In questa lezione introduciamo le frazioni numeriche, dette anche semplicemente frazioni. Una frazione è una quantità esprimibile come rapporto tra due numeri interi, chiamati rispettivamente numeratore e denominatore.
L’obiettivo di questa lezione è quello di introdurre le frazioni in modo intuitivo, facendo anche uso di rappresentazioni grafiche. Quindi, se anche non avete mai sentito parlare di frazioni non preoccupatevi 😉 Siamo qui proprio ad introdurre tutti i concetti più elementari che le riguardano.
E’ inoltre disponibile qui su Altramatica un pratico tool che vi consente di disegnare le frazioni. Questo come ulteriore aiuto proprio per chi sta facendo la conoscenza delle frazioni per la prima volta. 🙂
Precisiamo che in questa lezione tratteremo frazioni a termini assoluti, ovvero frazioni contenenti esclusivamente numeri naturali.
Per curiosità, esistono anche un altro tipo di frazioni: le frazioni a termini relativi. Ma queste sono di solito argomento di terza media e richiedono la conoscenza dei numeri relativi.
Definizione di frazione
Una frazione (a termini assoluti) è un rapporto tra due numeri naturali. Ad esempio, la quantità:
\[ \dfrac{1}{2} \]
è una frazione, ed esprime il rapporto tra il numero \( 1 \) e il numero \( 2 \). Il numero in alto (in questo caso, \( 1 \)) si chiama numeratore, mentre il numero in basso (in questo caso, \( 2 \)) si chiama denominatore. Numeratore e denominatore sono separati da una sbarretta.
L’idea più intuitiva di frazione è quella di dividere una quantità in parti uguali e di prendere una o più di queste parti. Ad esempio, possiamo immaginare di avere una torta e di volerla dividere fra sei persone. Procederemo tagliando la torta in sei parti uguali. Poi, ciascuno potrà prendere il suo pezzo. Ma se ad esempio vengono presi solo due pezzi di torta? O tre pezzi? Bene, le frazioni servono proprio per descrivere queste possibili situazioni 😉
Rappresentiamo graficamente le frazioni
Consideriamo di dividere la torta in sei parti uguali:
Ora, supponiamo che la torta non sia un gran che e che soltanto due nostri amici ne prendano un pezzo. In tal caso, la quantità di torta mangiata sarà pari a due pezzi da un sesto ciascuno. Per rappresentare questo graficamente, possiamo colorare i pezzi che sono stati presi:
Dunque, i nostri amici hanno mangiato due pezzi da un sesto della torta, ovvero due sesti di essa. E la frazione \( \dfrac{2}{6} \) rappresenta proprio la quantità di torta mangiata.
Cominciamo già ad intuire quali sono i ruoli del numeratore e del denominatore.
Il denominatore (il numero sotto la sbarretta) ci dice in quante parti dobbiamo dividere la quantità totale. Il numeratore ci dice invece quante parti dobbiamo prendere tra tutte quelle disponibili.
Così ad esempio, la frazione:
\[ \dfrac{4}{5} \]
ci dice che dobbiamo dividere la quantità in \( 5 \) parti e prendere \( 4 \) parti. Proviamo! 🙂
Prendiamo la quantità totale (ad esempio, una pizza). Il denominatore è pari a \( 5 \) perciò sappiamo che dobbiamo dividerla in cinque parti uguali:
Ora, il numeratore ci dice quanti pezzi dobbiamo prendere. In questo caso, il numeratore è pari a \( 4 \), quindi dobbiamo prendere quattro pezzi:
Ed ecco dunque la rappresentazione grafica della frazione \( \dfrac{4}{5} \).
Sicuramente avrete notato qualcosa. In tutte queste frazioni il numeratore è più piccolo del denominatore. Ciò significa che, lasciando perdere pizze, torte o ogni altra leccornia, in realtà quello che stiamo facendo è dividere l’unità in parti uguali, per poi prendere una o più di queste parti. Così, la frazione \( \dfrac{1}{6} \) corrispondere a dividere l’unità in sei parti e a prendere una sola parte. Allo stesso modo, la frazione \( \dfrac{2}{3} \) consiste nel dividere l’unità in tre parti per poi prendere due parti.
Ancora, la frazione \( \dfrac{1}{4} \) consiste nel dividere l’unità in quattro parti e poi prendere una sola parte:
Le possibilità sono davvero infinite. Come ulteriore esempio, dividiamo l’unità in quattro parti e prendiamo tre di queste parti. Che frazione otteniamo? Graficamente, si presenta così:
Tale frazione si scrive \( \dfrac{3}{4} \).
Un primo sguardo alle frazioni equivalenti e alle frazioni complementari
Consideriamo la frazione \( \dfrac{2}{8} \). Come ormai sappiamo, dobbiamo dividere l’unità in otto parti e prendere due parti. Vediamo ancora i passaggi nel dettaglio, graficamente.
Il denominatore della frazione è \( 8 \), per cui dividiamo l’unità in otto parti uguali:
Ora, il numeratore è pari a \( 2 \), perciò dobbiamo prendere due parti:
Abbiamo così rappresentato graficamente la frazione \( \dfrac{2}{8} \). Notate qualcosa? Il disegno somiglia davvero molto a uno di quelli che abbiamo già incontrato, ovvero la rappresentazione grafica della frazione \( \dfrac{1}{4} \). Confrontando le due frazioni, possiamo notare che entrambe hanno la superficie colorata di uguale grandezza:
Questa non è una coincidenza. Prendere due ottavi di una torta o un quarto è la stessa cosa. 🙂 Se prendiamo due pezzi di torta da un ottavo o un solo pezzo di torta da un quarto, abbiamo mangiato la stessa quantità di torta.
Ciò deriva proprio dal fatto che le frazioni rappresentano un rapporto fra numeri interi. Così, \( \dfrac{1}{4} \) e \( \dfrac{2}{8} \) rappresentano lo stesso rapporto. Infatti, se abbiamo una torta divisa in quattro parti, per finire la torta dobbiamo prendere quattro pezzi da \( \dfrac{1}{4} \). E se abbiamo quella stessa torta divisa in otto parti, quanti pezzi da \( \dfrac{2}{8} \) dobbiamo prenderne per finire la torta? Beh, esattamente quattro pezzi! 🙂 Questo ci fa capire anche dal punto di vista dei numeri che le due frazioni rappresentano la stessa quantità. Pertanto, le due frazioni si dicono equivalenti (rappresentano lo stesso valore).
Ora, consideriamo le due frazioni \( \dfrac{1}{3} \) e \( \dfrac{2}{3} \). Ormai abbiamo capito come rappresentarle graficamente. In entrambe le frazioni divideremo l’unità (torta, pizza, focaccia, crostata…) in tre parti. Nella prima frazione, prenderemo solo una parte, nella seconda due parti:
Osserviamo attentamente i disegni. Possiamo notare che la superficie colorata nella frazione \( \dfrac{1}{3} \) ha esattamente le stesse dimensioni della superficie non colorata della frazione \( \dfrac{2}{3} \). Ciò significa che se aggiungiamo il pezzo colorato da \( \dfrac{1}{3} \) alla frazione \( \dfrac{2}{3} \) otteniamo l’unità! In altre parole, se abbiamo due torte uguali entrambe divise in tre parti, se la prima torta è costituita da un solo pezzo mentre la seconda torta è costituita da due pezzi, se prendiamo il pezzo rimasto della prima torta e lo aggiungiamo alla seconda torta, otteniamo una torta intera. 😉
Le frazioni \( \dfrac{1}{3} \) e \( \dfrac{2}{3} \) sono un esempio di frazioni complementari.
Due frazioni si dicono complementari se sommate tra loro restituiscono l’unità.
Così, avremo:
\[ \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{3}=1 \]
Aiutandoci con le rappresentazioni grafiche siamo quindi riusciti a sommare tra loro due frazioni. Vedremo più avanti come si esegue la somma di frazioni nel dettaglio.
Per questa lezione è tutto. Nella prossima, parleremo di frazioni proprie, improprie ed apparenti. Ciao a tutti! 🙂