Gli esercizi sulle potenze di frazioni richiedono soltanto di ricordarsi una semplice regola: la potenza di una frazione si ottiene elevando all’esponente dato sia il numeratore, sia il denominatore della frazione. Ad esempio:
\[ \left( \dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{3^2}{4^2}=\dfrac{9}{16} \]
Come possiamo vedere, abbiamo calcolato in questo caso il quadrato sia del numeratore, sia del denominatore. Le parentesi tonde infatti indicano che l’esponente si riferisce all’intera frazione.
Invece, una scrittura del tipo:
\[ \dfrac{2^2}{3} \]
indica chiaramente che dobbiamo calcolare la potenza del solo numeratore. In questo caso non abbiamo cioè una potenza di una frazione ma il rapporto tra una potenza e un numero. 😉
Vediamo un paio di ulteriori esempi sulle potenze di frazioni, tanto per fissare meglio il procedimento.
\[ \left(\dfrac{5}{3} \right)^2=\dfrac{25}{9} \]
\[ \left(\dfrac{1}{2} \right)^5=\dfrac{1}{32} \]
Esercizio 1
Calcolare le seguenti espressioni:
\[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^{50}:\left(\dfrac{3}{4} \right)^{49} \]
\[ \left(\dfrac{3}{2} \right)^{17}:\left(\dfrac{3}{2} \right)^{14} \]
Osserviamo che queste espressioni possono essere calcolate molto rapidamente utilizzando le proprietà delle potenze. Infatti abbiamo rispettivamente:
\[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^{50}:\left(\dfrac{3}{4} \right)^{49}=\left(\dfrac{3}{4} \right)^{50-49}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^1=\dfrac{3}{4} \]
\[ \left(\dfrac{3}{2} \right)^{17}:\left(\dfrac{3}{2} \right)^{14}=\left(\dfrac{3}{2} \right)^{17-14}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{27}{8} \]
E’ importante in questi casi utilizzare le proprietà delle potenze. Evitiamo in questo modo di dover calcolare potenze che darebbero origine a numeri davvero grandi. Se avessimo infatti calcolato le potenze delle frazioni per poi dividerle tra loro avremmo ottenuto ad esempio nel primo caso:
\[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^{50}:\left(\dfrac{3}{4} \right)^{49} = \dfrac{3^{50}}{4^{50}}:\dfrac{3^{49}}{4^{49}}=\tiny \dfrac{717897987691852588770249} {1267650600228229401496703205376}:\dfrac{239299329230617529590083}{316912650057057350374175801344}= \small \dfrac{3}{4} \]
Non molto comodo vero? 😉
ESERCIZIO 2
\[ \left(2+\dfrac{3}{4} \right)^2 \]
Calcoliamo l’addizione entro le parentesi per poi calcolare la potenza:
\[ \left(2+\dfrac{3}{4} \right)^2=\left(\dfrac{8+3}{4}\right)^2=\left(\dfrac{11}{4} \right)^2=\dfrac{121}{16} \]
Esercizio 3
\[ \left(1+\dfrac{2}{5} \right)^3 \]
L’esercizio è molto simile al precedente:
\[ \left(1+\dfrac{2}{5} \right)^3=\left(\dfrac{5+2}{5} \right)^3=\left( \dfrac{7}{5}\right)^3=\dfrac{343}{125} \]
ESERCIZIO 4
\[ \left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{2} \right)^2 \]
Nulla di nuovo, ci ritroviamo soltanto con un’ulteriore operazione dentro le parentesi:
\[ \left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{2} \right)^2=\left( \dfrac{50+6-45}{30}\right)^2=\left(\dfrac{11}{30} \right)^2=\dfrac{121}{900} \]
ESERCIZIO 5
Vediamo un’espressione un po’ più complessa. 🙂
\[ \left[\left(1-\dfrac{1}{4} \right)\times\dfrac{2}{3} \right]^2:\left[\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{14}{15}\times\dfrac{15}{8} \right)\times \dfrac{9}{5} \right]^2 \]
Prima di iniziare qualsiasi calcolo, diamo attentamente un’occhiata all’espressione e vediamo quali sono le prime cose da fare.
Cominciamo dalle parentesi tonde. Nella prima coppia di parentesi abbiamo una semplice sottrazione che ormai dovremmo saper fare a mente (se ad una torta togliamo un quarto quanta torta rimane?). Nella seconda coppia di parentesi tonde abbiamo delle sottrazioni ed un prodotto. Stiamo molto attenti qui. E’ in qualche modo invitante precipitarsi a fare entrambe le sottrazioni e poi eseguire il prodotto… niente di più sbagliato. 😉 Non lasciamoci ingannare. Dobbiamo ragionare attentamente sulle regole di precedenza tra le operazioni. In particolare, ricordiamo sempre che la moltiplicazione ha la precedenza sulle addizioni e le sottrazioni, a prescindere dall’ordine nel quale le operazioni si presentano. Ovviamente, stiamo parlando all’interno delle parentesi o comunque in assenza di esse.
Per cui, la prima operazione che dobbiamo fare nella seconda coppia di parentesi è la moltiplicazione:
\[ \dfrac{14}{15}\times\dfrac{15}{8} \]
E converrà eseguirla usando le semplificazioni incrociate ;). Abbiamo quindi:
\[ \begin{align}&\left[\left(1-\dfrac{1}{4} \right)\times\dfrac{2}{3} \right]^2:\left[\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\cancel{14}^{\small \displaystyle7}}{\cancel{15}}\times\dfrac{\cancel{15}}{\cancel{8}_{\small \displaystyle4}} \right)\times \dfrac{9}{5} \right]^2 = \\ \\ & = \left[ \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{4}_{\small \displaystyle2}}\times \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \right]^2:\left[\left(\dfrac{30-4-21}{12} \right)\times\dfrac{9}{5} \right]^2= \\ \\ & = \dfrac{1}{4}:\left[\dfrac{5}{4}\times\dfrac{3}{5} \right]^2=\\ \\ & = \dfrac{1}{4}:\left[\dfrac{3}{4} \right]^2= \\ \\ & = \dfrac{1}{4}:\dfrac{9}{16}= \\ \\ & = \dfrac{1}{4}\times\dfrac{16}{9}= \dfrac{4}{9}\end{align} \]
NOTA: consideriamo ancora la seconda coppia di parentesi tonde, all’inizio. A rigore, precisiamo che avremmo anche potuto eseguire, insieme alla moltiplicazione, la sola sottrazione \( \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3} \), ottenendo comunque un risultato corretto.
Qui si concludono gli esercizi sulle potenze di frazioni. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂