\[ ax^2+bx+c \]
ove \( a, \: b, \: c \) sono reali.
Limitiamoci per ora al caso in cui \( a = 1 \). Il caso di un trinomio con coefficiente della \( x^2 \) diverso da 1 sarà trattato nella restante parte della lezione. Chi già sa scomporre un trinomio caratteristico nel caso \( a=1 \) può direttamente saltare alla parte dedicata. 😉
Ricordo inoltre per chi sta ripassando che è anche disponibile il tool realizzato da Altramatica trinomio caratteristico online con passaggi.
Nel caso \( a=1 \), possiamo cercare di esprimere il trinomio \( x^2+bx+c \) nella forma:
\[ x^2+(h+k)x+(h \cdot k) \]
ove \( h \) e \( k \) sono in generale due numeri reali.
In altre parole, dobbiamo cercare di vedere il coefficiente della \( x \) come somma di due numeri e il termine noto come prodotto di quegli stessi numeri.
Vogliamo quindi trovare i due numeri \( h \) e \( k \) tali che:
\[ h+k = b; \qquad h \cdot k =c\]
Individuati i due numeri \( h \) e \( k \), sempre nell’ipotesi che il coefficiente \( a \) sia uguale a 1, il polinomio potrà essere scomposto come segue:
\[ x^2+(h+k)x+h \cdot k= (x+h)(x+k) \]
Non è sempre possibile trovare questi numeri: in tal caso il polinomio non sarà caratteristico e questo metodo di scomposizione non potrà essere adottato.
Per capire se un trinomio caratteristico può essere scomponibile o meno si può usare questa regola: la quantità \( b^2-4ac \) deve essere maggiore o uguale a zero. In particolare, se tale quantità è minore di zero siamo sicuri che il trinomio non è scomponibile. Diversamente, il trinomio potrebbe essere scomponibile, ma i due numeri \( h, k \) potrebbero comunque non esistere (intendendo \( h,k \) interi o al più razionali).
Ora la domanda è: come facciamo a trovare questi due numeri? 🙂 Dobbiamo cercarli tra delle coppie formate utilizzando i divisori del termine noto del polinomio.
Consideriamo un esempio pratico.
Esempio 1
Supponiamo di dover scomporre il polinomio:
\[ x^{2}-2x-15 \]
Il termine noto del polinomio è 15. Scriviamo tutti i suoi divisori, positivi e negativi.
\[ \pm 1; \quad \pm 3; \quad \pm 5; \quad \pm 15 \]
Consideriamo ora i possibili prodotti \( h \cdot k \) ottenuti moltiplicando tra loro il primo e l’ultimo numero nell’elenco, poi il secondo e il penultimo numero nell’elenco, e così via (tenendo conto dei differenti segni che possiamo dare ai numeri). Avremo così i prodotti:
\( 1\cdot 15; \qquad 3 \cdot 5; \) ecc.
Il prodotto \( 3 \cdot 5 = 15 \) va scartato poiché fornisce un termine noto di segno opposto a quello che abbiamo. Proviamo con il prodotto:
\[ -3 \cdot 5 \]
Esso fornisce come risultato \( -15 \), che è pari al termine noto, tuttavia se consideriamo la somma dei due candidati \( h \) e \( k \):
\[ -3 + 5 = 2 \]
osserviamo che il segno è purtroppo opposto a quello del coefficiente della \( x \) che abbiamo nel polinomio (ma è uguale in modulo). Prendiamo allora i numeri:
\[ h = 3; \qquad k = -5 \]
Vediamo che in questo caso il loro prodotto è \( -15 \) e la loro somma è \( -2 \), rispettivamente uguali al termine noto e al coefficiente del termine in \( x \). Di conseguenza, abbiamo trovato i numeri cercati (e vai!).
In virtù della relazione che abbiamo scritto in precedenza:
\[ x^2+(h+k)x+h \cdot k= (x+h)(x+k) \]
avendo \( h = 3 \) e \( k = -5 \) possiamo scrivere:
\[ x^{2}-2x-15 = (x+3)(x-5) \]
Abbiamo dunque scomposto il polinomio assegnato! 🙂
Esempio 2
Scomponiamo il trinomio caratteristico:
\[ x^{2}-5x+6 \]
Dobbiamo cercare i numeri \( h \) e \( k \) tra i divisori del termine noto \( 6 \). Scriviamoli:
\[ \pm 1; \quad \pm 2; \quad \pm 3; \quad \pm 6 \]
Tra i possibili candidati, dobbiamo individuare i numeri \( h \) e \( k \) che verificano le uguaglianze:
\[ h \cdot k = 6 \]
e:
\[ h + k = -5 \]
Infatti, nel polinomio assegnato il termine noto è \( 6 \) mentre il coefficiente del termine in \( x \) è \( -5 \).
Proviamo alcuni prodotti:
\[ 1 \cdot 6 = 6; \quad 1+6 = 7 \quad \text{NO!} \]
\[ 1 \cdot (-6) = -6; \quad 1 + (-6) = -5 \quad \text{NO!} \]
\[ -1 \cdot 6 = -6; \quad -1 + 6 = 5 \quad \text{NO!} \]
\[ (-1)\cdot (-6) = 6; \quad -1-6=-7 \quad \text{NO!} \]
Passiamo ad un’altra coppia di numeri, magari saremo più fortunati 😛
\[ -3 \cdot (-2) = 6; \quad -3-2 = -5 \quad \text{Bingo!} \]
Abbiamo dunque trovato i numeri:
\[ h = -3; \qquad k = -2 \]
Possiamo quindi scomporre il polinomio assegnato come:
\[ x^2-5x+6=(x-3)(x-2) \]
E se il coefficiente a del trinomio caratteristico è diverso da 1?
E’ possibile estendere questo metodo di scomposizione anche al caso \( a \neq 1 \). Quello che vedremo a seguire è il metodo più classico.
Ricordiamo che \( a \) è il coefficiente del termine di secondo grado nel polinomio da scomporre:
\[ ax^{2}+bx+c \]
Questa volta dobbiamo cercare i numeri \( h \) e \( k \) tali che:
\[ h \cdot k = a \cdot c; \qquad h+k=b \]
La differenza rispetto al caso \( a = 1 \) è che ora dobbiamo cercare i due numeri il cui prodotto è uguale al prodotto del termine noto per il coefficiente del termine di secondo grado.
Ora, i numeri \( h \) e \( k \) andranno cercati tra i divisori positivi e negativi del prodotto \( a \cdot c \).
Ma non finisce qui. Abbiamo anche una differenza importante sul come riscrivere il polinomio una volta trovati i due numeri “magici”.
Non possiamo più riesprimere il polinomio da scomporre come il prodotto \( (x+h)(x+k) \), ma dobbiamo effettuare una certa manipolazione sul polinomio utilizzando i due numeri trovati.
Esempio (trinomio caratteristico con coefficiente a diverso da 1)
Proviamo a scomporre il polinomio:
\[ 2y^{2}+9y+7 \]
Cerchiamo i numeri \( h \) e \( k \). Dobbiamo individuare due numeri che abbiano per somma il coefficiente della \( y \) (ovvero, \( 9 \)) e come prodotto il prodotto fra il coefficiente della \( y^2 \) e il termine noto (ovvero, \( 2 \cdot 7 = 14 \)).
Ricerchiamo i due numeri tra i divisori di \( a \cdot c \), ovvero tra i divisori (positivi e negativi) della quantità \( 2 \cdot 7 = 14 \):
\[ \pm1; \quad \pm 2; \quad \pm7; \quad \pm 14 \]
Non è difficile individuare rapidamente i due numeri:
\[ h = 2; \qquad k = 7 \]
Ricordandoci che il termine \( b \) del polinomio \( ax^{2}+bx+c \) si può esprimere come:
\[ b = h+k \]
possiamo scrivere:
\[ 2y^{2}+9y+7=2y^{2}+(7+2)y+7=2y^2+7y+2y+7 \]
Effettuiamo due raccoglimenti parziali con i termini \( 2y \) e \( 7 \):
\[ 2y(y+1)+7(y+1) \]
Infine, effettuiamo un raccoglimento totale con il termine \( (y+1) \):
\[ (y+1)(2y+7) \]
Otteniamo in conclusione che il polinomio assegnato può essere scomposto come:
\[ 2y^{2}+9y+7=(y+1)(2y+7) \]
Vediamo dunque che nel caso \( a \neq 1 \) la procedura si complica un po’. Non è difficile trovare la coppia “magica” di numeri, è un po’ più difficile invece scomporre il polinomio.
Per mettervi alla prova su quanto appreso, vi ricordiamo che è disponibile questa esercitazione: esercizi sul trinomio caratteristico con coefficiente. Inoltre, sono anche disponibili un’esercitazione con trinomi caratteristici di grado superiore al secondo e un’esercitazione con trinomi caratteristici con due lettere.
Un consiglio: provate ove possibile ad eseguire gli esercizi da soli, quindi confrontate il vostro svolgimento con quello proposto. 😉
Il metodo di scomposizione del trinomio caratteristico è, come potete vedere, a volte un po’ macchinoso. Tuttavia, per chi è in grado di risolvere le equazioni di secondo grado, questo metodo non è in generale di grande utilità. Infatti, note le eventuali radici \( x_{1} \) e \( x_{2} \) del polinomio \( ax^2+bx+c \), questo può essere semplicemente espresso come:
\[ ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \]
Ricordiamo inoltre che per il caso \( a \neq 1 \) è disponibile anche questo metodo più rapido. Ed inoltre, è anche possibile utilizzare la formula per la scomposizione del trinomio caratteristico.
Concludiamo ricordandovi che è pure disponibile su Altramatica questo comodo tool per la scomposizione del trinomio caratteristico online con passaggi, ed inoltre il tool per la scomposizione dei polinomi online. Il primo tool è la scelta migliore per trinomi caratteristici a coefficienti interi con una sola lettera, poiché svolge e commenta ciascun singolo passaggio. 😉
Qui termina la lezione sul metodo di scomposizione relativo al trinomio caratteristico. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂