Qui ci occuperemo dei sistemi lineari così come sono trattati nelle scuole superiori. Di conseguenza, avremo esclusivamente a che fare con sistemi di due equazioni in due incognite (sistemi \( 2 \times 2 \)) e con sistemi di tre equazioni in tre incognite (sistemi \( 3 \times 3). \)
A dire il vero, in una lezione risolveremo anche un sistema di quattro equazioni in quattro incognite, ma ciò sarà soltanto a scopo di approfondimento. 😉
Ma cosa è un sistema? In breve, un sistema equivale ad avere due o più equazioni che devono essere verificate contemporaneamente. Così, l’eventuale soluzione del sistema sarà data dai valori delle incognite che soddisfano tutte le equazioni presenti nel sistema stesso. Questa definizione molto intuitiva verrà resa in modo più rigoroso nella prima lezione sui sistemi lineari. In tale contesto ci ricollegheremo ad alcune definizioni introdotte a suo tempo nell’ambito della logica.
In questo corso di lezioni introdurremo gradualmente i sistemi lineari, a partire dai sistemi \( 2 \times 2 \). Di questi vedremo subito tutti e quattro i metodi risolutivi (metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione e regola di Cramer). Fatto ciò, estenderemo il discorso al caso dei sistemi \( 3 \times 3 \). In tale contesto, dedicheremo una lezione a ciascun metodo.
Nel presentare i sistemi lineari faremo il più possibile riferimento alla teoria sulle equazioni di primo grado. In particolare, richiameremo spesso i principi di equivalenza. In tal modo, ci sarà possibile introdurre i metodi risolutivi dei sistemi lineari in modo ragionato, mostrando come sia possibile comprenderne la logica grazie alle conoscenze che già abbiamo.
Ciascun metodo ha i suoi vantaggi e svantaggi, e un metodo conveniente per un esercizio può non esserlo per un altro. Nelle lezioni confronteremo pertanto i vari metodi risolutivi dei sistemi lineari, anche mostrando diversi svolgimenti possibili per uno stesso problema. Vedremo come per i sistemi lineari \( 2 \times 2 \) sia spesso accettabile il metodo di sostituzione, che è il più intuitivo. Per i sistemi lineari \( 3 \times 3 \), invece, vedremo come il metodo di riduzione sia spesso la scelta migliore.
Ci occuperemo inoltre dello studio dei sistemi determinati, indeterminati ed impossibili. In parole semplici, vedremo quali regole usare per capire se un sistema ammette soluzioni oppure no.
Infine, in una lezione facoltativa presenteremo il metodo di riduzione Gaussiana, in una versione semplificata adatta per le scuole superiori.
Ed ecco le lezioni sui sistemi lineari di Altramatica destinate agli studenti delle scuole superiori. Ogni lezione è completa di esercizi svolti, ed inoltre sono disponibili delle schede espressamente dedicate agli esercizi.
Vi ricordo infine il pratico tool per verificare i vostri esercizi: sistemi di equazioni online.
Lezioni ed esercizi sui sistemi lineari per le scuole superiori
- Sistemi di equazioni di primo grado (metodi ed esempi) – sistemi con due equazioni in due incognite
- Metodo di sostituzione
- Metodo del confronto
- Metodo di riduzione
- Regola di Cramer
- Sistemi determinati, indeterminati ed impossibili
Esercizi
- Esercizi sui sistemi lineari di due equazioni in due incognite
- Risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite
- Ulteriori esercizi sui sistemi di tre equazioni in tre incognite
Gli esercizi sono tarati per difficoltà crescente e spesso presentano per uno stesso problema più metodi risolutivi. In questo modo sarà possibile avere un’idea del metodo più conveniente da utilizzare per risolvere un dato esercizio.
Tool
- Risolutore online per sistemi di equazioni e disequazioni
- Risolvere un sistema lineare con la calcolatrice
Un pratico risolutore che vi permette di verificare i vostri esercizi. Il tool consente di inserire comodamente ciascuna equazione nella rispettiva casella, evitando di dover condensare il sistema in una sola riga di testo. 😉
Approfondimenti
- Metodo di riduzione Gaussiana
- Risolvere un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite
Negli approfondimenti viene presentato il metodo di riduzione Gaussiana in una versione semplificata per le scuole superiori. L’idea è quella di utilizzare il metodo di riduzione in modo da ricondursi ad un sistema nella forma triangolare, dal quale risulta molto agevole ricavare le incognite.