Gli esercizi qui proposti sulle equazioni goniometriche riconducibili ad algebriche richiedono l’uso di tecniche viste nel risolvere le equazioni con valore assoluto, le equazioni algebriche di grado superiore al secondo e le equazioni irrazionali. In questo modo, oltre a risolvere delle equazioni goniometriche faremo anche un utile ripasso. 🙂
Nel risolvere equazioni algebriche di grado superiore al secondo useremo la regola di Ruffini e la legge di annullamento del prodotto. Incontreremo anche un’equazione biquadratica. Niente paura, verrà tutto spiegato nei commenti degli esercizi.
Come ultima nota, ricordiamo che è ovviamente necessario sapere come risolvere le equazioni goniometriche elementari.
Ed ora, cominciamo. 🙂
Esercizi sulle equazioni goniometriche riconducibili ad algebriche
AVVERTENZA: nelle figure i colori utilizzati negli angoli servono solo a distinguerli l’uno dall’altro e non sono in alcun modo collegati con il segno degli angoli.
ESERCIZIO 1
\[ |\sin^2x – \sin x | = 2 \]
Dobbiamo anzitutto porre la sostituzione:
\[ t=\sin x \]
in modo da ricondurre l’equazione goniometrica assegnata alla seguente equazione algebrica:
\[ |t^2-t|=2 \]
Siamo di fronte ad una equazione con valore assoluto. Per risolverla possiamo certamente fare riferimento alle regole per le equazioni con valore assoluto, tuttavia possiamo provare semplicemente a ragionare utilizzando la definizione di valore assoluto.
Ricordiamo che in generale si ha:
\[ |x|=\begin{cases} \begin{align}x \quad &\text{se} \: x > 0\\ \\ 0 \quad &\text{se} \: x = 0 \\ \\ -x \quad &\text{se} \:x < 0 \end{align}\end{cases} \]
Nel nostro caso:
\[ |t^2-t|=2 \quad \Rightarrow \begin{cases} \begin{align}t^2-t=2 \quad &\text{se} \:\: t^2-t \geq 0\\ \\ t-t^2=2 \quad &\text{se} \:\:t^2-t < 0 \end{align}\end{cases} \]
Ora si tratta di vedere a cosa corrispondono le due condizioni imposte per \( t^2-t \). Consideriamo ad esempio la condizione \( t^2-t < 0 \). Si ha, raccogliendo il termine \( t \):
\[ t(t-1)<0 \]
Studiamo il segno dei fattori \( t \) e \( t-1 \) e del loro prodotto:
Si ha che \( t^2-t < 0 \) per \( 0<t<1 \). Così la seconda equazione è valida proprio per \( 0<t<1 \). La prima equazione sarà di conseguenza valida per \( t \leq 0 \) oppure \( t \geq 1 \).
Possiamo quindi scrivere:
\[ |t^2-t|=2 \quad \Rightarrow \begin{cases} \begin{align}t^2-t=2 \quad &\text{se} \:\:t \leq 0 \quad \vee \quad t \geq 1\\ \\ t-t^2=2 \quad &\text{se} \:\:0<t<1 \end{align}\end{cases} \]
Risolviamo la prima equazione:
\[ t^2-t=2 \]
\[ t^2-t-2=0 \]
\[ t_{1,2}=1\pm\dfrac{\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2}=\begin{cases} 2 \\ \\ -1\end{cases} \]
Così abbiamo:
\[ t_1 = 2; \qquad t_2 = -1 \]
e poiché abbiamo posto \( t=\sin x \) ci ritroviamo con le due equazioni goniometriche elementari:
\[ \sin x= 2; \qquad \sin x = -1 \]
Risolviamo ciascuna equazione sulla circonferenza goniometrica. Osserviamo subito che l’equazione:
\[ \sin x = 2 \]
è impossibile poiché i valori assunti dalla funzione seno sono compresi fra \( -1 \) e \( 1 \). Infatti, la retta \( y=2 \) non interseca la circonferenza goniometrica:
Veniamo ora all’equazione:
\[ \sin x = -1 \]
Risolviamo sulla circonferenza goniometrica:
Come possiamo vedere, la retta \( y=-1 \) interseca la circonferenza goniometrica in un solo punto, individuato dall’angolo \( -\dfrac{\pi}{2} \). In alternativa, possiamo esprimere la soluzione in \( [0, 2\pi] \) utilizzando l’angolo positivo \( \dfrac{3}{2} \pi \). Scegliamo ad esempio di utilizzare quest’ultimo angolo. Si hanno così in \( \mathbb{R} \) le soluzioni per l’equazione goniometrica elementare:
\[ x = \dfrac{3}{2}\pi + 2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Passiamo ora alla seconda equazione algebrica, ovvero:
\[ t-t^2 = 2 \]
Portando tutti i termini al primo membro:
\[ -t^2+t-2=0 \]
Osserviamo che \( \triangle=b^2-4ac<0 \). Di conseguenza, l’equazione non ammette soluzioni.
In conclusione, per l’equazione goniometrica assegnata abbiamo le soluzioni:
\[ x = \dfrac{3}{2}\pi + 2 k \pi , \quad k \in \mathbb{Z} \]
Come già anticipato, possiamo anche esprimere le soluzioni in modo del tutto equivalente come:
\[ x = -\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Esercizio 2
Proseguiamo i nostri esercizi sulle equazioni goniometriche riconducibili ad algebriche con la seguente equazione:
\[ \cos^3x-2 \cos^2x+1=0 \]
L’equazione può essere ricondotta ad algebrica grazie alla sostituzione \( t=\cos x \). L’equazione può così essere riscritta come:
\[ t^3-2t^2+1=0 \]
Abbiamo un’equazione algebrica di grado superiore al secondo. Per risolverla, dobbiamo anzitutto lavorare sul polinomio a primo membro. In particolare, si tratta di scomporlo utilizzando la regola di Ruffini. Fatto questo, applicheremo la regola di annullamento del prodotto: il prodotto tra due fattori sarà uguale a zero se uno o l’altro fattore sono pari a zero.
Cominciamo scomponendo il polinomio \( t^3-2t^2+1 \) utilizzando la regola di Ruffini. Ricordiamo brevemente la regola: dobbiamo scrivere i coefficienti del polinomio, in ordine decrescente secondo il grado di ciascuna lettera.
Quindi, a sinistra scriveremo una radice del polinomio. In questo caso, non è troppo complicato rendersi conto che per \( x=1 \) il polinomio si annulla, e quindi \( 1 \) è una radice del polinomio:
In basso riporteremo invece il primo coefficiente del polinomio, e considereremo il prodotto tra la radice del polinomio e il coefficiente appena scritto. Il risultato di tale prodotto andrà scritto sotto al secondo coefficiente del polinomio.
Ancora più in basso, si scriverà il risultato della somma algebrica tra il coefficiente del polinomio considerato e il risultato del prodotto appena eseguito:
Si ripeterà poi quanto finora eseguito via via considerando il prodotto tra la radice del polinomio e ciascun risultato delle somme algebriche eseguite in colonna. Otterremo così in conclusione:
I numeri dell’ultima riga rappresentano i coefficienti di un polinomio di grado \( n-1 \) (se \( n \) è il polinomio di partenza). Il prodotto tra i polinomi \( (t-1) \) (così scritto poiché \( 1 \) è la radice del polinomio considerata) e \( t^2-t-1 \) rappresenterà così una scomposizione del polinomio di partenza. Scriviamo allora:
\[ t^3-2t^2+1=(t-1)(t^2-t-1) \]
e di conseguenza riscriviamo l’equazione algebrica di partenza come:
\[ (t-1)(t^2-t-1)=0 \]
Per la legge di annullamento del prodotto, abbiamo:
\[ t-1 = 0 \quad \vee \quad t^2-t-1 = 0 \]
Vediamo quando si annulla il primo fattore:
\[ t-1 = 0 \quad \iff \quad t= 1 \]
Quanto al secondo fattore:
\[ t^2-t-1=0 \quad \]
\[ t_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\begin{cases}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases} \]
Ricapitolando abbiamo per l’equazione algebrica di partenza le soluzioni:
\[ t_1 = 1; \qquad t_2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} ; \qquad t_3 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \]
Ricordandoci che avevamo posto \( t=\cos x \), abbiamo:
\[ \cos x = 1; \qquad \cos x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} ; \qquad \cos x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \]
Per trovare le soluzioni dell’equazione goniometrica assegnata basterà dunque risolvere queste tre equazioni goniometriche elementari. 😉
Cominciamo con la prima:
\[ \cos x = 1 \]
Abbiamo le soluzioni:
\[ x_1 = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Veniamo alla seconda equazione goniometrica elementare:
\[ \cos x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \]
Per capire se l’equazione ammette o no soluzioni, dobbiamo vedere se il termine \( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \) è compreso nell’intervallo \( [-1,1] \) oppure no. Osserviamo che poiché \( \sqrt{5} > \sqrt{4} \) e quindi \( \sqrt{5} > 2 \), si ha sicuramente \( \dfrac{\sqrt{5}}{2}>1 \). Ma allora il termine \( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \) è sicuramente maggiore di \( 1 \) e di conseguenza l’equazione è impossibile.
La figura conferma che l’equazione è impossibile. Infatti, non abbiamo intersezioni tra la retta \( x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \) e la circonferenza goniometrica. Osserviamo che abbiamo approssimato, nella figura, il termine \( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \) con il numero decimale \( 1.618 \). Questo per esigenze relative al software utilizzato per generare automaticamente le figure. 😉
Consideriamo infine la terza equazione goniometrica elementare:
\[ \cos x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \]
Stavolta abbiamo soluzioni, come possiamo vedere dalla circonferenza goniometrica:
Si ha:
\[ \begin{align} &x_2 = \arccos \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}; \\ \\ &x_3 = 2\pi-\arccos \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{align} \]
Abbiamo dovuto usare la funzione arcoseno per esprimere le soluzioni poiché non abbiamo angoli esprimibili agevolmente come frazioni di \( \pi \).
Riepilogando, abbiamo per l’equazione goniometrica assegnata le soluzioni:
\[ x_1 = 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ \begin{align}&x_2 = \arccos \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}; \\ \\ &x_3 = 2\pi-\arccos \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{align} \]
Esercizio 3
\[ \tan^3x-\tan^2x-3\tan x + 3 = 0 \]
In modo del tutto simile a quanto fatto negli esercizi precedenti, poniamo la sostituzione:
\[ t = \tan x \]
Possiamo così ricondurci alla seguente equazione algebrica nella variabile \( t \):
\[ t^3-t^2-3t+3=0 \]
Scomponiamo il polinomio \( t^3-t^2-3t+3 \) usando ancora una volta la regola di Ruffini. Il valore \( t=1 \) è una radice per il polinomio. Si ha:
Possiamo allora riscrivere l’equazione algebrica data come:
\[ (t-1)(t^2-3)=0 \]
Risolvendola con la legge di annullamento del prodotto:
\[ (t-1)(t^2-3)=0 \]
\[ t=1 \quad \vee \quad t^2 = 3 \]
\[ t = 1 \quad \vee \quad t = \pm \sqrt{3} \]
Ricordandoci che abbiamo posto \( t= \tan x \), si tratterà ora di risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari:
\[ \tan x= 1; \quad \tan x = \sqrt{3}; \quad \tan{x} = -\sqrt{3} \]
Cominciamo con la prima:
\[ \tan x = 1 \]
Vediamola sulla circonferenza goniometrica:
Poiché l’angolo in rosso è \( \pi/4 \), abbiamo le soluzioni:
\[ x= \dfrac{\pi}{4}+k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Passiamo ora all’equazione:
\[ \tan x = \sqrt{3} \]
Ancora, vediamo le soluzioni sulla circonferenza goniometrica:
L’angolo in rosso è pari a \( \pi/3 \). Possiamo allora esprimere le soluzioni ad esempio come:
\[ x = \dfrac{\pi}{3} +k \pi , \quad k \in \mathbb{Z}\]
Veniamo infine alla terza equazione goniometrica elementare:
\[ \tan x = -\sqrt{3} \]
Soluzioni sulla circonferenza goniometrica:
Osserviamo che l’angolo in rosso è negativo e pari a \( -\dfrac{\pi}{3} \). Scriviamo quindi:
\[ x = -\dfrac{\pi}{3}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
In conclusione, abbiamo per l’equazione goniometrica assegnata le soluzioni:
\[ \dfrac{\pi}{4}+k\pi, \quad \pm \dfrac{\pi}{3}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Esercizio 4
Proseguiamo questi esercizi sulle equazioni goniometriche riconducibili ad algebriche con un esercizio che ci permetterà ancora di ripassare le equazioni elementari con la tangente. Risolviamo l’equazione:
\[ \dfrac{1}{1+\tan^2x}+2 \cot^2x=\dfrac{5}{2} \]
Osserviamo anzitutto che:
\[ \cot x = \dfrac{1}{\tan x} \]
Ciò deriva dalla definizione di cotangente. Così potremo riscrivere l’equazione nei soli termini in \( \tan x \) come segue:
\[ \dfrac{1}{1+\tan^2x}+2\dfrac{1}{\tan^2x} =\dfrac{5}{2}\]
Poniamo la sostituzione:
\[ t=\tan x \]
In questo modo ci riconduciamo alla seguente equazione algebrica fratta:
\[ \dfrac{1}{1+t^2}+\dfrac{2}{t^2}-\dfrac{5}{2}=0 \]
Dopo qualche passaggio algebrico (che ci porta alla condizione \( t \neq 0 \)), otteniamo:
\[ t^2-5t^4+4=0 \]
Si tratta di un’equazione biquadratica che si può risolvere ponendo la sostituzione \( z=t^2 \). Risolviamo dunque l’equazione nella variabile \( z \):
\[ z-5z^2+4=0 \]
Le soluzioni in \( z \) sono:
\[ z=1 \quad \vee \quad z = -\dfrac{4}{5} \]
Poiché abbiamo posto \( z=t^2 \), per trovare le soluzioni in \( t \) basta osservare che \( t=\pm \sqrt{z} \). Osserviamo che la soluzione \( z = -\dfrac{4}{5} \) non dà luogo a soluzioni reali in \( t \) (non possiamo infatti estrarre la radice quadrata di un numero negativo in \( \mathbb{R} \)). Per cui considereremo unicamente le soluzioni in \( t \) che si ottengono a partire da \( z=1 \). Si ha:
\[ t=\pm \sqrt{z} \quad \Rightarrow \quad t_{1,2} = \pm 1 \]
Le soluzioni dell’equazione algebrica nella variabile \( t \) sono pertanto:
\[ t=1; \qquad t = -1 \]
entrambe ammissibili poiché rispettano la condizione \( t \neq 0 \) (ricordiamoci sempre le condizioni che imponiamo svolgendo i calcoli).
Ora, ricordando che avevamo posto \( t=\tan x \), si tratterà di risolvere le equazioni goniometriche elementari:
\[ \tan x = 1 \quad \vee \quad \tan x = -1 \]
Vediamole entrambe sulla circonferenza goniometrica:
Per l’equazione \( \tan x = 1 \) si hanno le soluzioni:
\[ x_1 = \dfrac{\pi}{4}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Per l’equazione \( \tan x = -1 \) si hanno invece le soluzioni:
\[ x_2 = -\dfrac{\pi}{4}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Così, per l’equazione goniometrica di partenza abbiamo le soluzioni:
\[ x_1 = \dfrac{\pi}{4}+k\pi; \quad x_2 = -\dfrac{\pi}{4}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad \]
Rappresentando sulla circonferenza goniometrica tutte queste soluzioni, possiamo renderci conto che è possibile esprimerle in forma più sintetica.
Infatti, vediamo che ciascun angolo differisce dall’altro di \( \dfrac{\pi}{2} \). E’ dunque possibile esprimere più sinteticamente le soluzioni dell’equazione goniometrica assegnata ad esempio come:
\[ x = \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Esercizio 5
Concludiamo questa serie di esercizi sulle equazioni goniometriche riconducibili ad algebriche con un esercizio un po’ diverso dai precedenti. 😉
\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x} \]
Si tratta di un’equazione goniometrica irrazionale. Infatti, il secondo membro dell’equazione è sotto radice. In altre parole, l’equazione data è nella forma:
\[ g(x)=\sqrt{f(x)} \]
Per risolverla, possiamo elevare entrambi i membri al quadrato, a patto di imporre la condizione di concordanza:
\[ g(x) \geq 0 \]
ovvero, nel nostro caso specifico:
\[ \sin x + \cos x \geq 0 \]
Ciò è importante al fine di escludere eventuali soluzioni estranee. Se è necessario un ripasso, basta un click: equazioni e disequazioni irrazionali.
Eleviamo dunque al quadrato entrambi i membri dell’equazione assegnata:
\[ (\sin x + \cos x)^2 = 2 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x \]
ovvero, sviluppando il quadrato al primo membro:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x =2 \sin x \cos x + 4 \sin ^2 x \]
E poiché per la relazione fondamentale della goniometria \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) si ha, semplificando inoltre tra loro i termini \( 2\sin x \cos x \):
\[ 1=4 \sin^2 x \]
Cioè:
\[ \sin^2 x = \dfrac{1}{4} \]
Poiché in generale \( \sqrt{x^2}=|x| \), scriveremo:
\[ |\sin x | = \dfrac{1}{2} \]
Ci ritroviamo così con un’equazione con valore assoluto le cui soluzioni sono date dall’unione delle soluzioni delle seguenti equazioni:
\[ \sin x = \dfrac{1}{2}; \quad \sin x = -\dfrac{1}{2} \]
Risolviamole sulla circonferenza goniometrica. Cominciamo dalla prima equazione:
\[ \sin x = \dfrac{1}{2} \]
Vediamo le soluzioni, come al solito, sulla circonferenza goniometrica:
Abbiamo così per tale equazione goniometrica elementare le soluzioni:
\[ x = \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \quad x=\dfrac{5}{6}\pi+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Veniamo ora all’equazione:
\[ \sin x = -\dfrac{1}{2} \]
Cerchiamo ancora una volta le soluzioni sulla circonferenza goniometrica:
Abbiamo:
\[ x = -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi; \qquad\dfrac{7}{6}\pi+2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ora, stiamo attenti a prendere soltanto le soluzioni dell’equazione goniometrica assegnata. 😉 Stavolta, dobbiamo ricordarci della condizione di concordanza:
\[ \sin x + \cos x \geq 0 \]
Si tratta ora di controllare se ciascun angolo individuato nella circonferenza goniometrica soddisfa o meno tale condizione. Solo gli angoli che rispettano la condizione stessa faranno parte delle soluzioni dell’equazione goniometrica di partenza. Gli altri angoli andranno esclusi poiché non rispettando la condizione di concordanza rappresentano delle soluzioni estranee. 😉
Abbiamo:
\[ \sin\dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{\pi}{6}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2} \qquad \text{OK} \]
\[ \sin \left(-\dfrac{\pi}{6} \right)+ \cos \left(-\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2} \qquad \text{OK} \]
\[ \sin \left(\dfrac{5}{6} \pi\right)+\cos \left(\dfrac{5}{6} \pi\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \text{NO in quanto < 0} \]
\[ \sin \left(\dfrac{7}{6} \pi\right)+\cos \left(\dfrac{7}{6} \pi\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \text{NO in quanto < 0} \]
Così per l’equazione goniometrica assegnata saranno accettabili soltanto le soluzioni:
\[ x_1 = \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \quad x_2 = -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
L’esercizio mostra chiaramente come sia necessario prestare molta attenzione alle equazioni goniometriche con termini sotto radice. E’ sì possibile liberarsi dalla radice elevando entrambi i membri dell’equazione al quadrato, ma è fondamentale ricordarsi di escludere le eventuali soluzioni estranee (come abbiamo qui fatto).
Come ulteriore nota, avremmo potuto risolvere l’equazione data mettendo a sistema la condizione di concordanza, come segue:
\[ \begin{cases} (\sin x + \cos x)^2 = 2 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x \\ \\ \sin x + \cos x \geq 0 \end{cases} \]
Risolvendo il sistema avremmo trovato direttamente tutte e sole le soluzioni dell’equazione di partenza, senza dover poi escludere le soluzioni estranee. Tuttavia, poiché questa esercitazione è dedicata alle equazioni goniometriche, abbiamo voluto evitare la risoluzione di una disequazione goniometrica. 😉 Chi già conosce le disequazioni goniometriche può provare questo metodo alternativo (probabilmente più corretto), e vedrà che otterrà lo stesso risultato.
Terminiamo qui questa serie di esercizi sulle equazioni goniometriche riconducibili ad algebriche. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂