Cominceremo la lezione richiamando la definizione di potenza, estendendola al caso di basi ed esponenti relativi.
Potenza di numeri relativi
Un’espressione del tipo:
\[ (+2)^{(+3)} \]
si dice potenza di un numero relativo. Il numero \( +2 \) è la base, mentre il numero \( +3 \) è l’esponente. Il risultato dell’operazione di potenza è data da una moltiplicazione avente fattori tutti uguali alla base, presenti nel numero indicato dall’esponente.
Così avremo:
\[ (+2)^{+3}= (+2) \cdot (+2) \cdot (+2)= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
NOTA: abbiamo qui utilizzato la scrittura semplificata per i numeri relativi.
Poiché le potenze sono riconducibili alle moltiplicazioni, la regola dei segni della moltiplicazione si riflette anche sulle potenze.
In particolare, osserviamo che se l’esponente di una potenza è pari, la potenza stessa potrà essere riscritta come una moltiplicazione contenente fattori tutti uguali in quantità pari.
Invece, se l’esponente di una potenza è dispari, la potenza stessa potrà essere riscritta come una moltiplicazione che ha fattori tutti uguali ma in quantità dispari.
E poiché i fattori sono tra loro tutti uguali, ciascuno avrà, evidentemente, lo stesso segno.
Di conseguenza, se in una potenza la base è negativa e l’esponente è pari, il risultato dell’operazione di elevazione a potenza sarà un numero positivo. Diversamente, se in una potenza la base è negativa ma l’esponente è dispari, il risultato dell’operazione di elevazione a potenza sarà un numero negativo.
Infine, se in una potenza la base è positiva, il risultato dell’operazione di elevazione a potenza sarà sempre positivo, sia se l’esponente è pari, sia se l’esponente è dispari.
Da tutto quanto detto concludiamo che l’unico caso nel quale il risultato dell’operazione di elevazione a potenza è negativo è quando abbiamo base negativa ed esponente dispari.
Consideriamo degli esempi:
\[ \begin{align} (-3)^2=+9;\qquad (+2)^7&=+128; \\ \\ (+2)^2 = +4; \qquad (-3)^3&=-27. \end{align} \]
Esaminiamoli uno ad uno.
\( (-3)^2=+9 \). Il risultato è positivo poiché la base è negativa e l’esponente è pari. Infatti, la potenza può essere riscritta come moltiplicazione tra fattori in quantità pari, ovvero tra due fattori:
\[ (-3)^2=-3 \cdot (-3) = +9 \]
Infatti, meno per meno fa più.
\( (+2)^7=+128 \). Il risultato è positivo poiché la base è positiva. Infatti, la potenza può essere riscritta come moltiplicazione tra fattori tutti positivi per cui il risultato è positivo.
\( (+2)^2 = +4 \). Il risultato è positivo ancora perché la base è positiva. Se la base è positiva il risultato dell’elevazione a potenza sarà sempre positivo, a prescindere che l’esponente sia pari o dispari.
\( (-3)^3=-27 \). Il risultato è negativo poiché la base è negativa e l’esponente è dispari. Infatti, la potenza può essere riscritta come prodotto tra fattori negativi presenti in quantità dispari. Si ha:
\[ (-3)^3=-3 \cdot (-3) \cdot (-3)= -27 \]
Infatti, meno per meno dà più e, a sua volta, più per meno dà meno.
Quadrato e cubo di un numero relativo
E’ in particolare utile ai fini pratici del calcolo algebrico avere bene in mente che:
- il quadrato di un numero relativo è sempre positivo;
- il cubo di un numero relativo è positivo solo se la base è positiva. Se la base è negativa è negativo.
Così avremo:
\[ (+4)^2=+16; \qquad (-4)^2=+16 \]
ma:
\[ (+4)^3 = +64; \qquad (-4)^3 = -64 \]
Quanto appena visto per il quadrato e il cubo di un numero relativo è ovviamente diretta conseguenza delle regole generali per le potenze di numeri relativi. Tuttavia, questi casi particolari sono piuttosto ricorrenti in algebra ed è bene acquisirli con sicurezza fin da subito. 😉
Proprietà delle potenze con base ed esponenti relativi
Le proprietà sono le stesse che abbiamo visto per le potenze con i numeri naturali. Tuttavia, è opportuno riproporle poiché ora abbiamo basi ed esponenti relativi. Ed in particolare, potrà ora verificarsi anche il caso di esponente negativo.
potenze con uguale base
Il prodotto fra potenze di uguale base è pari ad una potenza con la stessa base e con esponente uguale alla somma algebrica degli esponenti.
Ad esempio:
\[ (+2)^{(+5)} \cdot (+2)^{(-2)}= (+2)^{5-2}=2^3=8 \]
\[ (+3)^3 \cdot (+3)^2 = (+3)^{3+2}=(+3)^5=243 \]
Il rapporto tra potenze di uguale base è pari ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti.
Ad esempio:
\[ (+2)^{(+3)}:(+2)^{(+2)}=(+2)^{3-2}=2 \]
\[ (+3)^6:(+3)^2=(+3)^{6-2}=(+3)^4=81 \]
Potenze con uguale esponente
Il prodotto tra potenze di uguale esponente è pari ad una potenza che ha come esponente lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.
Ad esempio:
\[ (+3)^2 \cdot (+5) ^ 2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2 = 225 \]
\[ (-2)^3 \cdot (+3)^3 = (-2 \cdot 3)^3 = -216 \]
Il rapporto tra potenze di uguale esponente è pari ad una potenza avente come esponente lo stesso esponente e come base il rapporto tra le basi.
Ad esempio:
\[ (-24)^2:(-2)^2=[-24:(-2)]^2=(+12)^2=144 \]
\[ (+2)^{5}:(+2)^{-2}=2^{[5-(-2)]}=2^{5+2}=2^{7}=128 \]
Consideriamo infine questo esempio:
\[ 2^2:2^5=2^{2-5}=2^{-3} \]
L’esponente è negativo. Come facciamo a calcolare la potenza \( 2^{-3} \)? Le regola è molto diretta.
Il risultato di una potenza con esponente negativo è pari al reciproco di quella stessa potenza con esponente avente lo stesso valore assoluto ma con segno positivo.
Così avremo:
\[ 2^{-3}=\dfrac{1}{2^3} \]
Potenze di potenze
La potenza di una potenza è una potenza sulla quale viene a sua volta eseguita l’operazione di elevazione a potenza. Ad esempio:
\[ [(+2)^2]^3 \]
Il risultato ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Così nel caso in esame:
\[ [(+2)^2]^3=+2^{2 \cdot 3}=+2^6=64 \]
Osservazione. Possiamo intuitivamente giustificare questa regola osservando che:
\[ (2^2)^3=2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2^{2+2+2}=2^{2 \cdot 3} \]
In generale, prestate sempre molta attenzione. Per le potenze di potenze, bisogna moltiplicare tra loro gli esponenti. Nella moltiplicazione di potenze con uguale base, bisogna sommare gli esponenti. State sempre bene attenti a non confondere mai i due casi. Memorizzate con cura le regole e ricordatevi sempre i ragionamenti dai quali traggono origine, e vedrete che non avrete problemi. 😉
Per quanto riguarda le potenze dei numeri relativi e le loro proprietà direi che per questa lezione è tutto. Ciao a tutti! 🙂