Già abbiamo accennato ai casi nei quali un sistema lineare può risultare indeterminato o impossibile, nel caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite. In questa lezione, estenderemo tali considerazioni anche al caso dei sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.
Forniremo inoltre delle spiegazioni sui sistemi determinati, indeterminati ed impossibili anche mediante la geometria analitica. In particolare, nel caso dei sistemi di due equazioni in due incognite mostreremo in modo abbastanza dettagliato il legame con la geometria analitica. Non forniremo invece un’analisi approfondita nel caso dei sistemi \( 3 \times 3 \), ma presenteremo comunque le nozioni di base necessarie per una comprensione intuitiva, a livello geometrico, di che cosa significhi per un sistema essere determinato, indeterminato o impossibile.
Vediamo allora subito come riconoscere i sistemi determinati, indeterminati e impossibili nel caso dei sistemi lineari \( 2 \times 2 \) (due equazioni in due incognite) e \( 3 \times 3 \) (tre equazioni in tre incognite).
Sistemi determinati, indeterminati ed impossibili (sistemi lineari 2 x 2)
Una retta ha in generale equazione (in forma implicita):
\[ ax+by+c=0, \qquad a,\:b,\:c \in \mathbb{R} \]
Così, in un sistema lineare di due equazioni in due incognite ritroviamo effettivamente le equazioni di due rette:
\[ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0 \\ \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} a_1x+b_1y=-c_1\\ \\ a_2x+b_2y=-c_2\end{cases} \]
Il fatto che il segno intrinseco dei termini noti nel sistema in forma normale sia negativo non altera in alcun modo il significato del discorso. 😉
A questo punto, osserviamo che ad esempio la prima equazione può essere scritta nella forma esplicita:
\[ y=\dfrac{-a_1x-c_1}{b_1} \]
ovvero:
\[ y = \dfrac{-a_1}{b_1}x-\dfrac{c_1}{b_1} \]
detti \( m_1 = \dfrac{-a_1}{b_1} \) e \( q_1 = -\dfrac{c_1}{b_1} \), l’equazione diviene:
\[ y=m_1x+q_1 \]
Il coefficiente \( m_1 \) si dice coefficiente angolare della retta e ne rappresenta la pendenza. Il termine \( q_1 \) si dice termine noto ed è il valore che assume la \( y \) per \( x=0 \). Se \( q_1 = 0 \) la retta passa per l’origine, diversamente \( q_1 \) esprime l’ordinata del punto della retta avente ascissa \( 0 \).
In base alle definizioni date:
- due rette si incontrano in un solo punto soltanto se hanno differente pendenza, cioè solo se \( m_1 \neq m_2 \);
- due rette sono parallele ma non coincidenti solo se \( m_1 = m_2 \) ma allo stesso tempo \( q_1 \neq q_2 \);
- infine, due rette sono coincidenti se \( m_1 = m_2 \) e inoltre \( q_1 = q_2 \).
Per quanto detto, un sistema lineare in due equazioni e due incognite può essere riscritto nella forma:
\[ \begin{cases}y = m_1x+q_1 \\ \\ y = m_2x+q_2 \end{cases} \]
e risolvere il sistema significa trovare la eventuale coppia di valori \( (x, y) \) per la quale siano soddisfatte entrambe le equazioni, ovvero trovare le coordinate dell’eventuale punto che appartiene ad entrambe le rette.
E’ chiaro dunque che affinché il sistema sia determinato le due rette dovranno essere non parallele, e quindi dovrà essere \( m_1 \neq m_2 \). Solo in tal modo le rette si intersecheranno in un unico punto.
Cerchiamo ora di formulare le condizioni relative alle varie possibilità a partire da un sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale:
\[ \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
Sistema 2 x 2 determinato (unica soluzione)
Per come abbiamo definito il coefficiente angolare \( m \), si ha:
\[ m_1 \neq m_2 \iff \dfrac{-a_1}{b_1}\neq-\dfrac{a_2}{b_2} \]
Abbiamo inoltre:
\[ \dfrac{-a_1}{b_1}\neq-\dfrac{a_2}{b_2} \iff \dfrac{-a_1}{-a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2} \]
e quindi in conclusione:
\[ m_1 \neq m_2 \iff \boxed{\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}} \qquad \boxed{\text{Sistema determinato}} \]
In tal caso avremo un’unica soluzione per il sistema, data dalle coordinate del punto di intersezione tra le due rette corrispondenti alle equazioni presenti nel sistema stesso:
Sistema 2 x 2 indeterminato (infinite soluzioni)
Le due rette saranno invece coincidenti se e solo se:
\[ m_1 = m_2 \quad \wedge \quad q_1 = q_2 \]
Osserviamo che la relazione \( q_1 = q_2 \), per come abbiamo definito in generale il termine noto \( q \), equivale a:
\[ \dfrac{-c_1}{b_1}=\dfrac{-c_2}{b_2} \iff \dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \]
e quindi la condizione \( m_1 = m_2 \quad \wedge \quad q_1 = q_2 \) diventa:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2 } \quad \wedge \quad \dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \]
ovvero, più sinteticamente:
\[ \boxed{\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}} \qquad \boxed{\text{Sistema indeterminato}} \]
Ciò corrisponde al caso in cui le rette corrispondenti alle equazioni a sistema sono tra loro coincidenti, ossia hanno tutti i punti in comune.
In tal caso avremo infinite soluzioni per il sistema:
Sistema impossibile (nessuna soluzione)
Consideriamo ora l’ultimo caso:
\[ m_1 = m_2 \quad \wedge \quad q_1 \neq q_2 \]
Ciò equivale a:
\[ \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \quad \wedge \quad \dfrac{c_1}{c_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2} \]
e in forma più sintetica:
\[ \boxed{\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}} \qquad \boxed{\text{Sistema impossibile}} \]
In tal caso non avremo nessuna soluzione, poiché le due rette non hanno nessun punto in comune:
Vediamo ora degli esempi nei quali cercheremo di stabilire se un sistema è determinato, indeterminato o impossibile senza provare a risolverlo.
Esempio 1
\[ \begin{cases}x+4y=10 \\ -2x-8y=-20 \end{cases} \]
Anzitutto teniamo sempre presente l’espressione generica di un sistema lineare \( 2 \times 2 \) in forma normale:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases} \]
Ora, domandiamoci se per il sistema da risolvere vale la condizione:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \]
Sostituendo i coefficienti otteniamo:
\[ \dfrac{1}{-2}=\dfrac{4}{-8} \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2} \]
quindi la condizione è verificata.
Vediamo ora quanto vale il rapporto:
\[ \dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{10}{-20}=-\dfrac{1}{2} \]
Otteniamo lo stesso valore degli altri rapporti, per cui vale in definitiva la condizione:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2} \]
e il sistema è di conseguenza indeterminato.
Esempio 2
\[ \begin{cases}5x+2y=16 \\ \\ 10x+4y=22 \end{cases} \]
Vediamo se è soddisfatta la condizione:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \]
si ha:
\[ \dfrac{5}{10}=\dfrac{2}{4} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \]
La condizione è dunque verificata. Vediamo ora il rapporto tra i termini noti:
\[ \dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{16}{22}=\dfrac{8}{11} \neq \dfrac{1}{2} \]
Di conseguenza, avendo la condizione:
\[ \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq \dfrac{c_1}{c_2} \]
possiamo concludere che il sistema è impossibile.
Sistemi 2 x 2 indeterminati ed impossibili: come individuarli durante la risoluzione
Le precedenti regole sono utili per capire se un sistema lineare \( 2 \times 2 \) è determinato, indeterminato o impossibile ancor prima di provare a risolverlo.
Tuttavia, è possibile accorgersi se un dato sistema lineare di due equazioni in due incognite è indeterminato o impossibile anche mentre si cerca di risolverlo. Valgono infatti le seguenti regole:
- se risolvendo il sistema otteniamo un’equazione impossibile, allora l’intero sistema è impossibile (nessuna soluzione);
- in un sistema di due equazioni in due incognite, se provando a risolverlo otteniamo un’equazione che è un’identità (cioè vera per ogni valore dell’incognita), allora il sistema è indeterminato (cioè ammette infinite soluzioni).
Vediamo subito due esempi.
Esempio 1
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases}3x-y = 7 \\ \\ -9x+3y=-22 \end{cases} \]
Utilizziamo il metodo di sostituzione. Ricaviamo la \( y \) dalla prima equazione:
\[ y = 3x-7 \]
Sostituiamo l’espressione ottenuta nella seconda equazione, al posto della \( y \):
\[ -9x+3(3x-7)=-22 \]
otteniamo:
\[ 0x-21=-22 \]
Per ogni valore della \( x \) otteniamo l’uguaglianza:
\[ -21=-22 \]
evidentemente falsa. Di conseguenza, l’equazione è impossibile e in conclusione anche il sistema è impossibile.
Abbiamo così per il sistema l’insieme delle soluzioni:
\[ S = \emptyset \]
Esempio 2
Risolvere:
\[ \begin{cases}-5x+2y=-4 \\ \\ \dfrac{5}{2}x-y= 2 \end{cases} \]
Ricaviamo la \( y \) dalla seconda equazione:
\[ y = \dfrac{5}{2}x-2 \]
Sostituiamo l’espressione ottenuta al posto della \( y \) nella prima equazione:
\[ -5x+2\left( \dfrac{5}{2}x – 2 \right) =-4 \]
otteniamo:
\[ 0x-4=-4 \]
L’equazione è indeterminata poiché per ogni valore della \( x \) otteniamo l’uguaglianza numerica:
\[ -4=-4 \]
che è vera. Così, poiché nel risolvere il sistema abbiamo ottenuto un’equazione indeterminata il sistema stesso è indeterminato.
Quanto detto già può essere sufficiente. Se vogliamo dare delle informazioni in più su come sono le soluzioni del sistema (comunque infinite), osserviamo che abbiamo in precedenza ottenuto l’informazione:
\[ y = \dfrac{5}{2}x-2 \]
Questa uguaglianza ci permette di esprimere la \( y \) in funzione della \( x \). Abbiamo così per il sistema l’insieme delle infinite soluzioni:
\[ S =\left\{\left(x,\dfrac{5}{2}x-2 \right) \right\} \quad \text{con} \quad x \in \mathbb{R} \]
In pratica abbiamo espresso ciascuna delle infinite coppie soluzioni del sistema in funzione della sola \( x \), ammettendo per la \( x \) qualsiasi valore reale.
Esempio 3
\[ \begin{cases}3x=5y-4 \\ \\ 8-10y=-6x \end{cases} \]
Ricaviamo la \( y \) dalla seconda equazione:
\[ y = \dfrac{6}{10}x+\dfrac{8}{10} \quad \rightarrow \quad y = \dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5} \]
Sostituiamo l’espressione ottenuta per \( y \) nella prima equazione:
\[ 3x=5 \left(\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5} \right)-4 \]
e quindi:
\[ 3x=3x+4-4 \]
ovvero:
\[ 0=0 \]
Abbiamo ottenuto un’identità, per cui il sistema è anche in questo caso indeterminato:
\[ S = \left\{\left(x,\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5} \right) \right\} \quad \text{con} \quad x \in \mathbb{R} \]
Sistemi lineari 3 x 3
Vediamo ora i casi di sistemi determinati, indeterminati ed impossibili nel caso dei sistemi lineari \( 3 \times 3 \) (tre equazioni in tre incognite).
Nel caso dei sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, le considerazioni da fare sono per distinguere tra sistemi determinati, indeterminati ed impossibili sono simili alle precedenti. Tuttavia, non avremo più a sistema delle equazioni che descrivono delle rette, ma bensì equazioni che descrivono dei piani.
L’equazione:
\[ ax+by+cz+d=0 \]
rappresenta un piano.
Così, se mettiamo a sistema le equazioni corrispondenti a tre piani e portiamo tutti i termini noti a secondo membro, otteniamo un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite in forma normale:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ \\a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \\ \\ a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0\end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=-d_1 \\ \\a_2x+b_2y+c_2z=-d_2 \\ \\ a_3x+b_3y+c_3z=-d_3\end{cases} \]
Anche in questo caso osserviamo che i segni intrinseci dei termini noti non cambiano in alcun modo il succo del discorso. 😉
Nel caso dei sistemi lineari \( 3 \times 3 \) non è il caso di formulare delle condizioni per riconoscere se sono determinati o meno prima di apprestarci a risolverli.
Piuttosto, forniamo le seguenti considerazioni:
- se risolvendo il sistema ci ritroviamo ad un certo punto con un’equazione del tipo \( 0x+0y+0z=d \), con \( d \neq 0 \), diremo che il sistema è impossibile;
- se risolvendo il sistema ci ritroviamo invece ad un certo punto con un’equazione del tipo \( 0x+0y+0z=0 \), allora diremo che il sistema è indeterminato;
- diversamente, il sistema risulterà determinato.
Esempio
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases}2x+y+2z= 1 \\ \\ x-4y+7z = -4 \\ \\ x-y+3z=-1 \end{cases} \]
Utilizziamo il metodo del confronto, esplicitando prima di tutto la \( x \) da tutte e tre le equazioni:
\[ \begin{cases}x = \boxed{\dfrac{-y-2z+1}{2}} \\ \\ x = \boxed{-4+4y-7z} \\ \\ x = -1+y-3z\end{cases} \]
Ora, costruiamo una nuova equazione confrontando la prima equazione con la seconda (dobbiamo uguagliare tra loro le due espressioni nei riquadri). Questa diventerà la prima equazione nel sistema. Si ha:
\[ \begin{cases}-\dfrac{y}{2}-z+\dfrac{1}{2}=-4+4y-7z \\ \\ x = -4+4y-7z \\ \\ x = -1+y-3z \end{cases} \]
Ora confrontiamo la seconda e la terza equazione:
\[ \begin{cases}-\dfrac{y}{2}-z+\dfrac{1}{2}=-4+4y-7z \\ \\ x = \boxed{-4+4y-7z} \\ \\ x = \boxed{-1+y-3z }\end{cases} \]
La nuova equazione così ottenuta diventerà la seconda equazione del sistema. Sommiamo inoltre i termini simili nella prima equazione:
\[ \begin{cases} -\dfrac{9}{2}y+6z=-\dfrac{9}{2} \\ \\ -4+4y-7z=-1+y-3z \\ \\ x=-1+y-3z\end{cases} \]
Ora sommiamo i termini simili nella seconda equazione, e da questa ricaviamo la \( y \):
\[ \begin{cases}-\dfrac{9}{2}y+6z=-\dfrac{9}{2} \\ \\ 3y-4z=3 \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{3+4z}{3} \quad \rightarrow \quad y= 1+\dfrac{4}{3}z\\ \\ x=-1+y-3z \end{cases} \]
Ora sostituiamo l’espressione per \( y \) ottenuta nella prima equazione:
\[ \begin{cases}-\dfrac{9}{2}y+6z=-\dfrac{9}{2} \quad \rightarrow \quad -\dfrac{9}{2}\left(1+\dfrac{4}{3}z \right)+6z=-\dfrac{9}{2} \quad \rightarrow \quad 0=0 \\ \\ y= 1+\dfrac{4}{3}z\\ \\ x=-1+y-3z \end{cases} \]
Ci ritroviamo così ad avere come prima equazione un’identità, e di conseguenza il sistema è indeterminato. Esso ammette dunque come soluzione un insieme di infinite coppie.
Osserviamo che abbiamo la \( y \) già espressa in funzione di \( z \) (seconda equazione a sistema). Dalla terza equazione possiamo allora ricavare la \( x \), anch’essa in funzione di \( z \):
\[ x=-1+y-3z \quad \stackrel{y=1+\frac{4}{3}z}{\rightarrow} \quad x = -1+1+\dfrac{4}{3}z-3z \quad \rightarrow \quad x = -\dfrac{5}{3}z \]
Possiamo esprimere l’insieme delle soluzioni come segue:
\[ S= \left\{\left(-\dfrac{5}{3}z, 1+\dfrac{4}{3}z,z \right)\right\}, \quad z \in \mathbb{R} \]
In pratica, abbiamo espresso le incognite tutte in funzione di \( z \), facendo variare \( z \) in \( \mathbb{R} \). In tal modo, abbiamo infinite terne come soluzioni, ma viene messo in evidenza il legame tra ciascun elemento della terna.
Come già detto in un precedente esempio, questo è un modo più completo di scrivere le soluzioni dei sistemi indeterminati. E’ comunque in genere possibile per gli esercizi delle scuole superiori limitarsi semplicemente a scrivere “il sistema è indeterminato”.
Per quanto riguarda i sistemi determinati, indeterminati ed impossibili è tutto. Qui ci siamo limitati a fornire le nozioni per le scuole superiori. Esiste tuttavia un teorema che permette di stabilire a priori se un sistema di n equazioni in n incognite è determinato o meno, ma questo è argomento dei corsi universitari di Algebra Lineare.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂