Introdurremo le proprietà delle potenze dei numeri naturali a partire dall’operazione di potenza vista come una particolare moltiplicazione. Pertanto, non ci limiteremo soltanto ad enunciare le varie proprietà delle potenze dei numeri naturali, ma anche a darne un’intuitiva giustificazione. L’obiettivo è quello di fornire una consapevolezza nell’applicazione delle proprietà che vada oltre il semplice meccanismo.
Vediamo allora insieme le proprietà delle potenze dei numeri naturali, come al solito facendo anche esempi.
Un breve richiamo sulle potenze dei numeri naturali
Prima di introdurre le proprietà delle potenze dei numeri naturali, è bene fornire un richiamo del concetto di potenza. Se già ricordate tutto, basta un click per saltare direttamente alle proprietà. 😉
Una moltiplicazione del tipo:
\[ 2 \times 2 \times 2 \]
cioè una moltiplicazione con fattori tutti uguali può essere riscritta come potenza:
\[ 2 \times 2 \times 2=2^3 \]
Il numero \( 2 \) si chiama base, mentre il numero \( 3 \) si chiama esponente. Con tale notazione indichiamo che abbiamo un prodotto di fattori tutti uguali alla base (in questo caso, \( 2 \)), presenti in quantità pari all’esponente (in questo caso, \( 3 \)).
Così, ad esempio, con la scrittura \( 5^3 \) intendiamo tre fattori \( 5 \) moltiplicati tra loro:
\[ 5^3=5 \times 5 \times 5 \]
Ricordiamo che una potenza con esponente pari a zero e base di qualsiasi valore (purché non nulla) vale \( 1 \). Così ad esempio:
\[ 5^0 = 1; \qquad 16^0 = 1; \qquad 77^0=1 \]
Ricordiamo anche che zero elevato ad un qualsiasi esponente non nullo dà come risultato sempre zero:
\[ 0^3=0; \qquad 0^{67} = 0 \]
Infatti tali potenze equivalgono ad un prodotto con fattori tutti nulli ;).
E’ anche utile ricordare che se la base è \( 1 \), a prescindere dall’esponente al quale eleveremo la base otterremo sempre come risultato \( 1 \):
\[ 1^7=1; \qquad 1^{500} = 1 \]
Infine, la scrittura:
\[ 0^{0} \]
è priva di significato. In altri termini non è possibile avere sia la base, sia l’esponente uguali a zero.
Proprietà delle potenze
Supponiamo di essere di fronte ad un prodotto tra potenze o un rapporto tra potenze, ovvero espressioni del tipo:
\[ \dfrac{2^5}{2^3}; \qquad 2^3 \times 2^4; \qquad 2^5 \times 3^5; \qquad \dfrac{7^3}{5^3} \]
In questi casi dobbiamo chiederci due cose:
- le potenze hanno la stessa base?
oppure:
- le potenze hanno lo stesso esponente?
In ciascuna delle due eventualità, ci sarà una proprietà delle potenze da applicare. Vediamo le proprietà nel dettaglio.
PRODOTTO O RAPPORTO FRA POTENZE CON LA STESSA BASE
Il prodotto fra potenze aventi uguale base è dato da una potenza che ha come base la stessa base delle potenze date e come esponente la somma degli esponenti delle potenze date.
Così ad esempio avremo:
\[ 2^5 \times 2^3 = 2^{5+3}=2^8 \]
Otteniamo quindi come risultato una potenza che ha la stessa base delle potenze nel prodotto e come esponente la somma \( 5+3 \), cioè la somma degli esponenti che compaiono nelle potenze del prodotto stesso.
Il rapporto fra potenze aventi uguale base è dato da una potenza che ha come base la stessa base delle potenze date e come esponente la differenza tra l’esponente della potenza a numeratore e l’esponente della potenza a denominatore.
Potremo quindi scrivere ad esempio:
\[ \dfrac{7^5}{7^3}=7^{5-3}=7^2 \]
Le potenze a numeratore e a denominatore hanno infatti la stessa base (\( 7 \)). La potenza a numeratore ha esponente pari a \( 5 \), la potenza a denominatore ha esponente \( 3 \), per cui l’esponente da attribuire al risultato sarà pari a \( 5-3=2 \). La base del risultato è la stessa delle potenze nel rapporto.
PRODOTTO O RAPPORTO FRA POTENZE CON lo stesso esponente
Veniamo ora al caso in cui le potenze abbiano lo stesso esponente.
Il prodotto tra potenze con lo stesso esponente ha come risultato una potenza che ha per esponente lo stesso esponente delle potenze nel prodotto e come base il prodotto delle basi delle potenze stesse.
Così, avremo:
\[ 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 \]
Il rapporto tra potenze con lo stesso esponente ha come risultato una potenza che ha per esponente lo stesso esponente delle potenze nel prodotto e come base il rapporto tra la base della potenza a numeratore e la base della potenza a denominatore.
Così ad esempio avremo:
\[ \dfrac{28^3}{7^3}= \left(\dfrac{28}{7} \right)^3=4^3=64 \]
Perché consideriamo le proprietà delle potenze
L’uso delle proprietà delle potenze consente un calcolo più agevole delle espressioni numeriche contenenti potenze. Con riferimento all’ultimo esempio, è sicuramente più comodo calcolare il rapporto utilizzando le proprietà delle potenze che non senza di esse. Infatti:
\[ \dfrac{28^3}{7^3}=\dfrac{21952}{343}=64 \]
La situazione migliora utilizzando le semplificazioni:
\[ \dfrac{28^3}{7^3}= \dfrac{\cancel{28}^{4} \times \cancel{28}^{4} \times \cancel{28}^{4}}{\cancel{7}^{1} \times \cancel{7}^{1}\times \cancel{7}^{1}}=4 \times 4 \times 4 =64 \]
I conti ora sono facili ma un po’ lunghi. Vediamo quindi che le proprietà delle potenze ci sono di grande aiuto perché consentono di semplificare e snellire i calcoli. 🙂
Nel paragrafo a seguire sono riportate delle giustificazioni intuitive delle proprietà delle potenze. A mio avviso è importante la lettura per avere una migliore padronanza delle proprietà. Tuttavia, chi vuole passare subito all’azione con degli esempi può saltare il paragrafo.
Proprietà delle potenze: perché funzionano?
Vediamo di giustificare in modo intuitivo le proprietà delle potenze. Sarà così più facile ricordarle ed applicarle correttamente.
Ricordiamoci sempre che una potenza è un prodotto di fattori tutti uguali. Questa è la prima chiave per la comprensione dei discorsi che faremo.
Prodotto o rapporto tra potenze di uguale base
Consideriamo il rapporto:
\[ \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} \]
Quanti fattori abbiamo al numeratore? Cinque. E al denominatore? Due. Quanti fattori avrà il risultato? Eseguendo una semplificazione a croce otteniamo facilmente la risposta:
\[ \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2}= \dfrac{\cancel{2} \times \cancel{2} \times 2 \times 2 \times 2}{\cancel{2} \times \cancel{2}}= 2 \times 2 \times 2 \]
Come è immediato osservare, nel risultato sono rimasti tre fattori. La semplificazione ci ha permesso di togliere due fattori al numeratore. Quindi se avevamo cinque fattori nel numeratore e due fattori nel denominatore, dopo la semplificazione ci ritroviamo con \( 5-2=3 \) fattori.
Il numero di fattori di un tale risultato si ottiene sottraendo al numero di fattori presenti a numeratore il numero di fattori presenti a denominatore. Ora, per la definizione di potenza possiamo riscrivere il rapporto di partenza come:
\[ \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2}= \dfrac{2^5}{2^2} \]
E poiché il risultato di tale rapporto, cioè \( 2 \times 2 \times 2 \) si può riscrivere come \( 2^3 \) abbiamo in conclusione:
\[ \dfrac{2^5}{2^2}=2^3 \]
Ritroviamo quindi come risultato una potenza con la stessa base delle potenze nel rapporto e come esponente la differenza tra l’esponente al numeratore e l’esponente al denominatore. Esattamente come ci dice la proprietà delle potenze di uguale base. 😉
Per il prodotto la procedura è del tutto simile e fornisce la stessa conclusione. Ad esempio:
\[ (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \]
e quindi, riscrivendo i prodotti come potenze:
\[ 2^3 \times 2^2 = 2^5 \]
prodotto o rapporto tra potenze di uguale esponente
Consideriamo il rapporto:
\[ \dfrac{2^3}{5^3} \]
Riscriviamo le potenze come prodotti:
\[ \dfrac{2 \times 2\times2} {5 \times 5 \times 5} \]
ovvero:
\[ \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{5} \]
Così, utilizzando la definizione di potenza:
\[ \left( \dfrac{2}{5} \right)^3 \]
In definitiva abbiamo:
\[ \dfrac{2^3}{5^3}= \left( \dfrac{2}{5} \right)^3 \]
E abbiamo così ritrovato proprio quanto ci dice la proprietà che volevamo giustificare. 🙂
Del tutto simile è una procedura di questo tipo applicata al prodotto tra potenze aventi lo stesso esponente. Ad esempio:
\[ 2^3 \times 7^3 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7 \]
Grazie alla proprietà commutativa delle moltiplicazione possiamo scrivere:
\[ 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7 = 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \]
cioè, abbiamo tre fattori \( (2 \times 7) \) moltiplicati tra loro. Quindi, esprimendo il prodotto con le potenze, otteniamo:
\[ 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7=(2 \times 7)^3 \]
e in conclusione possiamo affermare che:
\[ 2^3 \times 7^3=(2 \times 7)^3 \]
Come volevamo ottenere. 😉
Errori da evitare
Ora che sappiamo cosa c’è dietro alle proprietà delle potenze possiamo sicuramente evitare meglio alcuni possibili errori.
Ad esempio, se abbiamo un prodotto o un rapporto di potenze di uguale base, sappiamo che c’è sicuramente di mezzo o una somma o una differenza tra esponenti. Infatti, si tratta di aggiungere o togliere dei fattori. Quindi, dovendo calcolare:
\[ 2 ^3 \times 2^ 4 \]
scriveremo correttamente:
\[ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4}=2^7 \]
e non ci verrà sicuramente in mente di scrivere l’errore gigantesco:
\[ 2^3 \times 2^4 = \cancel{2^{3 \times 4}}= \cancel{2^{12}} \quad \text{NOOOOO!} \]
Esempi (applicazione delle proprietà delle potenze di numeri naturali)
ESEMPIO 1
Calcolare:
\[ \dfrac{2^7}{2^4} \]
Siamo nel caso di rapporto tra potenze con uguale base. Il risultato sarà dato da una potenza con la stessa base delle potenze date avente per esponente la differenza tra l’esponente della potenza a numeratore e l’esponente della potenza a denominatore:
\[ \dfrac{2^7}{2^4}= 2^{7-4}=2^3 \]
ESEMPIO 2
Calcolare:
\[ 20^4 \times 20 ^ 2 \]
Poiché abbiamo un prodotto tra potenze di uguale base, dovremo sommare gli esponenti riscrivendo la stessa base. Si ha:
\[ 20^4 \times 20 ^ 2=20^{4+2}=20^6 \]
ESEMPIO 3
\[ 2^4 \times 2^4 \]
Ora abbiamo un prodotto tra potenze con stessa base e anche stesso esponente. Nessun problema – vuol dire che avendo le contemporanea sussistenza di entrambe le casistiche, potremo utilizzare a nostra scelta o l’una o l’altra proprietà. Considerando il prodotto dato come prodotto tra potenze con la stessa base abbiamo:
\[ 2^4 \times 2^4 = 2^{4+4}=2^8 = 256\]
Considerando invece il prodotto dato come prodotto tra potenze aventi uguale esponente:
\[ 2^4 \times 2^4 = (2 \times 2)^4 = 4^4 = 256 \]
In entrambi i casi otteniamo lo stesso risultato.
ESEMPIO 4
Calcolare:
\[ \dfrac{3^7}{3^7} \]
Anche qui potremmo applicare due diverse proprietà (rapporto di potenze di uguale base o rapporto di potenze di uguale esponente). Tuttavia, è immediato osservare che abbiamo un rapporto tra quantità uguali e possiamo direttamente scrivere:
\[ \dfrac{3^7}{3^7}=1 \]
L’applicazione delle proprietà delle potenze per i numeri naturali ci conferma comunque il risultato. Infatti abbiamo:
\[ \dfrac{3^7}{3^7}= 3^{7-7}=3^0=1 \]
e:
\[ \dfrac{3^7}{3^7}=\left(\dfrac{3}{3} \right)^7=1^7=1 \]
Esempio 5
\[ 13^2 \times 3^2 \]
Siamo in presenza di un prodotto di potenze con uguale esponente. Il risultato sarà una potenza avente lo stesso esponente e con base pari al prodotto delle basi delle potenze date. Si ha:
\[ 13^2 \times 3^2=(13 \times 3)^2=39^2=1521 \]
Esempio 6
Vediamo una piccola espressione:
\[ (3^5:3^2)\times (4^5:2^3) \]
Osserviamo che per il termine \( 4^5:2^3 \) non c’è alcuna proprietà delle potenze da applicare. Infatti abbiamo sia basi, sia esponenti diversi tra loro. Possiamo però operare un raccoglimento di alcuni fattori in modo da rendere più leggero il calcolo, come mostrato a seguire.
Le parentesi ci indicano chiaramente l’ordine da seguire per i calcoli. Abbiamo:
\[ \begin{align}&(3^5:3^2)\times (4^5:2^3)=3^{5-2} \times \dfrac{4^5}{2^3}=3^{3} \times \dfrac{4 \times 4 \times4^3}{2 \times 2\times 2}= \\ \\ &= 3^{3} \times \dfrac{\cancel{4 }^{\displaystyle 2}\times \cancel{4}^{\displaystyle 2 } \times4^3}{\cancel{2}^{\displaystyle 1} \times \cancel{2}^{\displaystyle 1}\times 2}=3^3 \times 4 \times \dfrac{4^3}{2}= \\ \\ & =27 \times \cancel{4}^{\displaystyle 2} \times \dfrac{64}{\cancel{2}^{\displaystyle 1}}=54 \times 64 = \\ \\ & = 54 \times (60+4) = 54 \times 60 + 54 \times 4 = 3456 \end{align} \]
All’inizio abbiamo raccolto dei fattori nella potenza \( 4^5 \) riscrivendola come \( 4 \times 4 \times 4^3 \). In questo modo ci è poi stato possibile eseguire delle semplificazioni incrociate. Abbiamo così evitato di calcolare direttamente la potenza \( 4^5 \) e di portarci dietro numeri grandi nei calcoli.
Con questo ultimo esempio abbiamo fatto un piccolo riepilogo del calcolo delle espressioni numeriche e dell’uso delle proprietà delle operazioni per rendere più leggeri i conti. In particolare, negli ultimi passaggi abbiamo usato la proprietà dissociativa dell’addizione e la proprietà distributiva della moltiplicazione per eseguire comodamente il prodotto \( 54 \times 64 \) evitando la moltiplicazione in colonna. 😉
Qui si conclude questa importante lezione sulle proprietà delle potenze dei numeri naturali. Nella prossima lezione vedremo come calcolare le potenze di frazioni e in generale come lavorare con le frazioni con potenze. Ciao a tutti! 🙂