delle semplificazioni. Consideriamo ad esempio la seguente moltiplicazione:
\[ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}= \dfrac{\cancel{a}}{\cancel{b}} \cdot \dfrac{\cancel{b}}{\cancel{a}} \]
E consideriamo ora la seguente somma algebrica:
\[ a+b-a-b=\cancel{a}\cancel{+b}\cancel{-a}\cancel{-b} \]
In entrambe le espressioni, abbiamo “cancellato” tutti i termini. Ma c’è un’importante differenza. Per la prima espressione abbiamo:
\[ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}= \dfrac{\cancel{a}}{\cancel{b}} \cdot \dfrac{\cancel{b}}{\cancel{a}}=1 \]
Mentre per la seconda:
\[ a+b-a-b=\cancel{a}\cancel{+b}\cancel{-a}\cancel{-b}=0 \]
Quindi attenzione. Quando semplifichiamo in croce e “cancelliamo” dei fattori, quello che facciamo in realtà è sostituirli con un uno. Quando invece eseguiamo delle somme tra monomi, quando cancelliamo un termine effettivamente lo sostituiamo con uno zero.
Quindi è fondamentale non confondere in questi casi ciò che accade con la moltiplicazione con ciò che accade con la somma e viceversa. La precisazione è molto banale e per i più sarà superflua, ma specialmente quando si va di fretta, attenzione.
Esercizio 8
\[ \small \dfrac{(y+2)^2-2y}{2y^2+8}\cdot \left(\dfrac{2y^3}{y^3-8}-\dfrac{2y}{y-2}+\dfrac{8}{y^2+2y+4} \right)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2} \]
Presentiamo il solo svolgimento poiché ormai le tecniche da adottare sono del tutto simili a quelle degli esercizi precedenti. 😉
\[ \small \begin{align} &\dfrac{(y+2)^2-2y}{2y^2+8}\cdot \left(\dfrac{2y^3}{y^3-8}-\dfrac{2y}{y-2}+\dfrac{8}{y^2+2y+4} \right)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2} = \\ \\ & = \dfrac{y^2+4y+4-2y}{2y^2+8} \cdot \left(\dfrac{2y^3}{(y-2)(y^2+2y+4)}-\dfrac{2y}{y-2}+\dfrac{8}{y^2+2y+4} \right)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{y^2+2y+4}}{2(y^2+4)}\cdot \left(\dfrac{2y^3-2y(y^2+2y+4)+8(y-2)}{(y-2) \cancel{(y^2+2y+4)}} \right)+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2}= \\ \\ & = \dfrac{2y^3-2y^3-4y^2-8y+8y-16}{2(y^2+4)(y-2)}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{2y^3}\cancel{-2y^3}-4y^2\cancel{-8y}\cancel{+8y}-16}{2(y^2+4)(y-2)}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2}= \\ \\ & = \dfrac{-4y^2-16}{2(y^2+4)(y-2)}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{-4}^{\small \displaystyle-2}\cancel{(y^2+4)}}{\cancel{2}(\cancel{y^2+4})(y-2)}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2}= \\ \\ & = \dfrac{-2}{y-2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{y-2} = \\ \\ & = \dfrac{-4+3y-6+2}{2(y-2)}=\dfrac{3y-8}{2(y-2)} \end{align} \]
Concludiamo qui questa serie di esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche. Vi ricordo ancora la sezione di Altramatica dedicata alle frazioni algebriche, con lezioni ed ulteriori esercizi svolti.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂