Sapere come scomporre i polinomi è fondamentale nel calcolo letterale poiché serve a semplificare le frazioni algebriche. Ci ritroveremo inoltre a dover scomporre i polinomi anche in altri ambiti, ad esempio nella risoluzione delle equazioni e disequazioni di grado uguale o superiore al secondo.
I metodi da utilizzare per scomporre i polinomi in fattori sono i seguenti:
- raccoglimento a fattore comune totale;
- raccoglimento a fattore comune parziale;
- scomporre i polinomi mediante i prodotti notevoli (quadrato di un binomio, cubo di un binomio, quadrato di un trinomio, differenze di quadrati);
- metodo di scomposizione per il trinomio caratteristico;
- regola di Ruffini;
- somma e differenza di potenze di uguale esponente.
Perché è utile saper scomporre i polinomi: un esempio pratico
Vediamo un esempio concreto che ci mostra l’utilità del saper scomporre i polinomi.
In aritmetica, se dobbiamo valutare l’espressione:
\[ \frac{2}{7}+\frac{14}{5}+\frac{3}{8} \]
dovremo scomporre il denominatore di ciascuna frazione in fattori, determinare il minimo comune multiplo tra i denominatori e ridurre le frazioni a denominatore comune, utilizzando come denominatore comune proprio il minimo comune multiplo che abbiamo trovato.
Analogamente, se vogliamo valutare l’espressione algebrica:
\[ \frac{8x^2}{x^2+x-2}+\frac{5x+6}{x-1}+\frac{4x^2}{x+2} \]
Dovremo essere in grado di scomporre in fattori il polinomio \( x^2+x-2 \) e vedere se ha fattori in comune con gli altri denominatori (che non sono riducibili in fattori). In questo modo potremo analogamente al caso precedente ridurre le frazioni a denominatore comune, utilizzando il minimo comune multiplo tra i denominatori.
Vediamo dunque di studiare insieme ogni singolo metodo di scomposizione, in modo da capire come scomporre i polinomi nei vari casi. 😉
Scomporre i polinomi con il raccoglimento a fattore comune totale
Sia dato il polinomio:
\[ 3xy+3y+9yz+27xzy \]
Osserviamo che tutti i monomi hanno in comune la lettera \( y \). Inoltre, le parti numeriche dei monomi hanno in comune il fattore \( 3 \). Di conseguenza, possiamo affermare che i termini del polinomio hanno in comune il fattore \( 3y \).
Nessuno ci vieta di riscrivere il polinomio come:
\[ \frac{3y}{3y}(3xy+3y+9yz+27xzy ) \]
Infatti, lo abbiamo semplicemente moltiplicato per uno 😉
Ora, consideriamo il rapporto \( \frac{3y}{3y} \). Possiamo benissimo “togliere” il denominatore \( 3y \) a patto di dividere ciascun termine nel polinomio per \( 3y \) stesso: l’espressione ottenuta sarà equivalente a quella data.
\[ 3y(\frac{3xy}{3y}+\frac{3y}{3y}+\frac{9yz}{3y}+\frac{27xzy}{3y} ) \]
A questo punto, non ci resta che eseguire le divisioni fra monomi, ottenendo:
\[ 3y(x+ 1+3z+9xz)\]
In questo modo, diciamo che abbiamo eseguito un raccoglimento a fattore comune totale. Abbiamo cioè riscritto il polinomio che dovevamo scomporre utilizzando la seguente procedura:
- abbiamo individuato un fattore comune a tutti i termini del polinomio;
- abbiamo messo in evidenza il fattore comune individuato, cioè lo abbiamo posto a moltiplicare il polinomio da scomporre;
- allo stesso tempo, abbiamo diviso ciascun termine del polinomio da scomporre per il fattore comune trovato.
Precisiamo che, in realtà, non c’è bisogno di moltiplicare per una frazione unitaria. Ciò è stato fatto solo per dimostrare l’efficacia del metodo di scomposizione. Nella pratica è sufficiente mettere in evidenza il fattore comune e dividere ciascun termine del polinomio per il fattore comune stesso. ; )
Esempio (scomposizione con il raccoglimento a fattore comune totale)
Scomponiamo il polinomio:
\[ xy^2+3x^2y+3xz+4kx^3 \]
Osserviamo che il fattore comune tra tutti i monomi è \( x \). Possiamo dunque scrivere:
\[ xy^2+3x^2y+3xz+4kx^3=x\left (\frac{xy^2+3x^2y+3xz+4kx^3}{x} \right )= \]
\[ = x \left ( \frac{xy^2}{x}+\frac{3x^2y}{x}+\frac{3xz}{x}+\frac{4kx^3}{x} \right ) = x(y^2+3xy+3z+4kx^2) \]
Con un po’ di allenamento i passaggi diventeranno ovvi e potremo direttamente scrivere:
\[ xy^2+3x^2y+3xz+4kx^3 = x(y^2+3xy+3z+4kx^2) \]
Scomporre i polinomi con il raccoglimento a fattore comune parziale
Se non è possibile individuare un fattore comune a tutti i termini del polinomio, potrebbe comunque essere possibile individuare uno o più fattori che sono in comune soltanto tra alcuni termini del polinomio.
Ad esempio, consideriamo il polinomio:
\[ xy+4kz+x^2y+k^2z \]
Osserviamo che \( xy \) è il fattore in comune tra i monomi \( xy \) e \( x^2y \), mentre \( kz \) è il fattore comune tra i monomi \( 4kz \) e \( k^2z \).
Possiamo dunque immaginare il polinomio dato come somma dei due polinomi:
\[ (xy+x^2y)+(4kz+k^2z) \]
e raccogliere ciascun polinomio con il fattore comune tra i suoi termini. In altre parole, applicheremo il metodo del raccoglimento totale a ciascun polinomio. Avremo così:
\[ xy(1+x)+kz(4+k) \]
Nella pratica, non è necessario riscrivere il polinomio da scomporre come somma di polinomi aventi ciascuno un fattore comune. Ho fatto questo semplicemente allo scopo di spiegare meglio il metodo 😉
A volte possiamo scomporre un polinomio applicando prima un raccoglimento parziale, poi un raccoglimento totale, come mostra il seguente esempio.
Esempio (raccoglimento parziale seguito da raccoglimento totale)
Scomponiamo il seguente polinomio:
\[ 2ab+5b^2-2ax-5bx \]
I termini \( 2ab \) e \( -2ax \) hanno in comune il fattore \( 2a \). I termini \( 5b^2 \) e \( -5bx \) hanno in comune il fattore \( 5b \).
Per comodità, dato che stiamo imparando, riscriviamo il polinomio come:
\[ (2ab-2ax)+(5b^2-5bx) \]
Effettuiamo i due raccoglimenti parziali:
\[ 2a(b-x)+5b(b-x) \]
Osserviamo che i due termini appena scritti hanno come fattore comune \( (b-x) \). Possiamo dunque mettere in evidenza questo termine effettuando un raccoglimento totale. Abbiamo:
\[ (b-x)(2a+5b) \]
Siamo dunque riusciti a scomporre in fattori il polinomio assegnato:
\[ 2ab+5b^2-2ax-5bx=(b-x)(2a+5b) \]
Scomporre i polinomi mediante i prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono dei prodotti che possono essere calcolati rapidamente utilizzando formule da ricordare a memoria. Ad esempio, consideriamo il quadrato di un binomio:
\[ (a+b)^2 \]
E’ pur vero che questo può essere riscritto come:
\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b) \]
e che si può svolgere questo prodotto ottenendo:
\[ (a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 \]
Ma ovviamente, non è proponibile fare tutte le volte questi calcoli. Di conseguenza, conviene ricordarsi a memoria l’espressione:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Ora, questa formula può servire anche per scomporre dei polinomi. E’ infatti ovvio che possiamo scrivere:
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
Ciò significa che abbiamo scomposto in fattori il polinomio \( a^2+2ab+b^2 \).
Dunque, se in un polinomio individuiamo i quadrati di due termini e il doppio prodotto di questi stessi termini, allora questo potrà essere scomposto come il quadrato di un binomio.
Scomposizione mediante il quadrato di un binomio – alcuni dettagli
Abbiamo le regole per il calcolo di due differenti quadrati di un binomio:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
e:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Per la scomposizione, scriveremo quindi:
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
e:
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
Osserviamo dunque che un segno all’interno del binomio cambia a seconda che il doppio prodotto nel binomio da scomporre sia positivo o negativo. E’ importante quindi prestare molta attenzione a questo in modo da evitare errori di segno 😉
Osserviamo anche che dire:
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
è corretto quanto dire:
\[ a^2-2ab+b^2=(b-a)^2 \]
Infatti, non c’è alcun modo per poter stabilire se attribuire il segno negativo ad \( a \) o a \( b \), dato che entrambi i termini compaiono nel polinomio da scomporre elevati al quadrato, dunque sempre positivi. Ma non c’è di che preoccuparsi: l’importante è stare attenti al segno del doppio prodotto.
Scomposizione mediante il quadrato di un binomio – esempi
Proviamo a scomporre il polinomio:
\[ 16a^2+24ab+9b^2 \]
osserviamo che i termini \( 16a^2 \) e \( 9b^2 \) sono rispettivamente i quadrati di \( 4a \) e \( 3b \). Il monomio \( 24ab \) è inoltre il doppio del prodotto tra i termini \( 4a \) e \( 3b \). Il polinomio nasce dunque dal quadrato di un binomio, il doppio prodotto è positivo e può essere dunque scomposto come segue:
\[ 16a^2+24ab+9b^2=(4a+3b)^2 \]
Scomponiamo ora il polinomio:
\[ 4x^2-20xy+25y^2 \]
Osserviamo che \( 4x^2 \) è il quadrato di \( 2x \). Inoltre, \( 25y^2 \) è il quadrato di \( 5y \). Osserviamo che \( -20xy \) è l’opposto del doppio prodotto \( 2 \cdot 2x \cdot 5y = 20 xy \). Potremo dunque esprimere il polinomio assegnato come un quadrato di un binomio, avendo cura di porre il segno meno su uno dei due termini nel binomio. Possiamo dunque scrivere:
\[ 4x^2-20xy+25y^2=(2x-5y)^2 \]
Avremmo anche potuto scrivere:
\[ 4x^2-20xy+25y^2=(5y-2x)^2 \]
Entrambe le scomposizioni sono corrette 😉
Scomporre i polinomi mediante il cubo di un binomio
Ricordiamo le formule dei prodotti notevoli “cubo di un binomio”:
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
Se assegnato un polinomio, riusciamo ad individuare i cubi di due termini e i tripli prodotti di questi stessi due termini, allora tale polinomio potrà essere scomposto come il cubo di un binomio.
Proviamo a scomporre il polinomio:
\[ 8x^3+12ax^2+6a^2x+a^3 \]
Osserviamo che \( 8x^3 \) è il cubo del termine \( 2x \). Inoltre, \( a^3 \) è evidentemente il cubo del termine \( a \). Osserviamo anche che \( 12ax^2 \) e \( 6a^2x \) sono i doppi prodotti costruiti proprio con i termini \( 2x \) e \( a \). Possiamo dunque scrivere:
\[ 8x^3+12ax^2+6a^2x+a^3=(2x+a)^3 \]
Scomposizione mediante il quadrato di un trinomio
Ricordiamo come si esprime il quadrato di un trinomio:
\[ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \]
Se un trinomio risulterà espresso come la somma dei quadrati di tre termini e dei tre doppi prodotti costruiti con quegli stessi termini, sarà possibile scomporlo come il quadrato di un trinomio:
\[ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2 \]
Vediamo un esempio. Scomponiamo il polinomio:
\[ 4x^2+20xy+28xz+25y^2+70yz+49z^2 \]
Osservando attentamente i coefficienti di ciascun monomio, notiamo che ci sono tre quadrati: \( 4x^2 \) che è il quadrato di \( 2x \), \( 25y^2 \) che è il quadrato di \( 5y \) e \( 49z^2 \) che è il quadrato di \( 7z \). I rimanenti termini presenti nel polinomio da scomporre si ottengono tutti come doppio prodotto fra i termini \( 2x \), \( 5y \) e \( 7z \), prendendo coppie di termini diversi tra loro. Dunque, è valida la scomposizione:
\[ 4x^2+20xy+28xz+25y^2+70yz+49z^2=(2x+5y+7z)^2 \]
Scomporre i polinomi mediante la differenza di quadrati
Ricordiamo che esiste il prodotto notevole:
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]
Se un polinomio è espresso come differenza tra i quadrati di due termini \( a \) e \( b \), questo potrà essere scomposto come:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
Proviamo ad esempio a scomporre il polinomio:
\[ 25a^2-9b^2 \]
Osserviamo che \( 25a^2 \) è il quadrato di \( 5a \). Inoltre, \( 9b^2 \) è il quadrato di \( 3b \). Il polinomio assegnato è dunque una differenza di quadrati e vale la scomposizione:
\[ 25a^2-9b^2=(5a-3b)(5a+3b) \]
Trinomio caratteristico (o trinomio notevole) e regola di Ruffini
Questi metodi di scomposizione sono leggermente più laboriosi dei precedenti anche se, probabilmente, sono meno difficili da mettere in pratica poiché piuttosto meccanici. Ho dedicato per questi metodi due lezioni a parte:
Scomporre polinomi nel caso di somma e differenza di potenze che hanno lo stesso esponente
Ci domandiamo ora come scomporre polinomi nella forma generica:
\[ (x^n \pm a^n) \]
Abbiamo visto come scomporre una differenza di quadrati, che ne costituisce un caso particolare (\( n = 2 \) e segno negativo tra le basi).
Ci ora chiediamo se il polinomio \( (x^n \pm a^n) \) è divisibile per il binomio \( (x \pm a) \). Perché ci facciamo questa domanda? La risposta è immediata: se sappiamo che il polinomio da scomporre è divisibile per \( (x \pm a) \), possiamo scrivere:
\[ (x^n \pm a^n) = (x \pm a) \cdot Q(x) \]
ove \( Q(x) \) è un polinomio di grado pari al grado del polinomio da scomporre diminuito di 1. \( Q(x) \)potrà essere ottenuto, ad esempio, con la regola di Ruffini (\( x \pm a \) è, infatti, di primo grado).
Ora, in base al particolare caso nel quale ci ritroviamo, cioè se abbiamo una somma o una differenza di potenze aventi uguale esponente, sono validi i seguenti criteri di divisibilità:
\[ (x^n-a^n) \quad \text{e’ divisibile per:} \qquad \begin{cases} (x-a) \: \forall \: n \\ \\ (x+a) \: \text{per n pari} \end{cases} \]
\[ (x^n+a^n) \quad \text{divisibile per:} \qquad \begin{cases} (x+a) \quad \text{se n e’ dispari} \\ \\ \text{MAI DIVISIBILE per} (x-a) \end{cases} \]
Caso particolare: somma e differenza di potenze di uguale esponente con n = 3
Nel caso in cui sia \( n = 3 \), ci ritroviamo a dover valutare la divisibilità per \( (x \pm a) \) dei polinomi:
\[ x^3+a^3 \]
e:
\[ x^3-a^3 \]
Per le regole sopra esposte, è facile rendersi conto che \( (x^3+a^3) \) è divisibile per \( (x+a) \), mentre \( (x^3-a^3) \) è divisibile per \( (x-a) \).
Avremo quindi:
\[ x^3+a^3=(x+a)\cdot Q_1(x) \]
\[ x^3-a^3=(x-a)\cdot Q_2(x) \]
\( Q_1(x) \) e \( Q_2(x) \) possono essere sicuramente ottenuti con la Regola di Ruffini, ma possono anche essere ricavati tenendo conto che questi sono i falsi quadrati dei termini \( x \) e \( a \).
In particolare abbiamo:
\[ x^3+a^3 = (x+a)(x^2-ax+a^2) \]
\[ x^3-a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2) \]
I due polinomi \( Q_1(x) \) e \( Q_2(x) \) possono infatti essere pensati come dei falsi quadrati nei quali invece del doppio prodotto c’è il semplice prodotto dei termini. Bisogna stare attenti a non sbagliarsi sul segno del falso doppio prodotto: dovrà essere l’opposto del segno del termine \( a \) nell’espressione \( (x \pm a) \) 😉
Per quanto riguarda la scomposizione dei polinomi direi che è tutto. Come detto fin dall’inizio della lezione, destreggiarsi in modo disinvolto con la scomposizione dei polinomi è fondamentale per poter lavorare con le frazioni algebriche. Quindi, il consiglio è di curare molto lo studio della scomposizione dei polinomi.
Allenarsi con gli esercizi sulla scomposizione dei polinomi è la chiave vincente, e qui su Altramatica trovate dei comodi tool che vi saranno di aiuto per la verifica degli esercizi:
- tool scomposizione dei polinomi online;
- tool scomposizione con la regola di Ruffini step by step (passaggi e tabella generati automaticamente);
- tool scomposizione con il trinomio caratteristico step by step (passaggi e spiegazione generati automaticamente);
E a proposito di allenamento.. che ne dite di vedere se i concetti sono chiari facendo un po’ di esercizi insieme sulle scomposizioni dei polinomi? 🙂
Ciao a tutti e come sempre, buono studio con Altramatica!