L’addizione tra monomi (somma di monomi) è la prima operazione che presentiamo poiché è strettamente collegata al concetto di monomi simili. Come è infatti già stato anticipato nella precedente lezione, l’addizione tra monomi è possibile soltanto tra monomi tra loro simili. Ovvero, tra monomi aventi la stessa parte letterale.
E come potremo vedere, la regola della somma di monomi simili discende direttamente dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Chi ha letto l’introduzione al calcolo letterale ha già avuto anticipazione di questo concetto. 😉
Somma di monomi
La somma di monomi può essere eseguita soltanto tra monomi simili, ovvero aventi la stessa parte letterale. Il risultato dell’operazione sarà un monomio avente la stessa parte letterale dei monomi dati e come coefficiente (parte numerica) la somma dei coefficienti dei monomi stessi.
Se i monomi non sono tra loro simili, ovvero hanno diversa parte letterale, la somma si lascerà indicata. In altre parole, lasceremo l’operazione scritta così come è senza svilupparla in alcun modo.
Ad esempio, dati i monomi:
\[ 3xy; \quad 5 xy \]
la loro somma è data da:
\[ 3xy+5xy=(3+5)xy=8xy \]
Infatti, i monomi hanno la stessa parte letterale. Di conseguenza, il risultato della loro somma è un monomio con quella stessa parte letterale avente per parte numerica la somma dei coefficienti dei monomi addendi.
Dati i seguenti monomi:
\[ 4xz; \quad7hz \]
la loro somma può essere soltanto lasciata indicata. Infatti, le parti letterali sono tra loro differenti. Così, non possiamo sommare i coefficienti dei monomi tra loro.
Potremo soltanto scrivere:
\[ 4xz+7hz \]
senza poter scrivere nient’altro. 😉
Convenzione sulla scrittura dell’addizione tra monomi
Osserviamo che, come per l’addizione tra numeri relativi, nell’eseguire l’addizione si possono scrivere tutti i monomi da sommare tra parentesi tonde, con il loro segno. Ad esempio, per indicare l’addizione tra i monomi:
\[ 3a;\quad -7b; \quad 8c \]
scriveremo:
\[ (+3a)+(-7b)+(+8c) \]
E come fatto per i numeri relativi, elimineremo per brevità i simboli di addizione e le parentesi, scrivendo semplicemente i monomi uno di seguito all’altro con il rispettivo segno:
\[ 3a-7b+8c \]
Il segno del primo monomio viene di solito omesso.
MONOMI SIMILI E NON SIMILI TRA LORO NEGLI ADDENDI
Abbiamo finora visto due casi. Nel primo caso, i monomi da sommare sono tutti simili tra loro. Nel secondo caso, i monomi da sommare non sono simili tra loro. Esiste un terzo caso, nel quale alcuni monomi sono tra loro simili, mentre altri no. In altre parole, potrà capitare di riuscire ad individuare tra gli addendi dei gruppi di monomi simili e dei monomi che non sono invece simili a nessun’altro monomio.
Sia ad esempio da eseguire la seguente somma di monomi:
\[ 4ab+3c-3ab+9c-27k+8h \]
Osservando attentamente l’espressione, notiamo che i monomi \( 4ab \) e \( -3ab \) sono simili poiché condividono la stessa parte letterale. Anche i monomi \( 3c \) e \( 9c \) sono tra loro simili.
Invece, i monomi \( -27k \) e \( 8h \) non sono simili, né tra loro stessi, né a nessun’altro monomio.
Così, sommeremo tra loro soltanto i monomi simili, lasciando indicate le somme tra i monomi non simili. Si ha:
\[ \begin{align}& 4ab+3c-3ab+9c-27k+8h=4ab-3ab+3c+9c-27k+8h= \\ \\ & = (4-3)ab+(3+9)c-27k+8h=ab+12c-27k+8h\end{align} \]
Nell’eseguire l’addizione abbiamo dapprima riordinato i monomi utilizzando la proprietà commutativa, ed abbiamo poi sommato tra loro i coefficienti dei soli monomi simili. Le somme tra i coefficienti numerici sono state indicate esplicitamente.
E’ possibile e consigliabile eseguire tali addizioni in modo più spedito. 😉 Per fare ciò, possiamo indicare i monomi tra lori simili ponendo un segno a nostra scelta sotto di essi. Chiaramente, ad ogni gruppo di monomi simili sarà associato un suo esclusivo segno. In questo modo, possiamo eseguire la precedente addizione tra monomi come segue:
\[ \begin{align}& 4ab+3c-3ab+9c-27k+8h=\underline{4ab}+\underline{\underline{3c}}-\underline{3ab}+\underline{\underline{9c}}-27k+8h=\\ \\ &=ab+12c-27k+8h\end{align} \]
Aiutandosi con i segni posti sotto i monomi, l’idea è così quella di sommare le parti numeriche dei monomi simili mentalmente o a parte se necessario, scrivendo direttamente il risultato dell’addizione.
Dopo un po’ di esperienza, vedrete che non dovrete più nemmeno porre i segni sotto i monomi per fare queste addizioni. 😉
Addizioni di monomi con termini tra loro opposti
Consideriamo la seguente somma di monomi:
\[ 3xy+9y+2xy+3a-2y-3a \]
Osserviamo che i monomi \( 3a \) e \( -3a \) sono tra loro opposti. Poiché la somma dei rispettivi coefficienti è pari a zero, non sarà necessario sommare le parti numeriche dei monomi opposti. Piuttosto, elimineremo entrambi con il simbolo di semplificazione. Si ha così:
\[ \begin{align}&3xy+9y+2xy+3a-2y-3a=\underline{3xy}+\underline{\underline{9y}}+\underline{2xy}+\cancel{3a}-\underline{\underline{2y}}-\cancel{3a}= \\ \\ & = 5xy+7y \end{align} \]
Proviamo infatti a sommare i due monomi opposti tra loro:
\[ 3a+(-3a)=3a-3a=(3-3)a=0a=0 \]
Questo ci fa capire come sia inutile eseguire la somma e sia piuttosto conveniente semplificarli tra loro come mostrato. 😉
Esempi
Esempio 1
\[ 3ab+9ab-7ab-20ab \]
I monomi sono tutti tra loro simili. Per cui, si tratterà di sommare algebricamente tra loro i coefficienti dei monomi, ottenendo:
\[ 3ab+9ab-7ab-20ab=-15ab \]
ESEMPIO 2
\[ 4a+7b+3a-9b \]
Stavolta i monomi non sono tutti simili. Tuttavia, possiamo individuare due gruppi di monomi simili (quelli con parte letterale \( a \) e quelli con parte letterale \( b \)). Poniamo di conseguenza i segni sotto ai monomi simili tra loro ed eseguiamo l’addizione:
\[ 4a+7b+3a-9b=\underline{4a}+\underline{\underline{7b}}+\underline{3a}-\underline{\underline{9b}}=7a-2b \]
ESEMPIO 3
\[ 5x^2y-9x^2y+8xy^2-6-3xy^2+5 \]
Qua dobbiamo prestare molta attenzione agli esponenti nelle parti letterali. In particolare, consideriamo le due parti letterali:
\[ x^2y; \qquad xy^2 \]
In ciascuna di esse compaiono le stesse lettere. Tuttavia, gli esponenti sono diversi. Pertanto, abbiamo due parti letterali differenti tra loro. Così, i monomi non sono tutti simili tra loro.
Osserviamo poi che abbiamo due termini numerici, ovvero due monomi nei quali non compare la parte letterale. Come ci comportiamo? Dobbiamo semplicemente sommare i termini numerici tra loro. 😉
Fatte queste considerazioni, possiamo procedere tranquillamente con l’addizione:
\[ \begin{align}&5x^2y-9x^2y+8xy^2-6-3xy^2+5= \underline{5x^2y}-\underline{9x^2y}+\underline{\underline{8xy^2}}-6-\underline{\underline{3xy^2}}+5 = \\ \\ & = -4 x^2y + 5 xy^2-1 \end{align} \]
EseMPIO 4
\[ \dfrac{2}{3}a+\dfrac{9}{2}b+\dfrac{5}{3}a-\dfrac{7}{2}b \]
Le parti numeriche dei monomi sono frazionare.. ma cambia ben poco rispetto agli altri esempi visti. 🙂 Svolgiamo la somma:
\[ \dfrac{2}{3}a+\dfrac{9}{2}b+\dfrac{5}{3}a-\dfrac{7}{2}b=\underline{\dfrac{2}{3}a}+\underline{\underline{\dfrac{9}{2}b}}+\underline{\dfrac{5}{3}a}-\underline{\underline{\dfrac{7}{2}b}}=\dfrac{7}{3}a+b \]
Perché queste regole sulla somma di monomi?
Consideriamo la seguente somma di monomi:
\[ 4ab+2ab \]
Ormai sappiamo che il risultato è:
\[ 4ab+2ab=6ab \]
Come possiamo darne una giustificazione intuitiva?
Con tale addizione, intendiamo sommare quattro volte il prodotto \( a \times b \) con due volte quello stesso prodotto \( a \times b \). In altre parole, sommiamo il quadruplo di una quantità con il doppio di quella stessa quantità. E’ ovvio che come risultato avremo sei volte quella quantità, quindi \( 6 \times a \times b \). 😉
Allo stesso modo, se consideriamo la somma:
\[ 2ab+3bc+4ab+5bc \]
possiamo vedere che abbiamo due tipi di prodotti: \( ab \) e \( bc \). Così, sapremo che \( 2ab \) e \( 4ab \) rappresentano rispettivamente il doppio e il quadruplo di uno stesso prodotto. Allo stesso modo, \( 3bc \) e \( 5bc \) rappresentano rispettivamente il triplo e il quintuplo, ancora, di uno stesso prodotto. Così, volendo sommare queste quantità tra loro, sarà chiaro che avremo:
- la somma del doppio e del quadruplo del prodotto \( ab \), cioè sei volte \( ab \);
- la somma del triplo e del quintuplo del prodotto \( bc \), pari a otto volte il prodotto \( bc \).
Così, grazie a questi ragionamenti eseguiremo la somma come segue:
\[ 2ab+3bc+4ab+5bc=6ab+8bc \]
e ritroviamo né più e né meno che il risultato che si può ottenere applicando le regole finora esposte. 😉
Tali regole del resto si giustificano agevolmente anche grazie alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Ad esempio, per la proprietà distributiva della moltiplicazione si ha:
\[ (3+2+5)a=3a+2a+5a \]
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza si ha pure, ovviamente:
\[ 3a+2a+5a= (3+2+5)a\]
Il che, ancora una volta, riflette le regole sin qui discusse. 🙂
Terminiamo così questa lezione sull’addizione tra monomi (somma di monomi). Se avete qualche dubbio riguardo agli esempi presentati, potrà sicuramente essere utile un ripasso sull’addizione tra numeri relativi. Oppure, può essere d’aiuto riguardare un attimo l’addizione tra frazioni. 😉
Nella prossima lezione, vedremo la sottrazione tra monomi. Ciao a tutti! 🙂