Così, i numeri relativi si andranno ad aggiungere ai numeri naturali e ai razionali assoluti. I razionali assoluti non sono altro che le frazioni con numeratore e denominatore entrambi naturali – ovvero le frazioni con le quali abbiamo lavorato sinora. Ecco, in questa lezione introdurremo invece frazioni che hanno per numeratore e denominatore interi relativi.
Vedrete che il passaggio dai numeri assoluti ai numeri relativi sarà abbastanza agevole. Come al solito, l’importante è cercare di memorizzare tutte le definizioni con gradualità e costanza, ed imparare a ragionarci sopra. 😉
Numeri assoluti e numeri relativi
I numeri assoluti sono numeri che non hanno segno. Ad esempio, i numeri naturali non hanno segno. Gli unici segni che abbiamo lavorando con i numeri naturali sono i segni delle operazioni che compiamo su di essi.
In altri termini, nell’insieme dei numeri naturali l’espressione \( +2 \) è del tutto priva di significato. E’ semplicemente un’operazione di addizione scritta in modo errato, nella quale un addendo è mancante. Così i segni hanno un senso soltanto se descrivono delle operazioni fra numeri.
Nel descrivere il peso di una persona, ci è sufficiente un numero assoluto. Non ha senso infatti chiedersi se una persona pesi “più 70 chili” o “meno 70 chili”. Allo stesso tempo, non ci chiederemo se un pezzo di legno è lungo “più 40 cm” o “meno 40 cm”. Semplicemente, diremo che la lunghezza è 40 cm. Se tagliamo 10 cm da quel pezzo, sapremo che ora è lungo (40 – 10) cm = 30 cm. E sarà chiaro che non potremo tagliare 50 cm ad un pezzo lungo 30 cm (così, l’operazione 30 – 50 nei naturali non è ammessa).
Ci sono casi invece nei quali è importante attribuire un segno ad un numero. Ad esempio, se diciamo che la temperatura del nostro ambiente è di 20 gradi, a rigore non abbiamo detto assolutamente niente. La temperatura è 20 gradi sopra lo zero o 20 gradi sotto allo zero? O ancora, se affermiamo di essere ad una quota di 200m, non diciamo niente di preciso. Siamo a 200 m sopra al livello del mare o sotto al livello del mare?
Notiamo quindi che esistono grandezze che non possono essere descritte da un numero in senso assoluto, ma richiedono di essere descritte utilizzando un riferimento relativo. Così, esprimeremo la temperatura rispetto allo zero, esprimeremo gli anni prima o dopo la nascita di Cristo, indicheremo una quota di altitudine rispetto al livello del mare, ecc.
Nasce così l’esigenza dei numeri relativi. I numeri interi relativi sono numeri interi dotati di segno. Sono positivi gli interi relativi che hanno il segno più. Sono negativi i relativi che hanno segno meno. I numeri positivi sono tutti i numeri maggiori di zero, mentre i numeri negativi sono tutti i numeri minori di zero. Lo zero non ha segno e funge da riferimento. Ad esempio, nel caso delle altitudini, lo zero rappresenta il livello del mare, ovvero il riferimento rispetto al quale esprimiamo le altitudini.
Rappresentando i numeri interi relativi in una retta, otteniamo quanto segue:
I numeri sono crescenti nel senso indicato dalla freccia. Il numero \( +3 \) rappresenta un numero positivo che dista dallo zero tre unità. Il numero \( -2 \) è un numero negativo che dista dallo zero due unità.
Così abbiamo \( -2 < +3 \). E abbiamo inoltre che \( +3 – (-2) = +5 \). Vedremo nel dettaglio la sottrazione tra numeri relativi, ma è facile rendersi conto dal disegno che i numeri \( -2 \) e \( 3 \) distano fra loro di cinque unità. 😉
Osserviamo il seguente disegno:
Si ha che \( -3 < +2 \). Infatti, il numero \( -3 \) è minore di \( +2 \) in quanto \( -3 \) è minore di zero mentre \( +2 \) è maggiore di zero. Ciò, in barba al fatto che \( -3 \) contenga una cifra alla quale corrisponde un numero naturale (\( 3 \)) maggiore di \( 2 \).
Capiamo dunque intuitivamente che per confrontare due numeri relativi tra loro non ci basta più guardare le sole cifre come facevamo nei naturali. Ora, dobbiamo guardare anche il segno.
Valore assoluto
Riepilogando possiamo dunque affermare quanto segue. I numeri naturali sono numeri assoluti. Ovvero, le loro cifre ci danno tutte le informazioni, senza bisogno di alcun segno. Ad esempio, il numero naturale \( 50 \) indica in modo chiaro una quantità numerica. Ed è un numero adatto a descrivere ad esempio un peso (\( 50 \) kg). Non è invece adatto a descrivere una temperatura (\( 50 \) gradi sopra o sotto lo zero?).
I numeri relativi sono invece costituiti da cifre numeriche accompagnate da un segno. Così, \( -50 \) e \( +50 \) sono due numeri differenti. I numeri relativi sono adatti a descrivere grandezze quali la temperatura e l’altitudine. Infatti, potremo distinguere tra venti gradi sotto allo zero o sopra lo zero, rispettivamente con i numeri \( -20 \) e \( 20 \).
Pur data questa differenza, è comunque possibile far corrispondere ad ogni numero intero relativo un numero naturale tale che abbia le sue stesse cifre numeriche. Ad esempio, possiamo avere le corrispondenze (attenzione, non uguaglianze):
\[ +50 \rightarrow 50; \quad -50 \rightarrow 50; \quad -3\rightarrow 3; \quad \dots \]
Così facciamo corrispondere ai numeri relativi \( +50 \) e \( -50 \) il numero naturale \( 50 \), al numero relativo \( -3 \) il numero naturale \( 3 \) e via discorrendo.
Dato in generale un numero relativo, indichiamo il numero assoluto ad esso corrispondente nel senso indicato come valore assoluto.
Così, potremo scrivere le precedenti corrispondenze come:
\[ |+50| = 50; \quad |-50|=50; \quad |-3|=3; \quad \dots \]
Il valore assoluto di un numero si indica ponendo il numero stesso entro le sbarrette verticali. Così \( |+50| \) si legge valore assoluto di \( +50 \).
UNA DEFINIZIONE MIGLIORE DI VALORE ASSOLUTO
Andando avanti negli studi noterete che questa definizione di valore assoluto non è sempre adeguata. In particolare, ai fini pratici del calcolo algebrico è desiderabile che calcolando il valore assoluto di un numero relativo si ottenga ancora un numero relativo. Ciò permette di calcolare espressioni con valori assoluti nell’insieme dei numeri reali. Per fare questo, viene modificata la precedente definizione come segue.
Si definisce valore assoluto di un numero:
- il numero stesso, se il numero dato è positivo;
- zero, se il numero dato è zero;
- il numero cambiato di segno, se il numero dato è negativo.
Così avremo ad esempio:
\[ |5|=+5; \quad |-7|=+7; \quad |-3|=+3 \]
Il significato e l’utilità di questa seconda definizione saranno più chiare sicuramente almeno dalla terza superiore in poi. 😉
Tenete comunque presente questo. Nelle scuole medie, viene sempre usata la prima definizione (quella basata nella corrispondenza tra numeri relativi e numeri assoluti). Ciò non è un caso né un errore, poiché questa definizione ci sarà estremamente comoda per definire le regole delle operazioni tra numeri relativi. 😉 Alle superiori e all’università, invece, viene usata la seconda. In base a questa seconda definizione, a lato pratico il valore assoluto di un numero è quello stesso numero “forzato positivo”. Ciò riesce utile ad esempio in espressioni aventi un’incognita e contenenti termini in modulo.
Per farla breve, se siete studenti della scuola media, potete sicuramente intendere il valore assoluto di un numero relativo, a lato pratico, come il numero stesso “privato del segno”. Ma ricordatevi che è una definizione che dovrete prima o poi abbandonare. E anche in questo caso, è molto più corretto pensare al valore assoluto di un numero relativo come ad un numero naturale che ha le sue stesse cifre. 😉
Numeri concordi e discordi
Due numeri si dicono concordi se hanno lo stesso segno.
Due numeri si dicono discordi se hanno segno differente.
Così, \( +2 \) e \( +3 \) sono concordi. Invece, \( -7 \) e \( +4 \) sono discordi.
Numeri opposti, numeri uguali e disuguali
Due numeri relativi sono opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma differente segno.
Così, \( -2 \) e \( +2 \) sono numeri opposti. Infatti, hanno lo stesso valore assoluto (\( 2 \)) ma diverso segno. Diremo così che \( -2 \) è l’opposto di \( +2 \) e a sua volta \( +2 \) è l’opposto di \( -2 \).
Due numeri relativi si dicono uguali se hanno stesso valore assoluto e stesso segno.
Così, i numeri \( +3 \) e \( +3 \) sono evidentemente uguali. Invece, i numeri \( +70 \) e \( -70 \) sono diversi poiché pur avendo lo stesso valore assoluto hanno differente segno.
Due numeri relativi sono disuguali (o diversi) se differiscono tra loro almeno per il valore assoluto e/o per il segno.
Numeri razionali relativi (frazioni a termini relativi)
I numeri razionali relativi sono frazioni aventi al numeratore e al denominatore numeri interi relativi. Tali frazioni vengono anche indicate col nome di frazioni a termini relativi.
Come per i razionali assoluti, sono inoltre possibili le frazioni di frazioni, cioè frazioni aventi per numeratore e/o denominatore, a loro volta, una frazione (in questo caso, un razionale relativo).
Così, i numeri:
\[ +\dfrac{1}{2}; \qquad -\dfrac{3}{8} ; \qquad \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{+\dfrac{3}{4}} \]
sono tutti esempi di frazioni costruite utilizzando gli interi relativi.
Abbiamo così terminato questa lezione di passaggio dai numeri assoluti ai numeri relativi. Dalla prossima lezione rivedremo le operazioni già studiate per i numeri naturali al caso dei numeri relativi stessi, cominciando dall’addizione. La differenza consiste nel fatto che ora dovremo tenere conto dei segni che ha ciascun termine di una data operazione, e non solo delle cifre dei numeri e dei segni di operazione. Ciao a tutti! 🙂