Ci occupiamo ora di esercizi sulle espressioni con le frazioni con quattro operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Per quanto riguarda le potenze, queste sono trattate in esercitazioni a parte.
Per affrontare questi esercizi sulle espressioni con le frazioni con quattro operazioni è opportuno ricordare delle semplici regole:
- in assenza di parentesi o all’interno delle parentesi, le moltiplicazioni e le divisioni hanno sempre la precedenza sulle addizioni e le sottrazioni;
- in presenza di sole addizioni e sottrazioni o sole moltiplicazioni e divisioni, in assenza di parentesi o all’interno delle parentesi le operazioni vanno eseguite nell’ordine in cui si trovano, da sinistra verso destra;
- le parentesi più interne vanno calcolate prima di quelle più esterne (prima le tonde, poi le quadre, poi le graffe);
- è opportuno ridurre prontamente le frazioni ai minimi termini ed eseguire semplificazioni incrociate nei prodotti non appena ciò è possibile, in modo da rendere più agevoli i calcoli successivi.
Se avete bisogno di ulteriori chiarimenti, sono disponibili le seguenti lezioni:
Esercizio 1
\[ \left(\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{6} \right):\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{3}{4} \right) \]
Cominciamo dalle parentesi tonde. 🙂 Al loro interno abbiamo solo addizioni e sottrazioni, per cui eseguiamo le operazioni nell’ordine nel quale si presentano. Una volta eliminate le parentesi tonde (cioè terminati i calcoli al loro interno), procederemo con la divisione tra frazioni. Non abbiamo frazioni da ridurre ai minimi termini, quindi procediamo direttamente con i calcoli.
\[ \begin{align} &\left(\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{6} \right):\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{3}{4} \right)= \\ \\ & = \left(\dfrac{15+5}{6} \right):\left( \dfrac{8+5-9}{12}\right)= \\ \\ & = \dfrac{20}{6}:\dfrac{4}{12}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{20}^{\small \displaystyle5}}{\cancel{6}} \times \dfrac{\cancel{12}^{\small \displaystyle2}}{\cancel{4}}= 10 \: \: \end{align} \]
ESERCIZIO 2
\[ \left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}-1 \right):\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2} \right) \]
L’esercizio è del tutto simile al precedente. Si ha:
\[ \begin{align}&\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}-1 \right):\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2} \right) = \\ \\ & = \left(\dfrac{8+9-12}{12} \right) :\left(\dfrac{8+3-6}{12} \right)= \\ \\ & = \dfrac{5}{12}:\dfrac{5}{12}= 1\end{align} \]
Osserviamo che arriviamo direttamente al risultato della divisione tra frazioni nell’ultimo passaggio. Infatti, la due frazioni sono uguali per cui il loro quoziente è ovviamente l’unità. 🙂
ESERCIZIO 3
Vediamo ora un esercizio un po’ più complicato. Niente di particolarmente difficile in realtà. L’unica cosa che cambia è che ora abbiamo all’interno delle parentesi tonde non solo addizioni e sottrazioni, ma anche moltiplicazioni. Tuttavia, seguendo le regole richiamate all’inizio non avremo problemi. 😉
\[ \left(\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{6}\times\dfrac{1}{2} -\dfrac{88}{15}\times\dfrac{3}{22}\right):\left(2+\dfrac{1}{7}-\dfrac{12}{16}-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{11}{7} \right) \]
Conviene eseguire fin da subito le semplificazioni incrociate nei prodotti. In tal modo, ci ritroveremo poi con calcoli più semplici.
\[ \begin{align}&\left(\dfrac{\cancel{4}^{\small \displaystyle2}}{\cancel{9}_{\small \displaystyle3}}\times\dfrac{\cancel{3}}{\cancel{2}}+\dfrac{7}{6}\times\dfrac{1}{2} -\dfrac{\cancel{88}^{\small \displaystyle4}}{\cancel{15}_{\small \displaystyle5}}\times\dfrac{\cancel{3}^{\small \displaystyle1}}{\cancel{22}_{\small \displaystyle1}}\right):\left(2+\dfrac{1}{7}-\dfrac{\cancel{12}^{\small \displaystyle\cancel{6}^{\small \displaystyle3}}}{\cancel{16}_{\small \displaystyle\cancel{8}_{\small \displaystyle4}}}-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{11}{7} \right)= \\ \\ & = \left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{12}-\dfrac{4}{5} \right):\left( 2+\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{33}{35}\right) = \\ \\ & = \left(\dfrac{40+35-48}{60} \right):\left(\dfrac{280+20-105-132}{140} \right)= \\ \\ & = \left(\dfrac{\cancel{27}^{\small \displaystyle9}}{\cancel{60}^{\small \displaystyle20}} \right):\left(\dfrac{63}{140} \right) = \\ \\ & = \dfrac{9}{20}:\dfrac{63}{140}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{9}}{\cancel{20}_{\small \displaystyle\cancel{2}}} \times\dfrac{\cancel{140}^{\small \displaystyle\cancel{14}^{\small \displaystyle\cancel{2}}}}{\cancel{63}_{\small \displaystyle\cancel{9}} }= 1\end{align} \]
Esercizio 4
\[ \left[\left(\dfrac{3}{8}\times2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \right):\left(\dfrac{10}{9}\times\dfrac{3}{4} -\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{4}\right) +\dfrac{3}{5}\right]:\left[\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3} \right):\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \right) \right] \]
Anche qui conviene eseguire delle semplificazioni incrociate (nelle moltiplicazioni) e poi procedere nei calcoli:
\[ \small \begin{align}&\left[\left(\dfrac{3}{\cancel{8}_{\small \displaystyle4}}\times\cancel{2}^{\small \displaystyle1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \right):\left(\dfrac{\cancel{10}^{\small \displaystyle5}}{\cancel{9}_{\small \displaystyle3}}\times\dfrac{\cancel{3}^{\small \displaystyle1}}{\cancel{4}_{\small \displaystyle2}} -\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{3}{5} \right]:\left[\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3} \right):\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \right) \right]= \\ \\ & = \left[\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right):\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{4} \right)+\dfrac{3}{5} \right]:\left[\left( \dfrac{9-8}{12}\right):\left(\dfrac{3+8-6}{12} \right) \right]= \\ \\ & = \left[\left(\dfrac{9+6-4}{12} \right):\left(\dfrac{20-3+18}{24}\right) +\dfrac{3}{5} \right]:\left[\dfrac{1}{12}:\dfrac{5}{12} \right] = \\ \\ & = \left[\dfrac{\cancel{7}^{\small \displaystyle1}}{\cancel{12}_{\small \displaystyle1}}\times\dfrac{\cancel{24}^{\small \displaystyle2}}{\cancel{35}_{\small \displaystyle5}} +\dfrac{3}{5}\right]:\dfrac{1}{5} = \\ \\ & = \left[\dfrac{2}{5} +\dfrac{3}{5}\right]:\dfrac{1}{5}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{5}}{\cancel{5}}:\dfrac{1}{5}=1 \times 5 = 5 \end{align} \]
Con questo terminiamo gli esercizi relativi alle espressioni con le frazioni con quattro operazioni. Ciao a tutti! 🙂