Così, il metodo che mostreremo permette di scomporre più rapidamente un trinomio notevole con somma e prodotto ad esempio del tipo:
\[ 2x^2-5x-3 \]
Il metodo è anche valido per trinomi con coefficiente della \( x^2 \) uguale a 1, ma in tal caso si procederà in modo del tutto simile a quanto esposto nella precedente lezione.
Ciò che rende interessante il metodo qui proposto è il fatto di poter scomporre trinomi notevoli con coefficiente \( a \neq 1 \) senza dover effettuare alcun raccoglimento dei termini letterali e senza nemmeno doversi ricordare una formula.
Il metodo si applica solo per trinomi caratteristici con coefficienti interi. Può essere in realtà esteso anche per trinomi caratteristici con coefficienti frazionari, ma in tal caso è più conveniente seguire il metodo classico.
Regola per scomporre senza raccoglimenti letterali un trinomio notevole con somma e prodotto con coefficiente \( a \neq 1 \)
Iniziamo prendendo in esame un trinomio il cui coefficiente della \( x^2 \) sia positivo. Vedremo a breve che possiamo agevolmente estendere il metodo anche nel caso di coefficiente della \( x^2 \) negativo.
Consideriamo il seguente trinomio notevole con somma e prodotto, a coefficienti interi:
\[ 30x^2-35x+10 \]
Anzitutto, controlliamo se è possibile dividere tutti i coefficienti dei monomi e il termine noto per uno stesso numero, ottenendo un risultato intero.
Ciò equivale a cercare il massimo comune divisore tra le parti numeriche dei monomi \( 30x^2 \) e \( -35x \) e il termine noto \( 10 \). Osserviamo che si ha:
\[ \text{MCD}(30, 35, 10)=5 \]
Così, raccogliamo il polinomio per il fattore numerico \( 5 \), che è comune a tutti i suoi termini:
\[ 5(6x^2-7x+2) \]
Ora, tralasciamo per il momento il fattore numerico \( 5 \) e vediamo di scomporre in fattori il polinomio:
\[ 6x^2-7x+2 \]
Per prima cosa, iniziamo a scrivere la scomposizione provvisoria in questo modo:
\[ (6x\qquad)(6x\qquad) \]
Ovvero, scriviamo soltanto una lettera \( x \) all’inizio di ciascun fattore preceduta da un coefficiente (parte numerica) pari a quello della \( x^2 \). Lasciamo dello spazio prima di chiudere le parentesi tonde perché poi aggiungeremo ovviamente altre cose. 😉
Dobbiamo ora ricercare due numeri tali che:
- la loro somma sia uguale al coefficiente del termine in \( x \). Nel nostro caso, la somma dei due numeri dovrà essere pari a \( -7 \);
- il loro prodotto dovrà essere uguale al prodotto tra il coefficiente della \( x^2 \) e il termine noto. In questo caso, \( 6 \cdot 2 = 12 \).
Più brevemente, cerchiamo due numeri tali che:
\[ \begin{align} &s=-7; \\ \\ &p=12\end{align} \]
I due numeri cercati sono, come è immediato verificare, \( -4 \) e \( -3 \). Ora possiamo completare la scrittura lasciata in sospeso per i fattori del polinomio scrivendo di seguito ai termini \( 6x \) i due numeri appena trovati, ovviamente con il loro segno:
\[ (6x-4)(6x-3) \]
Attenzione: tale prodotto non è ancora la scomposizione del polinomio di partenza. Per cui, non va scritto per il momento davanti ad esso un simbolo di uguale.
Ora, dobbiamo considerare ciascun binomio. In particolare, dobbiamo dividere ciascun termine nel binomio per il massimo comune divisore delle rispettive parti numeriche. E nel caso in cui un massimo comune divisore diverso da 1 non esiste, semplicemente lasciamo il binomio così come è. Per il primo binomio abbiamo:
\[ 6x-4 \quad \Rightarrow \dfrac{6}{2}x-\dfrac{4}{2}=3x-2 \]
Così, abbiamo un primo fattore pari a \( 3x-2 \).
Per il secondo binomio:
\[ 6x-3 \Rightarrow \dfrac{6}{3}x-\dfrac{3}{3}=2x-1 \]
Abbiamo così un secondo fattore pari a \( 2x-1 \).
Moltiplicando infine tra loro il fattore numerico \( 5 \) con il quale avevamo effettuato un raccoglimento sul trinomio di partenza e i due fattori (binomi) appena trovati, si ha:
\[ 5(3x-2)(2x-1) \]
Questa è la scomposizione del trinomio di partenza. Così, possiamo scrivere in conclusione:
\[ 30x^2-35x+10=5(3x-2)(2x-1) \]
Nonostante le apparenze, il metodo è molto agevole. Una volta imparata la procedura, gli esercizi si svolgono davvero in un attimo. L’importante però è ricordarsi di raccogliere sempre, se possibile, per l’eventuale fattore numerico comune a tutti i termini del polinomio di partenza.
Inoltre, è altrettanto fondamentale ricordarsi di controllare se è possibile ridurre i binomi, dividendo i coefficienti dei termini di ciascun binomio per il loro MCD. Solo se per un dato binomio non risulterà possibile dividere entrambi i suoi termini per uno stesso numero, lo lasceremo così come è.
Verificate sempre che il risultato ottenuto sia corretto. Basta moltiplicare i fattori ottenuti e verificare che restituiscano il polinomio di partenza. 😉
Infine, ricordiamoci di non uguagliare mai una scomposizione provvisoria al polinomio di partenza nei passaggi. Facciamolo soltanto quando la scomposizione è terminata.
Coefficiente del termine di secondo grado negativo
Nel caso in cui il coefficiente della \( x^2 \) sia negativo, dobbiamo scomporre l’opposto del trinomio dato, e quindi invertire il segno di uno dei due fattori ottenuti.
Ad esempio, scomponiamo il trinomio:
\[ -x^2-x+6 \]
Consideriamo il suo opposto (lo si ottiene invertendo il segno a tutti i termini):
\[ x^2+x-6 \]
Procediamo come spiegato in precedenza lavorando su quest’ultimo trinomio:
\[ (x\quad)(x\quad) \]
Cerchiamo due numeri la cui somma sia \( +1 \) e il cui prodotto sia \( -6 \). I numeri cercati sono \( +3 \) e \( -2 \). Possiamo quindi scrivere la scomposizione provvisoria:
\[ (x+3)(x-2) \]
I binomi non sono riducibili. Questa allora è la scomposizione per l‘opposto del trinomio di partenza. Poiché vogliamo però la scomposizione del trinomio di partenza, dobbiamo a questo punto cambiare di segno i termini di uno dei fattori (solo uno dei due fattori). E’ in generale indifferente quale scegliere. Ad esempio:
\[ (-x-3)(x-2) \]
Così abbiamo in conclusione:
\[ -x^2-x+6=(-x-3)(x-2) \]
Se vi resta più comodo, avremmo potuto in alternativa raccogliere un fattore numerico \( -1 \) nel trinomio di partenza. In questo modo, seguiamo un approccio del tutto simile al caso generale. Si ha:
\[ -x^2-x+6=-1 \cdot (x^2+x-6) \]
Mettiamo ora da parte il fattore numerico \( -1 \) e scomponiamo il trinomio \( x^2+x-6 \):
\[ (x+3)(x-2) \]
Infine, moltiplichiamo per il fattore numerico \( -1 \). Otteniamo così la scomposizione del trinomio di partenza:
\[ -x^2-x+6=-1 \cdot (x+3)(x-2)=(-x-3)(x-2) \]
Ci sono delle accortezze da seguire ma niente paura: una volta memorizzate queste semplici regole, il metodo è piuttosto rapido, come potremo vedere dagli esempi. 🙂
ESEMPIO 1
Scomporre il trinomio notevole con somma e prodotto:
\[ 2x^2+7x+6 \]
Anzitutto osserviamo che non possiamo eseguire alcun raccoglimento a fattore numerico comune. Poco male: semplicemente, applicheremo direttamente il metodo di scomposizione al polinomio così come è. E alla fine, non dovremo moltiplicare i binomi ottenuti per nessun fattore numerico. 😉
Cominciamo a scrivere i fattori, tenendo conto che il coefficiente della \( x^2 \) è pari a \( 2 \):
\[ (2x\qquad)(2x\qquad) \]
Ora, dobbiamo trovare due numeri tali che:
\[ \begin{align} &\text{somma}=7 \\ \\ &\text{prodotto} = 2 \cdot6 =12\end{align} \]
Ove la somma è il coefficiente del termine in \( x \), mentre il prodotto è il prodotto tra il coefficiente della \( x^2 \) e il termine noto.
Dobbiamo ricercare i due numeri, lo ricordiamo, tra i divisori positivi e negativi del prodotto \( 2 \cdot 6 = 12 \). I due numeri cercati sono \( 4 \) e \( 3 \).
Scriveremo così:
\[ (2x+4)(2x+3) \]
Attenzione: ancora non possiamo dire che questa è la scomposizione del polinomio di partenza. Dobbiamo prima verificare se è possibile dividere i termini in ciascun binomio per uno stesso numero.
Vediamo che ciò è possibile per il primo binomio. Infatti \( \text{MCD}(4,2)=2 \). Così scriveremo un primo fattore pari a:
\[\dfrac{2}{2}x+\dfrac{4}{2} =x+2 \]
Per il secondo binomio, vediamo che non è possibile ridurlo dividendo entrambi i termini per uno stesso numero (ottenendo si intende quozienti interi). Per cui, il secondo binomio deve essere lasciato così come è:
\[ 2x+3 \]
Ora abbiamo finito. 🙂 Basta moltiplicare i due fattori (binomi) ottenuti:
\[ (x+2)(2x+3) \]
Questa è la scomposizione del polinomio di partenza. Scriviamo quindi:
\[ 2x^2+7x+6=(x+2)(2x+3) \]
Esempio 2
\[ 3a^2-11a+6 \]
Qua la lettera usata nel polinomio è una \( a \) ma non cambia niente. Basta vederla come se fosse una \( x \). 😉
Non possiamo raccogliere tutti i termini del polinomio per nessun fattore numerico. Cominciamo allora a scrivere subito la scomposizione provvisoria del polinomio:
\[ (3a\qquad)(3a\qquad) \]
Dobbiamo cercare due numeri la cui somma sia \( -11 \) (il coefficiente del termine in \( a \)) e il cui prodotto sia \( 3 \cdot 6 = 18 \) (il prodotto tra il coefficiente della \( a^2 \) e il termine noto).
I numeri cercati sono \( -9 \) e \( -2 \). Infatti \( -9-2=-11 \) e \( -9 \cdot (-2) = 18 \).
Completiamo così la scomposizione provvisoria come segue:
\[ (3a-9)(3a-2) \]
Ora, attenzione. Questa non è ancora la scomposizione per il polinomio di partenza. Infatti, mentre il secondo binomio rimarrà così come è, per il primo binomio dobbiamo dividere entrambi i suoi termini per \( 3 \):
\[ \dfrac{3}{3}a-\dfrac{9}{3} =a-3 \]
Così, avremo come scomposizione del polinomio di partenza il seguente prodotto tra binomi:
\[ (a-3)(3a-2) \]
E in conclusione:
\[ 3a^2-11a+6=(a-3)(3a-2) \]
Esempio 3
In questo esempio effettueremo la scomposizione riducendo i commenti all’osso, in modo da meglio chiarire come presentare lo svolgimento di questo tipo di esercizi. Lo ricordiamo ancora, potremo uguagliare il polinomio di partenza alla scomposizione solo quando quest’ultima è definitiva e non provvisoria. 😉
Scomporre il polinomio:
\[ 12x^2-22x-20 \]
Raccogliamo per il fattore numerico comune \( 2 \):
\[ 2(6x^2-11x-10) \]
Scomponiamo il polinomio \( 6x^2-11x-10 \).
Scomposizione provvisoria:
\[ (6x\qquad)(6x\qquad) \]
Troviamo i due numeri la cui somma è \( -11 \) e il cui prodotto è \( -60 \). Questi sono \( -15 \) e \( 4 \).
Completiamo la scomposizione provvisoria:
\[ (6x-15)(6x+4) \]
Procediamo riducendo i binomi:
\[ \left(\dfrac{6}{3}x-\dfrac{15}{3} \right)\left(\dfrac{6}{2}x+\dfrac{4}{2} \right)=(2x-5)(3x+2) \]
Si ha così:
\[ 6x^2-11x-10=(2x-5)(3x+2) \]
Ricordandoci che avevamo raccolto all’inizio il termine numerico \( 2 \), abbiamo in conclusione per il polinomio di partenza:
\[ 12x^2-22x-20=2(2x-5)(3x+2) \]
ESEMPIO 4
\[ -x^2+8x-15 \]
Osserviamo anzitutto che un coefficiente per la \( x^2 \) unitario ma negativo esclude il caso più semplice di coefficiente uguale a \( 1 \).
Poiché il coefficiente della \( x^2 \) è negativo, dobbiamo in alternativa:
- scomporre l’opposto del trinomio di partenza e quindi invertire i segni di uno dei binomi ottenuti;
- oppure, raccogliere per il fattore numerico \( -1 \) il trinomio di partenza, procedendo in modo simile agli altri casi.
Vediamo la seconda opzione. 😉
\[ -x^2+8x-15 = -1(x^2-8x+15) \]
Teniamo da parte il fattore numerico \( -1 \) e lavoriamo sul trinomio \( x^2-8x+15 \). Dobbiamo cercare due numeri aventi per somma \( -8 \) e prodotto \( 15 \). I due numeri sono \( -5 \) e \( -3 \). Scriviamo la scomposizione provvisoria:
\[ (x-5)(x-3) \]
I binomi non sono riducibili. Per cui ci rimane solo da riprendere il fattore \( -1 \) che avevamo da parte. Così otteniamo in conclusione:
\[ -x^2+8x-15=-1 \cdot (x-5) (x-3)= (-x+5)(x-3) \]
Esempio 5
\[ -6x^2-x+1 \]
Raccogliamo per il fattore numerico \( -1 \):
\[ -1 \cdot (6x^2+x-1) \]
Lavoriamo sul trinomio \( 6x^2+x-1 \) e mettiamo da parte il fattore numerico \( -1 \).
Cerchiamo due numeri aventi per somma \( +1 \) e prodotto \( -6 \). Questi sono \( 3 \) e \( -2 \). Abbiamo così la scomposizione provvisoria:
\[ (6x+3)(6x-2) \]
Riduciamo i binomi:
\[ (2x+1)(3x-1) \]
Inserendo nel prodotto anche il fattore \( -1 \) che avevamo messo da parte otteniamo la scomposizione cercata:
\[ -6x^2-x+1=-1\cdot (2x+1)(3x-1)=(-2x-1)(3x-1) \]
Siamo così giunti alla fine di questa lezione sulla scomposizione del trinomio notevole con somma e prodotto (coefficiente del termine \( x^2 \) diverso da \( 1 \)) con un metodo più rapido.
Per chi vuole acquisire ulteriore dimestichezza con il metodo, sono disponibili ulteriori esercizi svolti: esercizi sul trinomio notevole con somma e prodotto.
Ricordiamo infine che è sempre disponibile questa lezione sulla scomposizione del trinomio notevole con somma e prodotto. In essa vengono presentati i metodi più classici.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂