Il massimo comun divisore (MCD) viene determinato a partire da un gruppo di numeri naturali. Il problema che risolveremo è dunque il calcolo del massimo comun divisore (MCD) di due o più numeri naturali.
Nella prima parte della lezione ci occuperemo del problema relativo al calcolo del massimo comun divisore tra due soli numeri naturali. Solo in un secondo momento vedremo come estendere la procedura al caso di più di due numeri.
Se già conoscete l’argomento e avete semplicemente bisogno di uno strumento di verifica per gli esercizi, sappiate che su Altramatica è presente un comodo tool per calcolare il Massimo Comune Divisore (MCD).
Definizione (massimo comun divisore – MCD)
Si definisce massimo comune divisore (MCD) di due numeri il numero che è il più grande divisore di entrambi i numeri dati.
Per calcolarlo, è necessario anzitutto scomporre i due numeri in fattori primi.
Ricordiamo che dato un generico numero naturale non primo, questo può essere riscritto come un prodotto fra numeri primi, elevato ciascuno ad un opportuno esponente, che rappresenta la scomposizione del numero dato in fattori primi.
Ad esempio, il numero \( 54 \) si può scomporre in fattori primi ottenendo:
\[ 54=2 \times 3^3 \]
Una volta scomposti i due numeri in fattori primi, il Massimo Comun Divisore è dato dal prodotto tra i soli fattori presenti in entrambe le scomposizioni dei numeri dati, ove ciascun fattore è elevato al più piccolo esponente con il quale compare il fattore stesso nelle due distinte scomposizioni.
Esempio 1
Determinare il Massimo Comun Divisore (MCD) dei seguenti numeri:
\[ 27; \qquad 36 \]
Anzitutto, scomponiamo i numeri dati in fattori primi. Si ha:
\[ 27= 3^3; \qquad 36=2^2 \times 3^2 \]
Ora, quali fattori primi sono presenti in entrambe le scomposizioni? Nella prima scomposizione, \( 3^3 \), abbiamo il solo fattore \( 3 \). Nella seconda scomposizione, \( 2^2 \times 3^2 \), abbiamo i fattori \( 2 \) e \( 3 \). Quindi, nel Massimo Comun Divisore avremo un solo fattore in comune che è \( 3 \).
Ora, a quale esponente dobbiamo elevare il fattore comune trovato? Nella prima scomposizione, il fattore \( 3 \) compare con esponente \( 3 \). Nella seconda scomposizione, il fattore \( 3 \) compare con esponente \( 2 \). Dovremo prendere l’esponente più piccolo tra i due, e cioè \( 2 \).
In conclusione, abbiamo che:
\[ MCD(27,36)=3^2=9 \]
Esempio 2
Determinare il Massimo Comun Divisore tra i numeri \( 600\) e \( 500 \).
Scomponiamo anzitutto ciascun numero in fattori primi (per i criteri di divisibilità, qui ci è sufficiente ricordare che un numero che finisce per \( 0 \) è divisibile ad esempio per \( 2 \) e che un numero che finisce per \( 5 \) è divisibile per \( 5 \)):
Abbiamo quindi le scomposizioni:
\[ 600=2^3 \times 3 \times 5^2 \]
\[ 500 = 2^2 \times 5^3 \]
Ora, quali fattori primi compaiono in entrambe le scomposizioni? Confrontando le due scomposizioni, vediamo che i due fattori in comune sono \( 2 \) e \( 5 \). Ci rimane a questo punto da vedere quali esponenti hanno i fattori comuni nelle scomposizioni.
Nella prima scomposizione, \( 2 \) compare con l’esponente \( 3 \). Nella seconda scomposizione, \( 2 \) compare con l’esponente \( 2 \). Scegliamo l’esponente più piccolo che è \( 2 \). Quindi, un primo fattore per il Massimo Comun Divisore sarà \(\boxed{ 2^2 }\).
Passiamo ora a scegliere l’esponente per il fattore comune \( 5 \). Nella prima scomposizione, il fattore \( 5 \) compare con esponente \( 2 \). Nella seconda scomposizione, il fattore \( 5 \) compare con esponente \( 3 \). Scegliamo il più piccolo esponente che è \( 2 \). Per cui, un altro fattore per il Massimo Comune Divisore sarà \(\boxed{ 5^2} \).
Il fattore primo \( 3 \) non farà parte del Massimo Comune Divisore poiché non è comune ad entrambe le scomposizioni. E’ infatti presente nella prima scomposizione, ma manca nella seconda 😉
Non avendo altri fattori primi in comune abbiamo finito. 🙂 Il Massimo Comune Divisore (MCD) tra i numeri dati è:
\[ MCD(600,500)= 2^2 \times 5^2 = 100\]
Per quanto riguarda il calcolo del Massimo Comune Divisore tra due numeri è tutto. Vediamo brevemente, prima di salutarci, come calcolare il Massimo Comune Divisore fra tre numeri. Il procedimento non cambia in realtà, c’è solo da prestare più attenzione 😉
Esempio 3 – Massimo Comune Divisore (MCD) di tre numeri
Calcolare il Massimo Comune Divisore dei numeri \( 172, 56,88 \).
Prima di tutto, scomponiamo tutti e tre i numeri in fattori primi. A mio avviso è conveniente anche in questo caso scrivere le scomposizioni una accanto all’altra, in modo da poter individuare più facilmente i fattori comuni.
Abbiamo dunque le seguenti scomposizioni:
\[ 172=2^2 \times 43 \]
\[ 56 = 2^3 \times 7 \]
\[ 88=2^3 \times 11 \]
Nelle tre scomposizioni possiamo vedere che l’unico fattore primo in comune è \( 2 \). L’esponente più piccolo col quale compare è \( 2 \) (l’esponente nella prima scomposizione). Abbiamo così terminato e possiamo scrivere il Massimo Comune Divisore:
\[ MCD(172, 56,88)=2^2=4 \]
Il procedimento per calcolare il Massimo Comune Divisore di più di tre numeri è del tutto simile.
Se volete verificare i risultati dei vostri esercizi, vi ricordo ancora il pratico tool per calcolare il Massimo Comune Divisore (MCD).
Per quanto riguarda il Massimo Comune Divisore (MCD) è tutto :). Nella prossima lezione, vedremo un’importante applicazione: ridurre una frazione ai minimi termini. Ciao!