I numeri naturali sono i numeri con i quali abbiamo più facilmente a che fare nella vita di tutti i giorni.
Basta contare le nostre dita per avere a che fare con i numeri naturali. L’esigenza di contare sarà nata probabilmente da esigenze di sopravvivenza. Ad esempio, gli uomini primitivi si saranno chiesti quanto cibo era necessario procacciarsi ogni giorno per saziare sé stessi e la propria famiglia, ed avranno pianificato le attività di caccia e coltivazione di conseguenza.
Vediamo dunque come sin dagli albori della storia la matematica ha dimostrato di essere parte della natura e della vita.
In questa lezione vedremo un’introduzione molto elementare ai numeri naturali. Per chi vuole una trattazione un po’ più avanzata sugli insiemi numerici, è disponibile questa lezione.
Definizione di numeri naturali
I numeri naturali sono tutti i numeri interi più lo zero. Sono cioè numeri che non hanno bisogno di essere scritti con la virgola né in altre forme. Per ciascun numero naturale, le sole cifre numeriche sono sufficienti ad indicare la quantità che esso rappresenta in modo completo.
Tutti questi numeri si indicano con il simbolo \( \mathbb{N} \). Così, indicheremo con \( \mathbb{N} \) l’insieme dei numeri naturali.
Ciascuno fra i numeri naturali può essere espresso come somma di unità. Un’unità si indica con il numero \( 1 \).
Lo zero è il numero naturale più piccolo di tutti. Tutti gli altri numeri si possono esprimere come somma dello zero e un certo numero di unità. Ad esempio:
\[ 0; \quad 0+1; \quad 0+1+1; \quad 0+1+1+1; \quad 0+1+1+1+1; \dots \]
Questi sono tutti esempi di numeri naturali, anche se scritti in una forma un po’ scomoda 😉
Attribuite allo zero per ora il concetto di “niente”, mentre all’unità associate un generico oggetto. Facciamo finta ad esempio che ogni unità sia una mela. Allora, potremo avere \( 0 \) mele (cioè non avere mele), oppure una sola mela, oppure una mela più una mela, oppure una mela più una mela più una mela, ecc…
Questo modo intuitivo di esprimere le quantità non è certo il più comodo. Per ovviare a questo problema sono nate le cifre numeriche. Così, avremo a disposizione i simboli:
\[ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \]
Questi particolari simboli si chiamo cifre. Così, la cifra \( 1 \) (uno) indica una sola unità, la cifra \( 2 \) (due) indica due unità ecc…
Osserviamo che ciascun numero è ottenuto sommando allo zero una o più unità.
Ad esempio, \( 1 \) si ottiene sommando allo zero una unità, \( 2 \) si ottiene sommando allo zero due unità, \( 3 \) si ottiene sommando allo zero tre unità ecc…
Avremo così:
\[ 0+1=1; \qquad 0+1+1=2; \qquad 0+1+1+1=3; \dots \]
Osserviamo inoltre che, ad eccezione dello zero, ogni numero può essere ottenuto sommando ad un altro numero l’unità. Ad esempio \( 3=2+1 \), cioè il numero \( 3 \) si ottiene sommando a \( 2 \) l’unità.
Diremo allora che \( 3 \) è il successivo di \( 2 \). A sua volta, \( 2 \) è il numero precedente di \( 3 \).
Lo zero non ha nessun numero naturale che lo precede e non è di conseguenza il successivo di nessun numero naturale.
L’operazione di passare da un numero al suo successivo si chiama contare.
Unità, decine, centinaia, migliaia
Abbiamo così parlato dello zero e delle unità:
\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \]
Ma se abbiamo più di nove mele? In tal caso, dovremo esprimere il successivo di \( 9 \) utilizzando le cifre che abbiamo a disposizione, non abbiamo altra scelta. Scriveremo allora:
\[ 9+1=10 \]
intendendo con tale scrittura che abbiamo una decina e zero unità. In altre parole, il numero \( 10 \) (dieci) rappresenta dieci unità. E per definizione, dieci unità si indicano con il termine decina.
Il successivo di \( 10 \) sarà così \( 11 \) (undici):
\[ 10+1=11 \]
Tale numero rappresenta undici unità, ovvero una decina più una unità. Avremo così i successivi \( 12,13,14,15,16,\dots \). Il successivo di \( 19 \) sarà il numero \( 20 \) (venti), il successivo di \( 20 \) sarà \( 21 \) e così via.
Arrivati a \( 99 \), non avendo altre cifre a disposizione dovremo aggiungere una terza cifra. In particolare scriveremo:
\[ 99+1 = 100 \]
tale numero si indica con il nome di cento. Indichiamo in questo modo di avere cento unità o, in altre parole, dieci decine.
Arrivati a \( 999 \) abbiamo di nuovo finito le cifre, così per esprimere il numero successivo dovremo scrivere:
\[ 999+1=1000 \]
Tale numero ci fa sapere che abbiamo dieci centinaia e si indica con mille.
Per i numeri naturali direi che è tutto. Abbiamo qui fornito richiami piuttosto elementari. Tuttavia, porre attenzione a questi concetti è in realtà molto importante ad esempio per gli aspiranti programmatori. I programmatori spesso si ritrovano infatti a lavorare con numeri formati da sole due differenti cifre o addirittura formati da ben sedici differenti cifre. Quindi, in realtà non abbiamo solo numeri formati con le cifre da \( 0 \) a \( 9 \). Comprendere i fondamenti anche più elementari dei numeri naturali è la chiave per comprendere bene questi particolari numeri (numeri binari ed esadecimali).
Nella prossima lezione, richiameremo le operazioni sui numeri naturali. Ciao a tutti! 🙂