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Con questa lezione dedicata al metodo di sostituzione cominciamo ad estendere i metodi già visti per risolvere i sistemi. In particolare, ci occuperemo del caso relativo ai sistemi di equazioni di primo grado in tre equazioni e tre incognite. Tali sistemi vengono anche indicati per brevità come sistemi lineari \( 3 \times 3 \).
In questa lezione ci occupiamo quindi dei metodi per risolvere i sistemi di equazioni di primo grado con tre equazioni e tre incognite. E vedremo che sarà possibile utilizzare i metodi risolutivi che già conosciamo per i sistemi lineari \( 2 \times 2 \): il metodo di sostituzione, il metodo del confronto, il metodo di riduzione e infine il metodo di Cramer (o regola di Cramer).
Nel caso dei sistemi lineari con tre equazioni in tre incognite, se il sistema è determinato questo avrà come soluzione un’unica terna di valori delle incognite \( x, \: y, \:z \).
Le conoscenze che abbiamo sulla risoluzione dei sistemi lineari con due equazioni e due incognite saranno qui fondamentali. Infatti, per risolvere un sistema lineare contenente tre equazioni il trucco sarà quello di ricondurci al caso di un sistema con due equazioni, ricavando due incognite, per poi riprendere la terza equazione al fine di ricavare l’ultima incognita. Questo principio è quanto accomuna i metodi di sostituzione, del confronto e di riduzione applicati ai sistemi lineari contenenti tre equazioni.
Per la regola di Cramer, vedremo invece che l’estensione al caso dei sistemi lineari \( 3 \times 3 \) sarà immediata dal punto di vista concettuale. Tuttavia, ci sarà una piccola sfida da affrontare, ovvero saper calcolare il determinante di una matrice \( 3 \times 3 \). Tale esigenza nasce dal fatto che ora abbiamo proprio \( 3 \) equazioni in \( 3 \) incognite. Ma, niente paura. Presenteremo una tecnica piuttosto comoda (detta regola di Sarrus), che ben si adatta al caso dei sistemi lineari.
In questa lezione e in quelle che seguiranno supporremo per semplicità di avere a che fare con sistemi lineari \( 3 \times 3 \) determinati, ovvero che ammettono come soluzione un’unica terna \( (x, y, z) \). Poi in una lezione dedicata vedremo in modo approfondito i casi di sistemi determinati, indeterminati ed impossibili.
Vediamo allora subito come risolvere i sistemi di equazioni di primo grado con tre equazioni in tre incognite mediante il metodo di sostituzione. Via! 🙂
Metodo di sostituzione per sistemi lineari \( 3 \times 3 \)
Il metodo di sostituzione per i sistemi lineari \( 3 \times 3 \) si basa ancora sul principio di sostituzione ed è pertanto simile al metodo di sostituzione nel caso dei sistemi lineari \( 2 \times 2 \). Tuttavia, c’è una differenza alla quale bisogna prestare attenzione.
In particolare, ora dobbiamo scegliere all’inizio una delle tre equazioni, e con essa cominceremo ad applicare il principio di sostituzione. Dopo di che, dovremo “congelare” tale equazione, e proseguiremo lavorando unicamente con le due rimanenti equazioni. Riprenderemo soltanto alla fine l’equazione “messa da parte”, ossia nel momento in cui avremo finito di lavorare con le altre due equazioni.
I passaggi da seguire sono cioè i seguenti:
- isolare un’incognita da una delle tre equazioni, ottenendo un’espressione contenente le altre due incognite;
- sostituire nelle altre due equazioni al posto dell’opportuna incognita l’espressione appena ricavata. A questo punto, le due equazioni saranno soltanto in due incognite;
- procedere lavorando soltanto con le due equazioni in due incognite, come nei sistemi \( 2 \times 2 \). Utilizzeremo in particolare una delle due equazioni per ricavare un’espressione contenente una sola incognita, e sostituiremo tale espressione nell’altra equazione in modo da ottenere un primo valore numerico per un’incognita. Sostituendo poi il valore ottenuto nell’altra equazione otterremo anche il valore dell’altra incognita;
- infine, si tratterà di riprendere l’equazione che avevamo “messo da parte”, sostituendo in essa i due valori ottenuti per le incognite, ricavando in conclusione l’ultima incognita rimasta.
Vediamo subito un esempio. 🙂
Come risolvere un sistema lineare per sostituzione (tre equazioni in tre incognite)
Risolviamo insieme il sistema:
\[ \begin{cases} \begin{align}&3x+4y-z=5 \\ \\ &2x-3y+2z=6 \\ \\ &x+y-z=1 \end{align}\end{cases} \]
Buttiamo subito l’occhio sull’equazione più “attraente”, ovvero quella che renderà i calcoli più semplici. Si tratta della terza equazione, nella quale i coefficienti delle incognite sono tutti unitari. Così, utilizzando tale equazione ricaviamo ad esempio l’incognita \( x \):
\[ \begin{cases} 3x+4y-z=5 \\ \\ 2x-3y+2z=6 \\ \\ x+y-z=1 \quad \rightarrow \quad x = 1-y+z \end{cases} \]
Ora, sostituiamo l’espressione ottenuta al posto della \( x \) nelle altre due equazioni:
\[ \begin{cases}3(1-y+z)+4y-z=5 \\ \\ 2(1-y+z)-3y+2z=6 \\ \\ x=1-y+z \end{cases} \]
Ora, mettiamo da parte la terza equazione e lavoriamo solo sulle altre due. Per non confonderci, possiamo in questa fase iniziale di apprendimento sostituire l’equazione che al momento non intendiamo usare con dei puntini. Procediamo calcolando i prodotti nelle prime due equazioni:
\[ \begin{cases}3-3y+3z+4y-z=5 \\ \\ 2-2y+2z-3y+2z=6 \\ \\ \dots \end{cases} \]
Infine sommiamo i termini simili:
\[ \begin{cases}y+2z=2 \\ \\ -5y + 4z = 4 \\ \\ \dots \end{cases} \]
Come è immediato osservare, ci ritroviamo praticamente con un sistema \( 2 \times 2 \). 😉
Ancora una volta, scegliamo la strada più comoda. Poiché nella prima equazione la \( y \) ha coefficiente \( 1 \), conviene isolare la \( y \) proprio da questa equazione:
\[ \begin{cases}y+2z=2 \quad \rightarrow \quad y = 2-2z\\ \\ -5y + 4z = 4 \\ \\ \dots \end{cases} \]
A questo punto sostituiamo l’espressione ottenuta per la \( y \) nella seconda equazione:
\[ \begin{cases}y = 2-2z \\ \\ -5(2-2z)+4z=4 \\ \\ \dots \end{cases} \]
Svolgendo i calcoli abbiamo:
\[ \begin{cases}y = 2-2z \\ \\ -10 + 10z+4z=4 \\ \\ \dots \end{cases} \qquad \quad \begin{cases}y = 2-2z \\ \\ 14z=4+10 \\ \\ \dots \end{cases} \]
Ricaviamo \( z \) dalla seconda equazione:
\[ \begin{cases}y = 2-2z \\ \\ 14z=4+10 \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{14}{14} \quad \rightarrow \quad z = 1 \\ \\ \dots \end{cases} \]
Ora, sostituiamo il valore di \( z \) nella prima equazione:
\[ \begin{cases}y = 2-2 \quad \rightarrow \quad y = 0\\ \\ z = 1 \\ \\ \dots \end{cases} \]
A questo punto riprendiamo l’equazione che avevamo messo da parte, e scriviamola al posto dei puntini:
\[ \begin{cases} y = 0 \\ \\ z = 1 \\ \\ x = 1-y+z\end{cases} \]
Sostituiamo nella terza equazione i valori della \( y \) e della \( z \). Si ha:
\[ \begin{cases} y = 0 \\ \\ z = 1 \\ \\ x = 1-0+1\end{cases} \]
e quindi in conclusione:
\[ \begin{cases} y = 0 \\ \\ z = 1 \\ \\ x = 2 \end{cases} \]
Abbiamo quindi risolto il sistema, poiché abbiamo trovato i valori di tutte e tre le incognite. Scriviamo per concludere l’insieme delle soluzioni:
\[ S = \left\{\left(2,0,1 \right) \right\} \]
La terna \( (2,0,1) \) è dunque l’unica soluzione del sistema.
Quando conviene usare il metodo di sostituzione?
Due cose saltano subito all’occhio per quanto riguarda il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari \( 3 \times 3 \):
- il metodo è piuttosto semplice concettualmente, poiché si tratta soltanto di applicare ripetutamente il principio di sostituzione;
- il metodo è allo stesso tempo piuttosto lento, poiché le sostituzioni da effettuare sono numerose.
Diciamo che il metodo di sostituzione è adatto per tutti i sistemi delle scuole superiori, anche se il suo utilizzo specialmente nei sistemi \( 3 \times 3 \) si rivela spesso inefficiente e soggetto ad errori nei calcoli (i cosiddetti errori di “distrazione”).
Nella prossima lezione ci occuperemo allora degli altri tre metodi, a cominciare dal metodo del confronto. Questo risulta in verità utile soltanto in casi abbastanza specifici, tuttavia è bene conoscerlo.
Nelle lezioni ancora successive vedremo il metodo di riduzione (piuttosto comodo per i sistemi lineari dalle tre equazioni in su) e il metodo di Cramer.
NOTA: per verificare i vostri esercizi sui sistemi lineari, vi ricordo il tool: risolvere i sistemi di equazioni e disequazioni online. 😉
Buon proseguimento a tutti con Altramatica! 🙂