La moltiplicazione tra monomi si aggiunge alla addizione e sottrazione, viste nelle precedenti lezioni. E’ comunque subito da osservare che non si tratta di un’operazione del tutto nuova. Mostreremo infatti che la moltiplicazione tra monomi può essere vista come un particolare caso dell’operazione di riduzione di un monomio a forma normale. Tuttavia, per il momento non terremo conto di questa particolarizzazione e presenteremo tutte le regole che riguardano la moltiplicazione. Rifletteremo su questo solo alla fine della lezione. 🙂
Moltiplicazione tra monomi – regola per eseguirla
Assegnati due o più monomi ridotti in forma normale, il loro prodotto è dato da un monomio che ha:
- come parte numerica, il prodotto tra le parti numeriche dei monomi dati;
- come parte letterale, il prodotto fra tutte le lettere presenti nei monomi dati, elevate ciascuna alla somma di tutti gli esponenti con i quali compare la lettera considerata nei monomi.
Precisiamo che se una certa lettera è presente soltanto in un monomio, questa avrà come esponente semplicemente l’esponente al quale è elevata nel monomio di appartenenza.
Facciamo subito un esempio. 🙂 Eseguiamo la seguente moltiplicazione tra monomi:
\[ 9ab \cdot 3ac \]
Il prodotto tra le parti numeriche è \( 9 \cdot 3 = 27 \). Così, questo sarà il coefficiente del monomio prodotto che otterremo.
Occupiamoci ora delle parti letterali. Scriviamo il prodotto di tutte le differenti lettere che compaiono nei monomi, senza ripeterle, lasciando in sospeso gli esponenti:
\[ a^\square b^\square c^\square \]
Le lettere \( b \) e \( c \) compaiono ciascuna soltanto in un monomio, con esponente \( 1 \) (infatti, \( b^1=b, \: c^1=c \)). La lettera \( a \) compare invece in entrambi i monomi, con esponente \( 1 \). Per cui, la somma degli esponenti ai quali è elevata la lettera \( a \) è pari a \( 1+1=2 \). La parte letterale del prodotto sarà dunque data da:
\[ a^2bc \]
Infine, moltiplicando tra loro parte numerica e parte letterale del prodotto, otteniamo il monomio risultato della moltiplicazione:
\[ 27a^2bc \]
Per cui in definitiva:
\[ 9ab \cdot 3ac=27a^2bc \]
Perché dobbiamo effettuare la somma degli esponenti? Come vedremo meglio alla fine della lezione, ciò è diretta conseguenza delle proprietà delle potenze, relativamente al caso della moltiplicazione di potenze aventi uguale base. 😉
Vediamo ora qualche esempio.
ESEMPIO
Eseguire la moltiplicazione:
\[ -2abc^2 \cdot 3a^2c^3 \]
La parte numerica del primo monomio è pari a \( -2 \). La parte numerica del secondo monomio è pari a \( 3 \). Così, per il monomio risultato del prodotto avremo il coefficiente \( -2 \cdot 3 = \boxed{-6 }\).
La lettera \( a \) si presenta nel primo monomio con esponente \( 1 \) mentre nel secondo monomio compare con esponente \( 2 \). Poiché dobbiamo sommare tra loro tali esponenti, per la parte letterale del risultato abbiamo già un primo fattore: \( a^{1+2}=\boxed{a^3} \).
La lettera \( b \) compare soltanto nel primo monomio con esponente \( 1 \). Di conseguenza consideriamo per la parte letterale del risultato anche il fattore \( \boxed{b} \).
Infine, la lettera \( c \) è presente in entrambi i monomi, con esponente \( 2 \) nel primo monomio e con esponente \( 3 \) nel secondo monomio. Così, abbiamo per la parte letterale del monomio risultato dell’operazione anche il fattore \( c^{2+3} =\boxed{c^5} \).
Ora, per ottenere il risultato della moltiplicazione tra i monomi dati, non ci resta che moltiplicare tra loro la parte numerica scritta all’inizio e i fattori letterali via via ottenuti. Si ha così:
\[ -2abc^2 \cdot 3a^2c^3=-6a^3bc^5 \]
Moltiplicazione tra monomi e proprietà delle potenze
Il fatto che dobbiamo sommare gli esponenti di ciascuna lettera dei monomi che stiamo moltiplicando per ottenere ciascun fattore letterale del risultato deriva direttamente dalle proprietà delle potenze.
Infatti, sappiamo che il prodotto tra due potenze aventi la stessa base è pari ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti delle due potenze di partenza.
Così ad esempio:
\[ 2^2 \cdot 2^3 = 2^5 \]
Ovviamente la proprietà vale anche per i fattori letterali. Così avremo:
\[ a^2 \cdot a^3 = a^5 \]
Infatti, ricordandoci che le potenze sono solo un differente modo di scrivere delle particolari moltiplicazioni:
\[ a^2 = a \cdot a; \quad a^3 = a \cdot a \cdot a \]
così:
\[ (a \cdot a ) \cdot (a \cdot a \cdot a) = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a=a^5 \]
In definitiva, nel calcolo del prodotto fra monomi moltiplichiamo tra loro i fattori letterali di ciascun monomio utilizzando le proprietà delle potenze. Da ciò deriva in conclusione il fatto di sommare gli esponenti tra loro.
Riduzione di un monomio a forma normale come caso particolare di prodotto fra monomi
La moltiplicazione tra monomi è un caso particolare della riduzione di un monomio a forma normale.
Infatti, consideriamo il seguente monomio non in forma normale:
\[ 3ab^24b^4c^3 \]
Il monomio non è in forma normale poiché presenta due parti numeriche. Inoltre, la lettera \( b \) compare per due volte.
Riducendo il monomio in forma normale, otteniamo:
\[ 12ab^6c^3 \]
Ora, è senz’altro possibile vedere il monomio \( 3ab^24b^4c^3 \) come prodotto tra due monomi:
\[ 3ab^2\cdot 4b^4c^3 \]
Eseguendo la moltiplicazione otteniamo lo stesso risultato della riduzione a forma normale:
\[ 3ab^2\cdot 4b^4c^3=12ab^6c^3 \]
Di conseguenza, possiamo affermare che l’operazione di riduzione a forma normale di un monomio è in generale un caso particolare di moltiplicazione tra monomi.
Per quanto riguarda la teoria della moltiplicazione tra monomi è tutto. 🙂 Per chi vuole mettere in pratica quanto appreso, è disponibile questa esercitazione.
Nella prossima lezione, vedremo la divisione tra monomi. Buono studio a tutti, ciao! 🙂