Non esiste un unico modo per costruire la definizione di monomio, tant’è che esistono almeno due differenti definizioni. In questa lezione cercheremo tuttavia di chiarire questa ambiguità, in modo da conciliare, per quanto possibile, le definizioni usate da ciascun libro o insegnante.
Definizione di monomio
Il termine monomio significa letteralmente “unica legge”. Infatti, in un monomio compare soltanto l’operazione di moltiplicazione. Questo, almeno secondo la definizione che noi adotteremo. 😉
Il contesto nel quale introduciamo la definizione è quello dei numeri relativi espressi anche in forma letterale. Così, un monomio sarà costituito sia da lettere, sia da numeri.
E poiché l’unica legge ammessa è la moltiplicazione, intuiamo già come un monomio sia dato da un prodotto tra numeri e lettere.
Ricordiamo che in algebra il simbolo di moltiplicazione usato è il punto (\( \cdot \)), il quale viene spesso omesso. Così, volendo rappresentare il prodotto tra le quantità letterali \( a \) e \( b \), scriveremo:
\[ a \cdot b \]
o ancor più semplicemente:
\[ a b \]
Ora, i termini \( a \) e \( b \) rappresentano ciascuno un monomio. E anche il loro prodotto, \( ab \), è a sua volta un monomio.
Anche il seguente termine:
\[ 4ab \]
è un monomio, e rappresenta un prodotto tra un fattore numerico e due fattori letterali. Infatti, può anche essere riscritto come:
\[ 4 \cdot a \cdot b \]
Un monomio può essere sempre scritto come un prodotto di una sola parte numerica e di una parte letterale. Così ad esempio nel monomio appena visto \( 4 \) è la parte numerica mentre \( ab \) è la parte letterale. La parte numerica viene indicata comunemente con il termine di coefficiente.
Consideriamo il seguente monomio:
\[ 4 \cdot c \cdot a \cdot b \cdot (-2) \]
Come possiamo vedere, non abbiamo un’unica parte numerica. Sono infatti presenti due fattori numerici. Inoltre, la parte letterale è costituita da un prodotto tra fattori letterali che non sono disposti in ordine alfabetico. Infine, è possibile come già detto lasciare sottinteso il simbolo di moltiplicazione.
Proviamo allora a fare un po’ di ordine. Anzitutto, utilizziamo la proprietà commutativa della moltiplicazione in modo da raggruppare i fattori numerici tra loro e disporre le lettere presenti in ordine alfabetico:
\[ 4 \cdot c \cdot a \cdot b \cdot (-2)= 4 \cdot (-2) \cdot a \cdot b \cdot c =\]
A questo punto, calcoliamo il prodotto tra i due fattori numerici, utilizzando le regole per i numeri relativi:
\[ =-8 \cdot a \cdot b \cdot c =\]
Infine, sopprimiamo i simboli di moltiplicazione (non è obbligatorio ma è la comune prassi):
\[ =-8abc \]
Un monomio che si presenta in questo modo si dice ridotto in forma normale.
In un monomio ridotto in forma normale abbiamo un solo fattore numerico scritto al primo posto e una parte letterale costituita da un prodotto di fattori letterali con certe caratteristiche.
In particolare, perché il monomio sia in forma normale, la parte letterale deve essere scritta come prodotto tra potenze letterali aventi tutte differente base.
Così, il monomio \( -8abc \) è scritto in forma normale poiché oltre ad avere un unico fattore numerico al primo posto, ha una parte letterale costituita da potenze aventi tutte differenti basi. In questo caso potremmo chiederci dove sono gli esponenti… La risposta è che ci sono e valgono \( 1 \). Infatti:
\[ -8abc = -8a^1b^1c^1 \]
Tuttavia, quando gli esponenti sono unitari vengono come sempre sottintesi.
Ridurre un monomio in forma normale
Consideriamo il seguente monomio:
\[ 3\cdot y\cdot z\cdot x \cdot y^2\cdot 5 \]
Come possiamo vedere, il monomio non si presenta in forma normale per vari motivi:
- abbiamo due fattori numerici (\( 3 \) e \( 5 \));
- le lettere non sono disposte in ordine alfabetico;
- abbiamo due potenze con la stessa base (in particolare, i fattori \( y \) e \( y^2 \)).
Vediamo allora di rimettere a posto questo povero monomio. 😛
Cominciamo raggruppando i fattori numerici e moltiplicandoli tra loro:
\[ 3\cdot y\cdot z\cdot x \cdot y^2\cdot 5=(3 \cdot 5) \cdot y\cdot z\cdot x \cdot y^2 =15 \cdot y\cdot z\cdot x \cdot y^2 \]
Ora, ordiniamo le lettere in ordine alfabetico, ancora sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione:
\[ 15 \cdot y\cdot z\cdot x \cdot y^2=15 \cdot x \cdot y \cdot y^2 \cdot z \]
Abbiamo ancora un problema: le potenze \( y \) e \( y^2 \) hanno la stessa base. Dobbiamo quindi riscrivere il prodotto:
\[ y \cdot y^2 \]
come un’unica potenza. Per fare questo, basta utilizzare le proprietà delle potenze. In particolare, siamo nel caso di un prodotto fra potenze di uguale base (\( y \)). Infatti, poiché \( y=y^1 \), possiamo riscrivere il precedente prodotto come:
\[ y^1 \cdot y^2 \]
E’ ora chiaro che il risultato di una tale moltiplicazione letterale sarà dato da una potenza avente per base ancora \( y \) e per esponente la somma degli esponenti dei due fattori letterali dati. Così:
\[ y^1 \cdot y^2 = y^{1+2}=y^3 \]
Ora siamo arrivati. 🙂 Possiamo infatti sviluppare ulteriormente l’espressione del monomio dato:
\[ 15 \cdot x \cdot y \cdot y^2 \cdot z=15 \cdot x \cdot y^3 \cdot z \]
e togliendo come di solito viene fatto i simboli di moltiplicazione otteniamo il monomio espresso in forma normale:
\[ \boxed{ 15 x y^3 z} \]
Con un po’ di allenamento imparerete in fretta a ridurre i monomi in forma normale. Inoltre, su Altramatica è disponibile un comodo tool di calcolo dei polinomi online che, tra le altre cose, riduce i monomi in forma normale ;). In questo modo, potrete allenarvi a ridurre dei monomi in forma normale confrontando i vostri risultati con quelli forniti dal risolutore. Vi basta scrivere soltanto il monomio da ridurre in forma normale… e con un semplice click avrete il risultato calcolato dal potente motore matematico Wolfram Alpha.
Se volete, prima di procedere con la rimanente parte della lezione, ecco per voi un paio di monomi con i quali allenarvi:
\[ -3 \cdot a^2 \cdot b \cdot a; \qquad 5\cdot b^2 \cdot a \cdot c \cdot b^3\cdot 2 \]
Monomi che si presentano con sola parte numerica o sola parte letterale
La parte numerica di un monomio può a volte non apparire. Così ad esempio:
\[ xy \]
è un monomio nel quale non è esplicitamente indicata la parte numerica. Tuttavia, attenzione. 🙂 La parte numerica è presente ed è pari a \( 1 \). Si ha infatti:
\[ xy = 1 \cdot x \cdot y \]
In modo del tutto simile, possiamo avere monomi nei quali non è presente (in apparenza) la parte letterale. Ad esempio:
\[ -4 \]
Tuttavia, anche in questo caso la parte letterale non si vede, ma c’è. Possiamo infatti scrivere il precedente monomio in infiniti modi, tra i quali ad esempio:
\[ -4 \cdot a^0 \cdot b^0; \qquad -4 \cdot x^0 \]
In altri termini, in un monomio rappresentato soltanto da una parte numerica, la parte letterale è costituita da un prodotto fra lettere ciascuna elevata ad esponente zero.
Il discorso si regge sul fatto che una qualsiasi quantità elevata a zero dà come risultato \( 1 \). L’unica condizione è che ovviamente la quantità sia diversa da \( 0 \) (come sappiamo, la scrittura \( 0^0 \) perde di significato).
Definizione di monomio come espressione letterale
Se vi ricordate all’inizio, abbiamo detto che la quantità:
\[ a \]
è un monomio. E come ormai sappiamo, anche la quantità:
\[ ab \]
è un monomio. Questo monomio a sua volta è quindi dato dal prodotto del monomio \( a \) per il monomio \( b \). Ciò non deve sorprendere ed è perfettamente coerente con la definizione di monomio. Infatti, quello che conta è che vi siano soltanto moltiplicazioni. E poiché non sappiamo il valore né di \( a \), né di \( b \), l’unica è lasciare il loro prodotto indicato, scrivendo appunto \( a \cdot b \) o più semplicemente \( a b \).
In generale, possiamo quindi definire un monomio come ogni espressione algebrica, sia con numeri, sia con lettere, che contiene la sola operazione di moltiplicazione.
E questo carattere di “ricorsività” della definizione è presente anche nella nozione di espressione. Ad esempio, l’espressione:
\[ (2+3) \times (5+7) \]
può essere vista come prodotto tra le due espressioni numeriche \( (2+3) \) e \( (5+7) \). Così allo stesso modo il monomio \( 4xy \) può essere visto come prodotto dei monomi \( 4 \), \( x \) e \( y \), oppure dei monomi \( 4x \) e \( y \), e così via. 🙂
Monomi interi e monomi frazionari
Come abbiamo anticipato all’inizio, esistono due definizioni di monomio. La prima è quella più “rigida”, per la quale è soltanto ammessa la moltiplicazione. In realtà, può anche essere ammessa la divisione nella parte letterale. Così, un monomio del tipo:
\[ \dfrac{3ab}{c} \]
può essere ancora considerato un monomio, nonostante compaia una divisione (il divisore è, chiaramente, la lettera \( c \)).
Tuttavia, più comunemente si indica come monomio un monomio nel quale non vi sia nessuna lettera al denominatore. Invece, un monomio con una o più lettere al denominatore si dice monomio frazionario.
Un monomio senza lettere al denominatore viene anche indicato come monomio intero.
Ammettendo per un monomio la possibilità di essere sia intero, sia frazionario, arriviamo alla seguente definizione più generale:
un monomio è una qualsiasi espressione algebrica, numerica o letterale, nella quale non sono presenti le operazioni di addizione e sottrazione.
Così, in senso generale tutte le seguenti espressioni algebriche potrebbero essere indicate come monomi:
\[ 4x^2, \qquad \dfrac{3xy}{z}, \qquad 9abc^3 \]
Tuttavia, si è soliti indicare con il termine “monomio” un monomio intero ridotto in forma normale. Così, converremo di indicare come monomio solamente quei monomi nei quali non c’è nessuna lettera al denominatore. E poiché richiediamo che il monomio sia in forma normale, ogni volta che incontreremo un monomio non in forma normale, dovremo lavorare su di esso in modo da ricondurlo a tale forma. 😉
Così, delle tre espressioni letterali viste in precedenza, indicheremo come monomio soltanto le espressioni:
\[ 4x^2, \qquad 9abc^3 \]
mentre l’espressione:
\[ \qquad \dfrac{3xy}{z} \]
non sarà intesa in realtà come un monomio ma, per evitare confusione, come una frazione algebrica. Così, ritroviamo in conclusione per i monomi la definizione data all’inizio di questa lezione. 😉
Precisiamo infine che la presenza di un termine numerico a denominatore di per sé non rende il monomio una frazione algebrica. Consideriamo ad esempio il monomio:
\[ \dfrac{3}{5}ab \]
L’espressione è comunque un monomio (in senso generale, un monomio intero), poiché ciò che conta è che non vi sia alcuna lettera al denominatore.
Se nella parte numerica vi è una frazione apparente oppure una frazione non ridotta ai minimi termini, per ridurre il monomio in forma normale sarà necessario calcolare il quoziente corrispondente alla frazione apparente oppure ridurre ai minimi termini la frazione. Ad esempio:
\[ \dfrac{4}{2}ab=2ab; \qquad \dfrac{3}{9}x^2y=\dfrac{1}{3}x^2y \]
Le espressioni scritte sono ancora monomi poiché ai denominatori abbiamo solo numeri.
Potenze ad esponente negativo e monomi
Un’ultima precisazione per meglio chiarire la definizione di monomio. Sempre in questa lezione abbiamo visto come lavorare con le potenze con esponente negativo. Sappiamo ad esempio che:
\[ 2^{-3}=\dfrac{1}{2^3} \]
Ora, se in un’espressione che in apparenza sembra un monomio abbiamo una potenza letterale con esponente negativo, questa in realtà non è un monomio ma una frazione algebrica. Ad esempio:
\[ 4x^2y^{-3}=\dfrac{4x^2}{y^3} \]
Infatti, l’esponente negativo ha come conseguenza che ci ritroviamo con una potenza letterale al denominatore.
Per quanto riguarda la definizione di monomio è tutto! Nella prossima lezione parleremo del grado di un monomio. Ciao! 🙂