In questa lezione ci occupiamo dei sistemi di equazioni di primo grado (detti anche sistemi lineari). In particolare, forniremo un’introduzione ai sistemi di equazioni di primo grado (o lineari) pensata per gli studenti delle scuole superiori.
Un sistema è dato da due o più equazioni che devono essere verificate contemporaneamente. Ciò significa che il sistema avrà come insieme delle soluzioni l’intersezione tra gli insiemi delle soluzioni delle equazioni contenute nel sistema.
Ci occuperemo per il momento dei soli sistemi di equazioni di primo grado con due equazioni e due incognite (più brevemente indicati come sistemi lineari 2 per 2). In questa lezione forniremo una panoramica dettagliata di tutti i metodi risolutivi per i sistemi di equazioni di primo grado con due equazioni in due incognite.
Nelle successive lezioni, riprenderemo ciascun metodo risolutivo e vedremo la sua applicazione ai sistemi di equazioni di primo grado con tre equazioni in tre incognite.
Per chi già sa come risolvere i sistemi di primo grado ed ha bisogno di spiegazioni sugli esercizi: esercizi sui sistemi di primo grado con due equazioni in due incognite.
Cominciamo allora subito lo studio dei sistemi di equazioni di primo grado (sistemi lineari), chiarendo prima di tutto cosa si intende per sistema di equazioni in generale.
Introduzione ai sistemi di equazioni di primo grado: definizione di sistema di equazioni
Supponiamo di avere l’equazione di primo grado in due incognite:
\[ 2x+6y=3 \]
Ci è impossibile ricavare per essa una soluzione numerica. Il più che possiamo fare è esprimere un’incognita in funzione dell’altra.
Così ad esempio potremo scrivere:
\[ 2x =3-6y \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{3-6y}{2} \]
oppure:
\[ 6y=3-2x \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{3-2x}{6} \]
Se però abbiamo due equazioni di primo grado in due incognite:
\[ 2x+6y=3 \]
\[ 4x-3y=1 \]
allora quello che possiamo chiederci è: per quali valori della \( x \) e della \( y \) risultano verificate contemporaneamente entrambe le equazioni?
Se dunque guardiamo ciascuna equazione come una proposizione logica, ciò equivale a chiederci per quali valori della \( x \) e della \( y \) risulta verificata l’espressione logica:
\[ 2x+6y=3 \quad \wedge \quad 4x-3y=1 \]
Piuttosto che utilizzare l’operatore di congiunzione logica, la convenzione è quella di racchiudere le due equazioni in una sola parentesi graffa:
\[ \begin{cases} 2x+6y=3 \\ \\ 4x-3y=1 \end{cases} \]
In questo modo intendiamo che le due equazioni sono a sistema e che quindi ricerchiamo l’eventuale coppia \( (x,y) \) i cui valori soddisfano entrambe le equazioni.
Due equazioni scritte insieme mediante tale notazione si dicono sistema di equazioni. E poiché le equazioni sono entrambe di primo grado, diremo che abbiamo un sistema di equazioni di primo grado, o sistema lineare.
In particolare, poiché il sistema è caratterizzato da due equazioni in due incognite, diremo che siamo in presenza di un sistema lineare con due equazioni in due incognite. Più brevemente, utilizzeremo la definizione di sistemi lineari \( 2 \times 2 \), e di questi ci occuperemo in questa lezione. 😉
Sistemi di equazioni di primo grado equivalenti
Due sistemi di equazioni sono tra loro equivalenti se tutte le equazioni del primo sistema sono equivalenti a tutte le equazioni del secondo sistema.
Così, dati ad esempio i due sistemi:
\[ \begin{cases} 6x-4y=6 \\ \\ 2y-8x-2=0\end{cases} \qquad \quad \begin{cases} 3x-2y=3 \\ \\ y-4x-1 = 0\end{cases} \]
è abbastanza immediato accorgersi che questi sono equivalenti. Infatti, basta dividere entrambi i membri delle equazioni del primo sistema per \( 2 \) ed otteniamo le equazioni del secondo sistema. Ciò significa, come sappiamo, applicare il secondo principio di equivalenza. Così, le equazioni del primo sistema sono equivalenti alle equazioni del secondo sistema e di conseguenza i due sistemi sono tra loro equivalenti.
L’idea alla base dei metodi risolutivi dei sistemi lineari è proprio questa: riscrivere il sistema di partenza come un sistema ad esso equivalente ma più facile da risolvere. Questo principio verrà utilizzato più e più volte, fino a che non saranno determinate le eventuali soluzioni del sistema.
Il procedimento è quindi in linea di principio simile alla tecnica per la risoluzione delle equazioni. Infatti, nel risolvere le equazioni, a partire dall’equazione di partenza applichiamo i principi di equivalenza scrivendo via via delle equazioni equivalenti a quella data ma sempre più facili da risolvere, fino ad arrivare all’insieme delle soluzioni dell’equazione.
Ricordiamo i due principi di equivalenza delle equazioni di primo grado (intere ad una incognita):
- è possibile aggiungere o togliere una stessa quantità a ciascun membro dell’equazione, ottenendo un’equazione equivalente a quella data. La quantità potrà essere un numero o un’espressione contenente l’incognita, purché questa non sia a denominatore;
- è possibile moltiplicare o dividere entrambi i membri dell’equazione di partenza per uno stesso numero diverso da zero, ottenendo un’equazione equivalente a quella data.
Ora, nei sistemi ci ritroveremo a risolvere equazioni con più di una incognita, ma i metodi risolutivi dei sistemi di equazioni di primo grado comunque si basano sui principi di equivalenza. Per cui, le conoscenze che abbiamo sulle equazioni ci saranno di fondamentale aiuto. 😉
Sistemi di equazioni di primo grado in forma normale. Sistemi determinati, indeterminati ed impossibili
Possiamo rappresentare un sistema lineare con due equazioni in due incognite nella forma normale come segue:
\[ \begin{cases}a_1x+b_1y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2 y = c_2 \end{cases} \]
ove i termini \( a_1, \: a_2, \:b_1, \: b_2 \) sono tutti numeri reali.
Osserviamo che i termini noti (\( c_1, \: c_2 \)) si trovano esclusivamente al secondo membro delle equazioni, mentre gli altri termini contenenti le incognite si trovano soltanto al primo membro. Inoltre, le incognite si presentano in ciascuna equazione secondo l’ordine alfabetico.
Un sistema lineare con due equazioni in due incognite si dice determinato se ammette un’unica soluzione, costituita da un’unica coppia di valori \( x \) e \( y \). L’insieme delle soluzioni del sistema è allora dato da:
\[ S = \left\{\left(x, y \right) \right\} \]
Affinché un sistema lineare con due equazioni e due incognite sia determinato, dovrà in particolare essere:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}\neq \dfrac{b_1}{b_2} \]
Il sistema risulterà invece indeterminato, cioè verificato per infinite coppie \( (x,y) \), nel caso in cui sia:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2} \]
Infine, il sistema risulterà impossibile (ovvero non ammetterà alcuna soluzione) se:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2} \]
ovvero se i rapporti tra i coefficienti dei termini in \( x \) e \( y \) sono tra loro uguali ma differiscono entrambi dal rapporto tra i termini noti.
Senza addentrarci per il momento nei particolari della geometria analitica, possiamo comunque fornire un’intuitiva giustificazione delle regole su esposte.
La prima cosa da chiarire è che un’equazione del tipo \( ax+bx=c \) rappresenta una retta (più precisamente, una retta in forma implicita ha equazione \( ax+bx+c=0 \), ma ciò non cambia il senso del discorso). Così, in un sistema lineare di due equazioni in due incognite abbiamo a che fare con due rette.
Se le due rette non sono parallele, queste avranno per forza un punto in comune. Tale punto è proprio la coppia soluzione di un sistema determinato. Così, un sistema di due equazioni in due incognite è determinato se le due rette rappresentate dalle equazioni che lo compongono non sono tra loro parallele. La coppia \( (x,y) \) rappresenta così le coordinate del punto di intersezione tra le due rette.
Diversamente, se le rette sono parallele, possiamo avere due casi:
- le rette hanno tutti i punti in comune (sistema indeterminato);
- le rette non hanno nessun punto in comune (sistema impossibile).
I metodi per risolvere i sistemi di equazioni di primo grado (due equazioni in due incognite)
Nel seguito ci occuperemo dei metodi risolutivi dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite (sistemi \( 2 \times 2 \)). Nelle lezioni a seguire vedremo poi questi stessi metodi per i sistemi \( 3 \times 3 \), ovvero sistemi di tre equazioni in tre incognite.
I metodi che analizzeremo sono:
- metodo di sostituzione;
- metodo del confronto;
- metodo di riduzione;
- metodo di Cramer (o regola di Cramer).
Risolvere i sistemi di equazioni di primo grado: metodo di sostituzione
Il più semplice metodo per risolvere i sistemi di equazioni di primo grado (sistemi lineari) è il metodo di sostituzione.
Come dice il nome, esso si basa sul principio di sostituzione. Immaginiamo di avere ad esempio l’equazione:
\[ x+y=7 \]
Supponiamo inoltre di sapere che si ha, contemporaneamente:
\[ y=2x \]
Ciò equivale a dire che abbiamo:
\[ x+y=7 \quad \wedge \quad y=2x \]
Così, l’idea è quella di sostituire la quantità \( 2x \) al posto della \( y \) nell’equazione \( x+y=7 \):
\[ x+2x=7 \]
Di conseguenza, sotto l‘ipotesi \( y=2x \) abbiamo che le equazioni \( x+y=7 \) e \( x+2x=7 \) sono tra loro equivalenti. E c’è una cosa importante da notare: l’equazione che abbiamo ottenuto è in una sola incognita.
Quindi, dato un sistema di due equazioni in due incognite, l’idea è quella di utilizzare il principio di sostituzione in modo da sostituire una delle due equazioni con un’equazione equivalente che però presenta una sola incognita. In tal modo, ricavato un valore numerico per un’incognita, potremo sostituire tale valore nell’altra equazione, in modo da ricavare il valore numerico della rimanente incognita. Tutto qui. 😉
Vediamo subito il procedimento nella pratica. Risolviamo il sistema:
\[ \begin{cases}3x-2y=3 \\ \\ y-4x-1=0 \qquad (*) \end{cases} \]
Cominciamo esprimendo una delle due incognite in funzione dell’altra. L’idea è quella di esprimere ad esempio l’incognita \( x \) mediante un’espressione contenente l’incognita \( y \) (o viceversa). In questo caso, poiché nell’equazione \( (*) \) la \( y \) ha coefficiente \( 1 \), è chiaro che ricavare la \( y \) da tale equazione è piuttosto agevole. Riscriviamo allora il sistema di partenza esplicitando la \( y \) nella seconda equazione:
\[ \begin{cases}3x-2y=3 \\ \\ y=4x+1 \end{cases} \]
Ora, poiché il sistema ci dice che si ha:
\[ 3x-2\boxed{y}=3 \quad \wedge \quad y=\boxed{4x+1} \]
l’idea è quella di sostituire la quantità \( 4x+1 \) alla \( y \) nella prima equazione del sistema. Possiamo così scrivere:
\[ \begin{cases} 3x-2(\boxed{4x+1})=3 \\ \\ y=4x+1\end{cases} \]
Il sistema è ancora equivalente a quello di partenza, poiché abbiamo applicato il principio di sostituzione. Infatti, sotto l’ipotesi \( y=4x+1 \), l’equazione appena scritta, ovvero \( 3x-2(\boxed{4x+1})=3 \), è equivalente all’equazione originaria \( 3x-2y=3 \). Da ciò consegue l’equivalenza tra i sistemi. Ed ora abbiamo a sistema un’equazione nella sola incognita \( x \)!
Calcoliamo i prodotti nella prima equazione a sistema:
\[ \begin{cases} 3x-8x-2=3 \\ \\y=4x+1 \end{cases} \]
Ora sommiamo i termini simili:
\[ \begin{cases}-5x=5 \\ \\ y = 4x+1 \end{cases} \]
Possiamo a questo punto ricavare la \( x \):
\[ \begin{cases}x =-1 \\ \\ y=4 x+1 \end{cases} \]
Ma a questo punto è chiaro: possiamo di nuovo applicare il principio di sostituzione, stavolta sostituendo la quantità \( -1 \) alla \( x \) nella seconda equazione. Si ha:
\[ \begin{cases}x = -1 \\ \\ y = 4 \cdot (-1) + 1 \end{cases} \]
Otteniamo così in conclusione:
\[ \begin{cases} x = -1 \\ \\ y = -3 \end{cases} \]
Conosciamo finalmente il valore di entrambe le incognite e possiamo scrivere l’insieme delle soluzioni del sistema, dato unicamente dalla coppia:
\[ S = \left\{(-1, -3) \right\} \]
Un modo efficiente di utilizzare il metodo di sostituzione è quello di fare le scelte in modo che i calcoli siano i più semplici possibili. Dunque, anche se in teoria è possibile cominciare a risolvere il sistema ricavando una delle due incognite a piacere, la scelta dovrà convenientemente ricadere sull’incognita più facile da ricavare, ovvero:
- l’incognita che ha un coefficiente unitario;
- l’incognita che, una volta esplicitata, dà luogo ad un’espressione nella quale è possibile eseguire delle semplificazioni.
Per meglio chiarire il secondo punto, vediamo il seguente esempio. Risolviamo insieme il sistema lineare:
\[ \begin{cases} 3x-2y=2 \\ \\ 6x – \dfrac{1}{2}y=4\end{cases} \]
Quale incognita esplicitiamo e in quale equazione? La scelta non è del tutto immediata, poiché in nessuna incognita abbiamo un coefficiente unitario.
Tuttavia, osserviamo che la cosa conveniente da fare è ricavare la \( y \) dalla seconda equazione. Infatti, poiché il coefficiente della \( y \) è frazionario, l’espressione che otterremo in funzione di \( x \) sarà un’espressione intera:
\[ \scriptsize \begin{cases} 3x-2y=2 \\ \\ 6x – \dfrac{1}{2}y=4 \quad \rightarrow \quad -\dfrac{1}{2}y=4-6x \quad \rightarrow \quad -\dfrac{1}{2}y \cdot (-2)=(4-6x) \cdot (-2) \quad \rightarrow \quad y = -8+12x\end{cases} \]
Abbiamo sviluppato per comodità soltanto la seconda equazione senza riscrivere ogni volta tutto il sistema. 😉 Si ha così:
\[ \begin{cases}3x-2\boxed{y}=2 \\ \\ y = \boxed{-8+12x} \end{cases} \]
Come possiamo vedere, abbiamo esplicitato la \( y \) ottenendo un’espressione contenente l’incognita \( x \) piuttosto semplice, priva di denominatori. 😉 Altre scelte ci avrebbero portato invece ad avere dei denominatori, complicando i calcoli.
A questo punto, sostituiamo la \( y \) nella prima equazione con l’espressione appena ricavata. Otteniamo:
\[ \begin{cases}3x-2(-8+12x)=2\\ \\ y = -8+12x \end{cases} \]
Eseguiamo il prodotto nella prima equazione:
\[ \begin{cases}3x+16-24x=2 \\ \\ y = -8+12x \end{cases} \]
Sommiamo i termini simili:
\[ \begin{cases} -21x=-14 \\ \\ y = -8 + 12x\end{cases} \]
A questo punto è immediato ricavare la \( x \) dalla prima equazione:
\[ \begin{cases} x = \dfrac{-14}{-21} \quad \rightarrow \quad x = \dfrac{2}{3}\\ \\ y = -8 + 12x\end{cases} \]
Infine, sostituendo il valore numerico appena ottenuto della \( x \) nella seconda equazione:
\[ \begin{cases} x = \dfrac{2}{3} \\ \\ y = -8 + 12 \cdot \dfrac{2}{3} \quad \rightarrow \quad y = -8+8\end{cases} \]
e quindi, in conclusione:
\[ \begin{cases}x = \dfrac{2}{3} \\ \\ y = 0 \end{cases} \]
Così, il sistema ha come soluzione la coppia:
\[ S = \left\{\left(\dfrac{2}{3}, 0\right) \right\} \]
Sistemi di equazioni di primo grado con il metodo del confronto
Il metodo del confronto per i sistemi di primo grado si basa su un principio piuttosto intuitivo. Consideriamo ad esempio il sistema:
\[ \begin{cases} x =3y+4 \\ \\ x=5y+9\end{cases} \]
Osserviamo che in entrambe le equazioni risulta esplicitata la stessa incognita (in questo caso la \( x \)). In particolare, ci ritroviamo nella situazione in cui una stessa quantità (l’incognita) è uguale a due distinte espressioni. Ma allora, poiché le due uguaglianze, essendo a sistema, devono valere contemporaneamente, le due espressioni devono essere per forza tra loro uguali:
\[ \begin{cases} x =\boxed{3y+4} \\ \\ x=\boxed{5y+9}\end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad 3y+4=5y+9 \]
Osserviamo che l’equazione appena scritta è equivalente ad entrambe le equazioni date e può dunque essere sostituita nel sistema ad una delle due equazioni di partenza a nostra scelta. E ciò risulta conveniente poiché l’equazione ottenuta presenta una sola incognita.
Assegnato quindi un sistema, il trucco del metodo del confronto è isolare la stessa incognita in entrambe le equazioni a sistema. Si procederà poi sostituendo una delle due equazioni con una nuova equazione che si ottiene uguagliando le due espressioni che esprimono la stessa incognita.
Vediamo subito un paio di esempi. 😉
Esempio 1 (metodo del confronto)
Risolviamo con il metodo del confronto il sistema di equazioni di primo grado:
\[ \begin{cases}2x+y=3 \\ \\ 4x+y=4 \end{cases} \]
Poiché in entrambe le equazioni a sistema la \( y \) ha coefficiente pari ad \( 1 \), è intuitivo che conviene esplicitare la \( y \) in entrambe le equazioni. Si ha:
\[ \begin{cases}y=\boxed{3-2x} \\ \\ y=\boxed{4-4x} \end{cases} \]
Uguagliando le due espressioni nei riquadri, otteniamo una nuova equazione:
\[ \boxed{3-2x}= \boxed{4-4x} \]
L’equazione è equivalente ad entrambe le equazioni a sistema, così questa può essere sostituita ad una di esse, a nostro piacere. Mettiamo ad esempio a sistema questa nuova equazione al posto della seconda equazione:
\[ \begin{cases}y=3-2x \\ \\ 3-2x=4-4-x \end{cases} \]
Ora possiamo svolgere i calcoli in questa nuova seconda equazione del sistema fino a ricavare il valore numerico dell’incognita \( x \):
\[ \begin{cases}y=3-2x \\ \\ 2x= 4-3\end{cases} \]
\[ \begin{cases}y=3-2x \\ \\ x = \dfrac{1}{2} \end{cases} \]
Ora non ci resta che sostituire il valore della \( x \) nella prima equazione:
\[ \begin{cases}y=2 \\ \\ x = \dfrac{1}{2} \end{cases} \]
A questo punto siamo arrivati e possiamo scrivere la soluzione del sistema:
\[ S = \left\{\left(\dfrac{1}{2}, 2 \right) \right\} \]
Esempio 2 (sistemi di equazioni di primo grado, metodo del confronto)
\[ \begin{cases}x+2y-\dfrac{3}{2} =0 \\ \\ \dfrac{1}{3}x=2y-\dfrac{1}{6}\end{cases} \]
Dato che l’incognita \( y \) presenta lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni, possiamo scrivere:
\[ \begin{cases} 2y=\boxed{-x+\dfrac{3}{2}}\\ \\ 2y=\boxed{\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}}\end{cases} \]
Osserviamo che possiamo accontentarci anche così. Entrambe le equazioni ci forniscono un’espressione per il doppio dell’incognita, e ciò ci basta per applicare il metodo del confronto. Così, dal confronto delle due equazioni così espresse otteniamo una nuova equazione nella sola incognita \( x \):
\[ \boxed{-x+\dfrac{3}{2}}=\boxed{\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}} \]
Possiamo così riscrivere il sistema ad esempio come segue (sostituiamo la seconda equazione a sistema con la nuova equazione ottenuta):
\[ \begin{cases}2y=-x+\dfrac{3}{2} \\ \\ -x+\dfrac{3}{2}= \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6} \end{cases} \]
Svolgendo i calcoli relativi alla seconda equazione abbiamo:
\[ \begin{cases}2y=-x+\dfrac{3}{2} \\ \\ -8x=-8 \quad \rightarrow \quad x = 1 \end{cases} \]
e quindi:
\[ \begin{cases}2y=-x+\dfrac{3}{2} \quad \rightarrow \quad 2y=-1+\dfrac{3}{2} \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{1}{4}\\ \\x = 1 \end{cases} \]
Otteniamo in conclusione la soluzione:
\[ S = \left\{\left(1, \dfrac{1}{4} \right) \right\} \]
Sistemi di primo grado con il metodo di riduzione
Il metodo di riduzione per i sistemi di primo grado si basa sul primo e secondo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado.
In base ai principi di equivalenza, sotto le ipotesi che già conosciamo, è possibile, ricordiamo, aggiungere o togliere una stessa quantità ad entrambi i membri di un’equazione, oppure dividere o moltiplicare per una stessa quantità entrambi i membri di un’equazione, sempre ottenendo un’equazione equivalente a quella data.
Inoltre, ricordiamo che due sistemi sono equivalenti se le equazioni di un sistema sono rispettivamente equivalenti alle equazioni dell’altro sistema.
Per comprendere appieno il metodo di riduzione è bene tenere a mente tutte le regole che abbiamo appena richiamato. 😉
La prima osservazione da fare riguarda il primo principio di equivalenza. In particolare, supponiamo di conoscere due espressioni che sono tra loro uguali. In virtù di tale uguaglianza, data un’equazione potremo sicuramente sommare al primo membro dell’equazione stessa la prima espressione, e al secondo membro dell’equazione la seconda espressione. In questo modo abbiamo di fatto sommato ad entrambi i membri dell’equazione la stessa quantità, rispettando il primo principio. Di conseguenza, l’equazione così ottenuta sarà equivalente a quella di partenza.
In base al ragionamento fatto, se abbiamo due equazioni a sistema, l’equazione che si ottiene sommando membro a membro le due equazioni date sarà un’equazione equivalente a ciascuna delle equazioni di partenza.
Per “sommare membro a membro” due equazioni, intendiamo scrivere una nuova equazione che abbia come primo membro la somma dei rispettivi primi membri delle equazioni, e come secondo membro la somma dei rispettivi secondi membri delle equazioni.
Così, se le due equazioni a sistema hanno in comune uno stesso termine in \( x \) o \( y \), o comunque hanno due termini nella stessa incognita che sono uguali tra loro in valore assoluto, se sommiamo o sottraiamo le due equazioni membro a membro, sicuramente otteniamo una nuova equazione equivalente a ciascuna di esse ma tale da contenere una sola incognita.
Pertanto, potremo sostituire la nuova equazione ottenuta ad una delle due equazioni originariamente a sistema, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Il vantaggio è quello di poter ricavare il valore di una delle due incognite dalla nuova equazione. E a quel punto, sostituendo nell’altra equazione a sistema il valore ottenuto ricaveremo il valore della rimanente incognita. Il sistema sarà così risolto. 😉
Infine, osserviamo che sfruttando opportunamente il secondo principio di equivalenza, possiamo comunque riuscire ad eliminare un’incognita anche se a prima vista non sembra possibile.
Vediamo subito tutto quanto detto nella pratica. Risolviamo insieme il seguente sistema:
\[ \begin{cases}3x+1=10-6y \\ \\ 2x+3y=5 \end{cases} \]
La prima cosa che conviene fare è trasportare i termini di modo che tutti i termini contenenti un’incognita figurino a primo membro delle equazioni:
\[ \begin{cases}3x+1\boxed{+6y}=10\\ \\ 2x\boxed{+3y}=5 \end{cases} \]
Osserviamo che non abbiamo termini simili tra quelli nelle incognite \( x \) e \( y \). Diversamente, avremmo dovuto sommarli.
Ora, nel sistema non ci sono termini nella stessa incognita uguali tra loro, nemmeno in valore assoluto. Osserviamo tuttavia che il termine \( 6y \) differisce dal termine \( 3y \) per il solo fatto di avere un coefficiente che è doppio dell’altro. Così, l’idea è quella di moltiplicare per \( 2 \) tutti i termini della seconda equazione. Abbiamo:
\[ \begin{cases}3x+1\boxed{+6y} = 10 \\ \\ 4x+\boxed{6y} = 10 \end{cases} \]
Ora i due termini nella variabile \( y \) sono uguali. E come sappiamo, sottraendo tra loro due termini uguali, questi si annullano. Così, se sottraiamo la prima equazione alla seconda equazione, membro a membro, otteniamo un’equazione nella sola incognita \( x \), poiché l’incognita \( y \) verrà eliminata.
Procediamo scrivendo separatamente la nuova equazione:
\[ 3x+1+6y-(4x+6y)=10-10 \]
ovvero:
\[ 3x+1+\cancel{6y}-4x\cancel{-6y}=0 \]
e quindi:
\[ 3x+1-4x=0 \]
\[ -x + 1 = 0 \]
Mettiamo la nuova equazione così ottenuta a sistema, ad esempio al posto della prima equazione. Abbiamo:
\[ \begin{cases}-x+1 = 0 \\ \\ 4x+6y=10\end{cases} \]
Dalla prima equazione possiamo ricavare agevolmente la \( x \):
\[ \begin{cases}x= 1 \\ \\ 4x+6y=10\end{cases} \]
Sostituendo il valore ottenuto per la \( x \) nella seconda equazione ricaviamo infine il valore dell’incognita \( y \):
\[ \begin{cases}x= 1 \\ \\ 4 \cdot 1+6y=10 \quad \rightarrow \quad 6y=10-4 \quad \rightarrow \quad y = 1\end{cases} \]
In conclusione, abbiamo per il sistema la soluzione:
\[ S = \left\{\left( 1,1\right) \right\} \]
Altro esempio sul metodo di riduzione
Risolviamo il sistema:
\[ \begin{cases}4(x-y)=5+2x+y \\ \\ 5 \left(x-2y \right) = \dfrac{8x+17}{2}\end{cases} \]
Eseguiamo prima di tutto i vari calcoli, portando per comodità i termini contenenti le incognite al primo membro delle equazioni, e i termini numerici a secondo membro.
\[ \begin{cases}4x-4y=5+2x+y \\ \\ 5x-10y=\dfrac{8x+17}{2} \end{cases} \]
\[ \begin{cases}4x-4y-2x-y=5 \\ \\ \dfrac{10x-20y-8x}{2}=\dfrac{17}{2} \end{cases} \]
\[ \begin{cases}2x-5y=5 \\ \\ \dfrac{2x-20y}{\cancel{2}}=\dfrac{17}{\cancel{2}} \end{cases} \]
Abbiamo così:
\[ \begin{cases} 2x-5y=5 \qquad &\text{equazione 1}\\ \\ 2x-20y = 17 \qquad &\text{equazione 2} \end{cases} \]
Ora è possibile risolvere il sistema per riduzione. Infatti, le due equazioni hanno lo stesso termine \( 2x \). Possiamo di conseguenza sottrarre la seconda equazione alla prima, membro a membro, in modo da ottenere una nuova equazione priva dell’incognita \( x \). Scegliamo di inserire la nuova equazione nel sistema al posto della seconda. Si ha:
\[ \begin{cases}2x-5y=5 &\text{equazione 1} \\ \\ \cancel{2}x-5y-\cancel{2x}+20y=5-17 &\text{equazione 1 – equazione 2} \end{cases} \]
Ora possiamo risolvere la seconda equazione determinando il valore dell’incognita \( y \), per poi sostituire il valore ottenuto nella prima equazione in modo da ricavare la \( x \).
\[ \begin{cases}2x=5+5y \\ \\ 15y=-12 \end{cases} \qquad \quad \begin{cases}x=\dfrac{5+5y}{2} \\ \\ y=-\dfrac{4}{5} \end{cases} \qquad \quad \begin{cases}x = \dfrac{1}{2}\\ \\ y = -\dfrac{4}{5} \end{cases} \]
La soluzione del sistema è dunque:
\[ S = \left\{\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{4}{5} \right) \right\} \]
Sistemi di primo grado con il metodo o regola di Cramer
Il metodo di Cramer (o regola di Cramer) è l’ultimo metodo per risolvere i sistemi di equazioni di primo grado che tratteremo. Questo metodo può apparire complicato all’inizio, ma è in realtà un metodo piuttosto meccanico che consente di risolvere i sistemi lineari senza dover fare particolari ragionamenti. Nel caso poi dei sistemi con sole due equazioni e due incognite, il metodo di Cramer risulta particolarmente agevole da applicare.
Prima di tutto, è importante chiarire che per risolvere un sistema con il metodo di Cramer, questo deve presentarsi in forma normale.
Ricordiamo: un sistema è in forma normale quando in ciascuna equazione i termini contenenti l’incognita figurano a primo membro, mentre i termini numerici si trovano al secondo membro. Inoltre, in nessuna equazione sono presenti termini simili. Infine, le incognite si presentano in ordine alfabetico.
In altre parole, un sistema è in forma normale se risulta espresso nella forma:
\[ \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
ove \( a_1, \: b_1, \: c_1, \: a_2, \: b_2, \: c_2 \) sono tutti numeri reali.
In particolare, i numeri che moltiplicano le incognite si dicono coefficienti, mentre gli altri numeri sono i termini noti.
Una volta che il sistema è in forma normale, è possibile costruire una particolare tabella, detta “matrice dei coefficienti“. La tabella si costruisce riportando in ciascuna riga i soli coefficienti delle incognite, nell’ordine nel quale si presentano nel sistema. Ciascuna riga contiene i coefficienti di un’equazione del sistema. Così, la matrice dei coefficienti si rappresenta in questo modo:
\[ \begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \]
Per definizione, il suo determinante è dato da:
\[ D = \det \begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 – a_2 \cdot b_1 \]
Questo è in generale il determinante di una matrice \( 2 \times 2 \), ovvero di una matrice quadrata con due righe e due colonne. La matrice viene detta “quadrata” poiché le righe contengono un numero di elementi pari al numero degli elementi contenuti nelle colonne.
Per ricordarsi la formula del determinante di una matrice \( 2 \times 2 \) può essere utile il seguente schema:
Con il simbolo “det” intendiamo dire che consideriamo il determinante della matrice che segue il simbolo stesso.
Se \( D \neq 0 \) il sistema ammette un’unica soluzione (coppia di valori), e possiamo andare avanti con la regola di Cramer. Diversamente, il sistema è impossibile o indeterminato.
Ora, se \( D \neq 0 \), per poter risolvere il sistema ci servono altri due determinanti.
Un determinante viene indicato con \( D_x \) ed è il determinante della matrice che si ottiene a partire dalla matrice dei coefficienti sostituendo ai coefficienti della \( x \) , ovvero \( a_1, \: b_1 \), i termini noti \( c_1 \) e \( c_2 \):
\[ D_x = \det \begin{bmatrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{bmatrix} = c_1 \cdot b_2 – c_2 \cdot b_1 \]
Infine, dobbiamo calcolare il determinante \( D_y \), che si ottiene sempre a partire dalla matrice dei coefficienti sostituendo ai coefficienti della \( y \) sempre i termini noti \( c_1 \) e \( c_2 \):
\[ D_y = \det \begin{bmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{bmatrix} = a_1 \cdot c_2 – a_2 \cdot c_1 \]
Osserviamo che per il calcolo dei determinanti \( D_x \) e \( D_y \) abbiamo applicato la stessa regola per il calcolo del determinante \( D \), come indicato nello schema. 😉
Infine, le soluzioni del sistema sono date da:
\[ x = \dfrac{D_x}{D}; \qquad y = \dfrac{D_y}{D} \]
Tutto qui. 😉
Il metodo è basato su formule da applicare meccanicamente, ma sono necessari degli importanti accorgimenti. In particolare:
- il sistema deve essere in forma normale;
- bisogna prestare attenzione a costruire correttamente le matrici e a calcolarne altrettanto correttamente il determinante.
Come vedremo nelle successive lezioni, il metodo si complica nel caso di sistemi di tre equazioni in tre incognite.
Mettiamoci ora al lavoro e risolviamo insieme un paio di sistemi di equazioni di primo grado utilizzando il metodo di Cramer. 🙂
Esempio 1 (regola di Cramer)
Per capire come risolvere i sistemi di equazioni di primo grado con la regola di Cramer, vediamo subito un primo esempio:
\[ \begin{cases}5x-2y=7 \\ \\ -3x+5y=11 \end{cases} \]
La prima cosa da controllare è se il sistema è in forma normale. Se non lo è, dovremo trasportare i termini nelle equazioni in modo da ricondurlo a tale forma. Nel nostro caso siamo fortunati: il sistema è già in forma normale. Infatti, abbiamo termini numerici solo al secondo membro, abbiamo termini letterali (contenenti le incognite) solo al primo membro, le incognite si presentano in ordine alfabetico e non abbiamo termini simili.
Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:
\[ \: D = \det \begin{bmatrix} 5 &-2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = 5 \cdot 5 – [-3 \cdot (-2)] = 5 \cdot 5 – 6 = 19 \: \]
Abbiamo \( D \neq 0 \) per cui il sistema ammetterà una unica soluzione.
Procediamo allora calcolando gli altri determinanti. Calcoliamo \( D_x \) come il determinante della matrice che si ottiene sostituendo ai coefficienti della \( x \) i termini noti:
\[ D_x = \det \begin{bmatrix} 7 &-2 \\ 11 &5 \end{bmatrix}= 7 \cdot 5 – [11 \cdot (-2)] = 35+22 = 57 \]
Ora calcoliamo \( D_y \) (ricordiamo, partiamo ancora dalla matrice dei coefficienti, e sostituiamo i coefficienti della \( y \) con i termini noti):
\[ D_y = \det \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ -3 & 11\end{bmatrix} = 5 \cdot 11 – [-3 \cdot 7] = 55 +21 = 76 \]
Ora non ci resta che calcolare i valori delle incognite:
\[ x = \dfrac{D_x}{D}=\dfrac{57}{19}=3 \]
\[ y = \dfrac{D_y}{D}=\dfrac{76}{19}= 4 \]
In conclusione abbiamo per il sistema la soluzione:
\[ S = \left\{\left(3,4 \right) \right\} \]
Esempio 2 (regola di Cramer)
\[ \begin{cases}3x+1=10-6y \\ \\ 2x+3y=5 \end{cases} \]
Attenzione: il sistema non è in forma normale.
Trasportiamo allora opportunamente i termini nelle equazioni di modo che il sistema diventi in forma normale. Ricordiamo come sempre che bisogna cambiare il segno dei termini trasportati. Abbiamo:
\[ \begin{cases} 3x+6y=10-1 \\ \\2x+3y=5\end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x+6y=9 \\ \\2x+3y=5\end{cases} \]
Ora il sistema è in forma normale.
Calcoliamo i determinanti. Cominciamo dal determinante delle matrice dei coefficienti. Se questo infatti è nullo, il sistema risulterà indeterminato o impossibile e non avrà senso calcolare gli altri determinanti.
Si ha:
\[ D = \det \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}=3 \cdot 3 – 2 \cdot 6 = 9-12 = -3 \neq 0 \rightarrow \text{OK} \]
Possiamo procedere con gli altri determinanti:
\[ D_x = \det \begin{bmatrix} 9 & 6 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=9\cdot3 – 5 \cdot 6 = 27-30=-3 \]
\[ D_y =\det \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 9=15 – 18 = -3 \]
Ricaviamo le incognite:
\[ x = \dfrac{Dx}{D}= \dfrac{-3}{-3}=1 \]
\[ y = \dfrac{D_y}{D}= \dfrac{-3}{-3}=1 \]
Otteniamo così la soluzione per il sistema:
\[ S = \left\{\left(1,1 \right) \right\} \]
Abbiamo così risolto l’ultimo dei sistemi di equazioni di primo grado della lezione. 🙂
Conclusioni sui sistemi di equazioni di primo grado
Per questa prima lezione sui metodi per risolvere i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado) è tutto. Per chi vuole esercitarsi sono disponibili gli esercizi sui sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite.
Nelle prossime lezioni riprenderemo ciascun metodo estendendolo al caso di sistemi con tre equazioni e tre incognite. Non perdetevi allora la prossima lezione interamente dedicata al metodo di sostituzione, con ulteriori esempi.
Infine, per verificare i vostri esercizi sui sistemi lineari, su Altramatica è disponibile il pratico tool: risolvere i sistemi di equazioni e disequazioni online. 😉
Ciao! 🙂