Senza ulteriori indugi, vediamo come calcolare le potenze di frazioni nei vari casi. Considereremo in questa lezione esponenti naturali.
Potenza di tutta la frazione
Sia da calcolare la potenza:
\[ \left(\dfrac{2}{4} \right)^2 \]
Con la scrittura intendiamo la potenza di tutta la frazione.
Il calcolo della potenza di una frazione si esegue elevando all’esponente dato entrambi il numeratore e il denominatore.
Abbiamo quindi:
\[ \left(\dfrac{2}{7} \right)^2=\dfrac{2^2}{7^2}=\dfrac{4}{49} \]
Potenza del numeratore o del denominatore di una frazione
Poiché una frazione numerica è un rapporto tra numeri interi, è ovviamente possibile calcolare la potenza anche soltanto di uno di questi numeri. Per cui potremo calcolare la potenza del solo numeratore di una frazione:
\[ \dfrac{3^2}{9}=\dfrac{9}{9}=1 \]
o la potenza del solo denominatore:
\[ \dfrac{4}{5^2}=\dfrac{16}{25} \]
Tutto dipende, ovviamente, da quanto ci è richiesto da calcolare nel dato problema che stiamo risolvendo.
Proprietà delle potenze nel caso delle frazioni
Le proprietà che abbiamo visto nella precedente lezione si ripresentano allo stesso modo anche per le frazioni con potenze.
In particolare, avremo il caso del prodotto fra potenze di frazioni aventi la stessa base:
\[ \left(\dfrac{1}{3} \right)^2 \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^5=\left(\dfrac{1}{3} \right)^7 \]
Inoltre, il caso del rapporto di potenze di frazioni ancora aventi la stessa base:
\[ \left(\dfrac{2}{5} \right)^3 :\left(\dfrac{2}{5} \right)^2=\dfrac{2}{5} \]
Abbiamo poi il caso del prodotto di potenze di frazioni con stesso esponente:
\[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \times \left(\dfrac{5}{3} \right)^2=\left(\dfrac{3 \times 5}{4 \times 3} \right)^2=\left(\dfrac{\cancel{3} \times 5}{4 \times \cancel{3}} \right)^2=\dfrac{25}{16} \]
E per finire, il rapporto di potenze con stesso esponente:
\[ \left(\dfrac{12}{5}\right)^2: \left(\dfrac{3}{8}\right)^2=\left(\dfrac{12}{5} : \dfrac{3}{8} \right)^2=\left(\dfrac{\cancel{12}^{\small \displaystyle4}}{5} \times \dfrac{8}{\cancel{3}} \right)^2=\left(\dfrac{32}{5} \right)^2=\dfrac{1024}{25} \]
Abbiamo così fatto la conoscenza delle principali tecniche per calcolare le potenze di frazioni (con esponenti naturali). Per gli esercizi correlati, è disponibile questa esercitazione.
Siamo ora pronti per fare la conoscenza delle espressioni con frazioni numeriche. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂