In questa lezione vedremo una particolare categoria di insiemi: gli insiemi numerici. Come si può capire facilmente dal nome, si tratta di insiemi costituiti da numeri.
Esistono diverse categorie di insiemi numerici, ciascuna nata per consentire la risoluzione di problemi che si sono via via presentati lungo la storia della matematica. Passeremo dunque in rassegna i vari insiemi numerici evidenziando il legame che si ha tra loro e mostrando quali necessità ne hanno portato alla introduzione. Non mancheremo infine di richiamare anche nel dettaglio alcuni concetti di base, specialmente a propositivo dei numeri relativi. Bene, cominciamo! 🙂
Insieme dei numeri naturali (N)
Cominciamo il nostro viaggio negli insiemi numerici con l’insieme dei numeri naturali.
L’insieme dei numeri naturali è l’insieme numerico più antico. Dato il numero zero (che indica una quantità nulla), ciascun numero naturale può essere ottenuto dallo zero sommando allo zero stesso delle unità (\( 1 \)).
Ad esempio, il numero tre si ottiene dallo zero sommando ad esso tre unità:
\[ 3 = 0 + 1 + 1 + 1 \]
Per cui con la scrittura “\( 3 \)” indichiamo un numero ottenuto a partire dallo zero sommando tre volte l’unità.
Abbiamo poi che, assegnato un qualsiasi numero naturale, sommando ad esso l’unità (cioè il numero \( 1 \)), si ottiene il suo successore (o numero successivo).
Dunque, partiamo dallo zero. Il successore di zero è uno (\( 0+1 \)), il successore di uno è due (\( 1+1=2 \)), il successore di due è tre ecc…
In questo modo possiamo elencare l’insieme dei numeri naturali (che indichiamo con il simbolo \( \mathbb{N} \)):
\[ \mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 \dots \} \]
L’insieme è infinito poiché per ogni numero naturale è possibile scrivere il suo successore. Scelto infatti un numero grande quanto vogliamo, questo comunque avrà un successore. Siamo dunque prima o poi costretti ad usare i puntini nell’elencazione degli elementi di \( \mathbb{N} \) 😉
Osserviamo che lo zero non è il successore di nessun numero. In altre parole, non esiste in \( \mathbb{N} \) un numero più piccolo dello zero.
Una diretta conseguenza di questo è che l’operazione \( 3-10 \) è impossibile in \( \mathbb{N} \). Infatti, una tale operazione consisterebbe nel sottrarre dieci volte l’unità \( 1 \) al numero \( 3 \). Ma proprio in ragione del fatto che lo zero non è il successore di nessun numero, arrivati allo zero dobbiamo fermarci. Proprio a causa di questo problema sono stati introdotti i numeri relativi.
Insieme dei numeri relativi (Z)
Un’operazione quale la sottrazione \( 3-10 \) evidenzia la necessità di definire dei numeri che precedano lo zero. In tal modo, sarà possibile sottrarre delle unità allo zero e l’operazione potrà finalmente avere un risultato.
L’idea è quella di indicare i numeri che precedono lo zero ponendo davanti ad essi il segno meno (\( – \)). In questo modo, sottraendo un’unità allo zero otterremo il numero \( -1 \), sottraendo a quest’ultimo ancora un’unità otterremo il numero \( -2 \), ecc.
Viene così introdotto l’insieme dei numeri relativi, indicato con \( \mathbb{Z} \). I numeri relativi vengono suddivisi in due grandi categorie: i numeri positivi, ciascuno ottenuto sommando allo zero un certo numero di unità, e i numeri negativi, ottenuti sottraendo allo zero un certo numero di unità.
Così \( -7 \) viene ottenuto sottraendo sette volte l’unità allo zero:\( -7=0-1-1-1-1-1-1-1 \). Il numero \( 4 \) viene invece ottenuto sommando quattro volte l’unità allo zero: \( 4 = 0+1+1+1+1 \). I numeri positivi possono essere distinti dai numeri negativi ponendo davanti ad essi un segno \( + \), ma di solito questo viene sottinteso. L’importante però è ricordarsi sempre che questo segno c’è 😉
Prima di proseguire la nostra carrellata sugli insiemi numerici, è bene ripassare alcuni concetti molto importanti sui numeri relativi. Questi infatti saranno fondamentali anche per lavorare negli altri insiemi numerici che introdurremo.
successore ed opposto nei numeri relativi
La definizione di successore non cambia per i numeri negativi. Dato un numero negativo, il suo successore si otterrà ancora sommando ad esso l’unità. Così il successore di \( -3 \) è \( -3+1 = -2 \). Ciò è evidente perché se ci troviamo a tre unità prima dello zero (\( -3) \), sommando un’unità ci ritroveremo a due unità prima dello zero \( (-2) \).
Lo zero è così un particolare numero: esso non ha segno. Lo zero è l’unico numero senza segno, tutti gli altri numeri devono per forza essere o positivi, o negativi. In un numero negativo, il segno meno deve essere sempre indicato esplicitamente.
Assegnato un numero relativo \( n \), il suo opposto è \( -n \). Così, l’opposto del numero \( 3 \) è \( -3 \). L’opposto del numero \( -4 \) è \( 4 \). In altre parole, dato un numero relativo, il suo opposto si ottiene invertendone il segno (cambiando il più in meno o cambiando il meno in più).
Ora, è chiaro che se sottraiamo tre unità allo zero otteniamo il numero \( -3 \). D’altronde se al numero \( -3 \) sommiamo queste stesse tre unità, ritroviamo il valore 0. Quindi, l’opposto di un numero è quel particolare numero che sommato al numero dato restituisce lo zero. Così, l’opposto di \( -3 \) è \( 3 \) e si ha \( -3+3=0 \).
la somma algebrica
Osserviamo che è possibile sommare un numero negativo ad un numero positivo. Ad esempio \( 5+(-2)=3 \). Ciò equivale alla sottrazione \( 5-2=3 \). Una somma contenente addendi che possono essere sia positivi, sia negativi si dice somma algebrica.
valore assoluto
Indichiamo come valore assoluto di un numero:
- il numero stesso, se il numero dato è positivo;
- il suo opposto, se il numero dato è negativo.
In altre parole, possiamo definire il valore assoluto di un numero come quel numero “forzato positivo”. Ad esempio, il valore assoluto di \( 6 \) è ancora \( 6 \) (il numero infatti è positivo). Il valore assoluto di -4 è \( 4 \) (il numero di partenza è negativo per cui è necessario invertirne il segno).
Il valore assoluto di un numero si indica ponendo il numero di partenza entro i simboli \( | | \). Così, avremo ad esempio \( |-3|=3, \: |5| = 5; |-8| = 8 \). Come possiamo vedere, il valore assoluto di un qualunque numero è positivo.
NOTA: la definizione di valore assoluto che abbiamo usato è quella più coerente con le trattazioni che verranno svolte nei successivi percorsi di studio (basti pensare a come è definita la funzione valore assoluto in Analisi Matematica). E’ comunque possibile anche definire il valore assoluto di un numero relativo come quel numero assoluto che si ottiene a partire dal numero relativo eliminando il segno. In tal caso però, ci ritroviamo ad esempio con una corrispondenza tra numeri interi relativi e numeri naturali. Quello che interessa invece a lato pratico è una funzione valore assoluto che dai relativi vada ancora ai relativi. Di qui la definizione di valore assoluto di un numero relativo come quello stesso numero relativo “forzato positivo”.
numeri concordi e discordi
Due numeri di dicono concordi se hanno lo stesso segno. Due numeri si dicono discordi se hanno segno diverso.
Ad esempio, i numeri \( -3 \) e \( -7 \) sono concordi (entrambi negativi). I numeri \( 4 \) e \( 8 \) sono concordi (entrambi positivi). I numeri \( -5 \) e \( 7 \) sono discordi (uno è negativo, l’altro è positivo).
NUMERI RELATIVI E MOLTIPLICAZIONE
Dovendo moltiplicare tra loro numeri positivi, non abbiamo problemi poiché il risultato sarà sicuramente positivo.
I problemi sorgono nel moltiplicare tra loro ad esempio un numero positivo e un numero negativo, oppure due numeri negativi. Quale segno dovremo attribuire al risultato? La regola è la seguente:
- il prodotto di due numeri positivi è positivo;
- il prodotto di un numero negativo e di uno positivo è negativo;
- ovviamente, anche il prodotto di un numero positivo e di uno negativo è negativo;
- infine, il prodotto di due numeri negativi è positivo.
In altre parole, il prodotto di due numeri concordi è positivo, il prodotto di due numeri discordi è negativo.
Osserviamo che questa stessa regola sui segni è valida anche per la divisione tra numeri relativi. 😉
UNA PROPRIETA’ DA RICORDARE
E’ infine importante sottolineare che un qualsiasi numero relativo può essere equivalentemente espresso come prodotto del suo opposto per il numero \( -1 \). Così ad esempio:
\[ -3 = -1 \cdot 3; \qquad 5 = -1 \cdot (-5) \]
Possiamo sfruttare questo per esprimere in forma equivalente una somma algebrica tra numeri. Ad esempio, possiamo esprimere la somma:
\[ 5+2-9 \]
come:
\[ -1 \cdot (-5-2+9) \]
E’ rapido verificare che entrambe le espressioni forniscono il medesimo risultato ;). In particolare, possiamo equivalentemente scrivere l’ultima espressione come:
\[ -(-5-2+9) \]
Riassumendo, tutto ciò significa che:
\[ 5+2-9 = -(-5-2+9) \]
In tal modo diciamo che abbiamo messo in evidenza un segno meno, oppure che abbiamo raccolto un segno meno. Questa tecnica si rivelerà molto utile nel calcolo letterale.
Insieme dei numeri razionali (Q)
Se i numeri relativi ampliano enormemente l’orizzonte rispetto ai naturali, in qualche modo lasciano diversi problemi irrisolti. Ad esempio, come esprimere il risultato della divisione \( 5/7 \)?
Aggiungiamo pertanto agli insiemi numerici che già conosciamo l’insieme dei numeri razionali, cioè numeri che possono essere espressi come rapporto fra numeri relativi (purché il divisore sia diverso da zero).
Così, avremo ad esempio i numeri razionali:
\[ \dfrac{2}{7}; \qquad -\dfrac{3}{8}; \qquad \dfrac{9}{2} \]
In altre parole, i numeri razionali sono frazioni. Una frazione rappresenta una divisione nella quale il dividendo è detto numeratore, il divisore è detto denominatore.
Indicando con \( a \) il numeratore, con \( b \) il denominatore e tenendo conto che \( b \) deve essere diverso da zero, possiamo indicare l’insieme dei numeri razionali come:
\[ \mathbb{Q}=\bigl\{\dfrac{a}{b} \quad \text{t.c} \quad a, b \in \mathbb{Z}, \quad b \neq 0 \bigr\} \]
ovvero in parole: l’insieme dei numeri razionali \( Q \) è l’insieme dei numeri esprimibili come rapporto tra due numeri relativi, con divisore diverso da zero.
NOTA: per precisione, osserviamo che qui ci stiamo riferendo ai numeri razionali relativi, ovvero ai numeri razionali “con segno”. Esistono infatti anche i numeri razionali assoluti, cioè privi di segno. Si tratta in particolare di numeri esprimibili come rapporto tra numeri naturali.
L’insieme dei numeri relativi e’ un sottoinsieme dei numeri razionali
Osserviamo che assegnato un qualunque numero relativo è possibile trovare un numero razionale ad esso equivalente. Ad esempio:
\[ 2= \dfrac{4}{2}; \qquad 3 = \dfrac{9}{3}; \qquad -55 = -\dfrac{110}{2}; \quad \dots \]
e qualsiasi numero relativo sarà in generale esprimibile come frazione avente come denominatore l’unità:
\[ 2= \dfrac{2}{1}; \qquad 13=\dfrac{13}{1}; \quad \dots \]
Infine, lo zero stesso è esprimibile come frazione, addirittura in infiniti modi:
\[ 0=\dfrac{0}{1}; \quad 0=\dfrac{0}{2}; \quad 0=\dfrac{0}{7}; \quad 0=\dfrac{0}{55}; \quad \dots \]
Appare dunque chiaro come ogni numeri relativo è anche razionale. Esistono invece numeri razionali che non equivalgono a nessun numero relativo, ad esempio:
\[ \dfrac{13}{7}; \qquad \dfrac{45}{6}; \quad \dots \]
Ciò è evidente poiché diversamente non avremmo dovuto introdurre i numeri razionali 😉
Dunque abbiamo che:
\[ Z \subset Q \]
cioè che \( Z \) è contenuto in \( Q \) e che \( Q \) è più grande di \( Z \) 🙂 Per chi già conosce gli insiemi, diciamo che \( Z \) è un sottoinsieme proprio di \( Q \).
numeri razionali come numeri decimali
Visti come numeri decimali, cioè numeri espressi tramite una parte intera e una parte decimale, separate dalla virgola, i numeri razionali possono essere indifferentemente:
- numeri decimali limitati (numeri costituiti da un numero finito di cifre decimali);
- numeri decimali illimitati purché periodici semplici o misti (in soldoni, numeri decimali costituiti da una quantità infinita di cifre decimali ove però prima o poi si ripete all’infinito una stessa cifra decimale o uno stesso gruppo di cifre decimali);
Ad esempio, i numeri decimali \( 1,7525 \) e \( 1,76353535\overline{62} \) sono entrambi un esempio di numeri razionali espressi in forma decimale. Essendo entrambi razionali possono essere riscritti come frazione. Infatti:
\[ 1.7525= \dfrac{701}{400} \]
e il numero \( 1,76353535\overline{62} \) equivale alla frazione:
Le due frazioni appena viste si chiamano frazioni generatrici dei numeri razionali dati.
Insieme dei numeri irrazionali
Anche i numeri razionali presentano un problema (come, ancora? :P). Non tutti i numeri possono essere infatti espressi come numeri razionali, ovvero come rapporto tra numeri relativi.
Ad esempio, il numero \( \sqrt{3} \) non è esprimibile come rapporto fra numeri relativi. Possiamo al massimo approssimarlo come un rapporto tra numeri relativi, ma non riusciremo mai a trovare due numeri relativi il cui rapporto restituisca come risultato esattamente \( \sqrt{3} \).
Numeri di questo tipo, ovvero numeri non esprimibili come rapporto tra numeri relativi, si dicono numeri irrazionali. Alcuni esempi di numeri irrazionali:
\[ \sqrt{2}, \quad \sqrt{3}, \quad \pi, \quad \dots \]
L’insieme dei numeri irrazionali si indica con \( \mathbb{I} \).
Osserviamo che gli insiemi \( \mathbb{Q} \) e \( \mathbb{I} \) sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune.
Numeri irrazionali come numeri decimali
I numeri irrazionali sono numeri decimali dei quali non è possibile trovare la frazione generatrice. Si tratta di numeri decimali illimitati aperiodici, ovvero privi di periodo. Si tratta cioè di numeri nei quali le cifre decimali si susseguono all’infinito senza che ci sia mai una stessa cifra decimale o uno stesso gruppo di cifre decimali che si ripete indefinitamente.
Ad esempio, del numero irrazionale \( \pi \) possiamo solo scrivere una approssimazione, ma non riusciremo mai a scriverlo in forma decimale esatta. Dovremmo infatti scrivere infinite cifre dopo la virgola 🙂
Insieme dei numeri reali
Proseguiamo il nostro viaggio negli insiemi numerici facendo la conoscenza dei numeri reali.
L’insieme dei numeri reali rappresenta l’insieme che si ottiene dall’unione dell’insieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri irrazionali:
\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \]
Un numero reale potrà dunque essere esprimibile o anche non esprimibile come frazione. Così, un numero decimale qualsiasi, anche privo di frazione generatrice, è comunque un numero reale.
Di conseguenza, si ha ad esempio che tutti i seguenti numeri sono reali:
\[ 1, \quad 5, \quad \sqrt{3}, \quad \dfrac{4}{5}, \quad 0.178273, \quad -\dfrac{7}{8}, \quad -67.3837, \quad \dots \]
L’insieme dei numeri complessi (campo complesso)
Se pensavate che con i numeri reali finalmente tutti i problemi erano risolti, beh vi sbagliavate 😛 Esistono equazioni ad esempio che non possono essere risolte utilizzando i soli numeri reali. Ad esempio:
\[ 7x^2+2x+9=0 \]
Tale equazione non ha soluzioni reali. Ciò non vuol dire che non abbia soluzioni in senso generale. Infatti, nell’insieme dei numeri complessi questa può essere risolta.
Non vogliamo addentrarci nei particolari. Per ora vi basti sapere che i numeri complessi sono numeri della forma:
\[ a+ib \]
ove \( a \) e \( b \) sono due numeri reali qualsiasi, mentre \( i \) si chiama “unità immaginaria”. \( a \) è la parte reale del numero complesso, mentre \( b \) è la parte immaginaria.
Relazioni di appartenenza tra gli insiemi numerici
L’ordine nel quale abbiamo introdotto gli insiemi numerici rispecchia anche le loro relazioni di appartenenza.
In particolare, il primo insieme che abbiamo visto, l’insieme dei numeri naturali, è contenuto nell’insieme dei numeri relativi. Questo a sua volta è contenuto nell’insieme dei numeri razionali. In simboli matematici:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \]
Come sappiamo, l’insieme dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali sono disgiunti (ovvero, non hanno elementi in comune). Tuttavia, la loro unione fornisce l’insieme dei numeri reali. Quindi:
\[ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}= \mathbb{R} \]
Infine, l’insieme dei numeri reali è contenuto nell’insieme dei numeri complessi (in realtà, non è proprio così ma possiamo dirlo in senso esteso):
\[ \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]
Possiamo rappresentare tutto questo graficamente come segue:
Ciascun insieme è rappresentato da un ovale. Se un insieme è contenuto dentro un altro, il relativo ovale è disegnato all’interno dell’ovale dell’insieme che lo contiene.
Una tale rappresentazione degli insiemi si indica con il termine di “diagrammi di Eulero-Venn”.
Qui termina questa lezione introduttiva sugli insiemi numerici. Una trattazione sugli insiemi numerici ragionevolmente completa richiederebbe di affrontare molti più concetti. Qui ci siamo più che altro soffermati sulle nozioni relative agli insiemi numerici più utili per le scuole superiori. Ciao! 🙂