La presenza contemporanea di moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni tra monomi non deve spaventarci. Infatti, già conosciamo le regole di precedenza per le operazioni. Si tratterà quindi di procedere in modo del tutto simile alle espressioni numeriche. L’unica differenza, ovviamente, è data dal fatto che dovremo applicare le regole sulle operazioni tra monomi:
Vedremo inoltre, alla fine, un esercizio che mostra come moltiplicare tra loro tre monomi.
Cominciamo allora subito questi esercizi sulle moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni tra monomi. 🙂
Moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni tra monomi
Esercizio 1
\[ -5xy^2 \cdot (-2x^2y^2)+(-3x^2y)\cdot(+4xy^3) \]
Per le regole di precedenza tra operazioni, eseguiamo prima di tutto le moltiplicazioni tra monomi.
Si tratta di moltiplicare ciascuna coppia di monomi tra loro. I rispettivi risultati saranno gli addendi dell’addizione che eseguiremo successivamente. Si ha:
\[ -5xy^2 \cdot (-2x^2y^2)+(-3x^2y)\cdot(+4xy^3)=+10x^3y^4+(-12x^3y^4)= \]
Il risultato della moltiplicazione è stato indicato come somma algebrica tra monomi. Abbiamo così l’operatore di addizione (\( + \)) e i singoli monomi da sommare, con i loro segni, tra parentesi.
Come sappiamo, è possibile eliminare l’operatore \( + \) e le parentesi nei monomi, scrivendo semplicemente i monomi uno in fila all’altro con il loro segno. Si ha così:
\[ =10x^3y^4-12x^3y^4= \]
Ora, i monomi sono simili per cui possiamo sommarli. In particolare, per ottenere il risultato sommeremo tra loro le rispettive parti numeriche e scriveremo la stessa parte letterale dei monomi:
\[ = -2x^3y^4 \]
E questo è il risultato dell’espressione. 🙂
Esercizio 2
\[ 2xy \cdot (-2x^2y) + 3x \cdot(-2x^2y^2)-x\cdot(-2y^3)+4xy\cdot(-2y^2) \]
Qua abbiamo quattro prodotti tra monomi sommati tra loro.. ma la procedura è identica rispetto all’esercizio precedente. 😉
Cominciamo effettuando le moltiplicazioni:
\[ \begin{align}&2xy \cdot (-2x^2y) + 3x \cdot(-2x^2y^2)-x\cdot(-2y^3)+4xy\cdot(-2y^2)= \\ \\ & = -4x^3y^2+(-6x^3y^2)-(-2xy^3)+(-8xy^3)= \end{align} \]
Ora eliminiamo gli operatori di addizione scrivendo i monomi con i rispettivi segni uno dopo l’altro. Inoltre, per l’operatore di sottrazione applichiamo la regola della sottrazione tra monomi. In particolare, riscriviamo la sottrazione come addizione con l’opposto del sottraendo. Per fare ciò, cambieremo l’operatore \( – \) in \( + \) e invertiremo il segno del monomio sottraendo.
Tenendo conto di entrambe le considerazioni abbiamo:
\[ =-4x^3y^2-6x^3y^2+(+2xy^3)-8xy^3= \]
Ora eliminiamo l’operatore \( + \) davanti alla parentesi tonda e pure entrambe le parentesi tonde:
\[ =-4x^3y^2-6x^3y^2+2xy^3-8xy^3= \]
Ora abbiamo un’espressione con somme e sottrazioni tra monomi. Come sappiamo dalle regole di precedenza tali operazioni vanno eseguite nell’ordine in cui compaiono, da sinistra verso destra.
Dobbiamo ora individuare gli eventuali monomi simili. In assenza di monomi simili, sappiamo che la somma andrà lasciata indicata.
Osserviamo che abbiamo dei monomi simili, che possiamo evidenziare con dei segni sotto di essi:
\[ =\underline{-4x^3}y^2-\underline{6x^3y^2}+\underline{\underline{2xy^3}}-\underline{\underline{8xy^3}}= \]
Sommando tra loro i monomi simili otteniamo il risultato finale:
\[ =-10x^3y^2-6xy^3 \]
Esercizio 3
\[ \dfrac{1}{3}abc \cdot (-2a^2b)-\dfrac{2}{5}ab^2\cdot\left(-\dfrac{5}{4}a^2c \right)-\dfrac{5}{6}a^3b^2c \]
Qui abbiamo come parti numeriche dei monomi delle frazioni. Come di buona consuetudine per le espressioni numeriche, anche qui conviene guardare se nei prodotti tra monomi possiamo eseguire delle semplificazioni incrociate tra le parti numeriche.
Osservando il secondo prodotto tra monomi, vediamo che qui è possibile eseguire delle semplificazioni incrociate tra le frazioni numeriche. Abbiamo:
\[ \begin{align} & \dfrac{1}{3}abc \cdot (-2a^2b)-\dfrac{2}{5}ab^2\cdot\left(-\dfrac{5}{4}a^2c \right)-\dfrac{5}{6}a^3b^2c = \\ \\ & = \dfrac{1}{3}abc \cdot (-2a^2b)-\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{5}}ab^2\cdot\left(-\dfrac{\cancel{5}}{\cancel{4}_{\small \displaystyle2}}a^2c \right)-\dfrac{5}{6}a^3b^2c =\end{align} \]
Ora procediamo eseguendo le moltiplicazioni tra monomi:
\[ =-\dfrac{2}{3}a^3b^2c+\dfrac{1}{2}a^3b^2c-\dfrac{5}{6}a^3b^2c= \]
I monomi sono tutti simili, per cui possiamo sommarli:
\[ =\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6} \right)a^3b^2c=\left(\dfrac{-4+3-5}{6} \right)a^3b^2c=-a^3b^2c \]
E così abbiamo ottenuto il risultato finale dell’espressione. 🙂
Esercizio 4
\[ \small \left(-\dfrac{2}{5} x^3yz^3\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{4}xy^4z^3 \right)-x^2y^3z^2\cdot\left(-\dfrac{9}{4}x^2y^2z^4\right)+2xyz^2\cdot(-3x^3y^4z^4) \]
Osserviamo anzitutto che abbiamo una moltiplicazione incrociata da eseguire nel primo prodotto a sinistra:
\[ \small \begin{align}& \left(-\dfrac{2}{5} x^3yz^3\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{4}xy^4z^3 \right)-x^2y^3z^2\cdot\left(-\dfrac{9}{4}x^2y^2z^4\right)+2xyz^2\cdot(-3x^3y^4z^4)= \\ \\ & = \left(-\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{5}} x^3yz^3\right) \cdot \left(-\dfrac{\cancel{5}}{\cancel{4}_{\small \displaystyle2}}xy^4z^3 \right)-x^2y^3z^2\cdot\left(-\dfrac{9}{4}x^2y^2z^4\right)+2xyz^2\cdot(-3x^3y^4z^4)= \end{align} \]
Ora eseguiamo rapidamente le moltiplicazioni tra monomi:
\[ =\dfrac{1}{2}x^4y^5z^6+\dfrac{9}{4}x^4y^5z^6-6x^4y^5z^6= \]
I monomi sono tutti simili, per cui possiamo sommarli tra loro:
\[ \begin{align} &=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{4}-6 \right)x^4y^5z^6= \\ \\ & = \left(\dfrac{2+9-24}{4} \right)x^4y^5z^6 = \\ \\ & = -\dfrac{13}{4}x^4y^5z^6\end{align} \]
Esercizio 5
\[ -5a^3bc^3\cdot\left(-\dfrac{1}{4}a^2b^3 \right)-\dfrac{1}{7}abc\cdot(3a^4b^3c^2)+\dfrac{1}{2}a^5\cdot(-b^4c^3) \]
Qui non abbiamo semplificazioni incrociate da eseguire per i prodotti delle parti numeriche. Procediamo allora eseguendo direttamente i prodotti tra i monomi e tutte le successive operazioni:
\[ \begin{align}& -5a^3bc^3\cdot\left(-\dfrac{1}{4}a^2b^3 \right)-\dfrac{1}{7}abc\cdot(3a^4b^3c^2)+\dfrac{1}{2}a^5\cdot(-b^4c^3) = \\ \\ & = \dfrac{5}{4}a^5b^4c^3-\dfrac{3}{7}a^5b^4c^3-\dfrac{1}{2}a^5b^4c^3= \\ \\ &=\left(\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{7} -\dfrac{1}{2}\right)a^5b^4c^3= \\ \\ &=\left(\dfrac{35-12-14}{28} \right)a^5b^4c^3= \\ \\ & = \dfrac{9}{28} a^5b^4c^3\end{align} \]
Concludiamo questa serie di esercizi sulle moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni tra monomi con un esercizio relativo ad un prodotto fra tre monomi. 🙂
Esercizio 6
\[ (4a^3bc^2)\cdot(3a^2bc^5)\cdot(2ab^2) \]
Il fatto di avere tre monomi non deve intimorirci. Le regole da seguire sono sempre le stesse: moltiplicare tra loro tutti i fattori numerici e letterali.
Così, avendo tre monomi, avremo tre parti numeriche da moltiplicare tra loro. Inoltre, dovremo ricercare le lettere con i loro esponenti in tutti e tre i monomi.
Procediamo quindi applicando le solite regole:
\[ (4a^3bc^2)\cdot(3a^2bc^5)\cdot(2ab^2)=(4\cdot3\cdot2)a^{3+2+1}b^{1+1+2}c^{2+5}=24a^6b^4c^7 \]
E così abbiamo moltiplicato tre monomi tra loro. 😉
Si concludono così gli esercizi sulle moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni tra monomi. Vi ricordiamo che potete verificare facilmente i risultati dei vostri esercizi utilizzando il comodo tool per il calcolo dei polinomi online. Il tool infatti non è solo per il calcolo dei polinomi ma anche per i monomi. 😉
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂