Ricordiamo brevemente che per eseguire la moltiplicazione tra monomi basterà moltiplicare tra loro le rispettive parti numeriche e letterali. Nel moltiplicare le parti letterali, bisognerà applicare le proprietà delle potenze. Così, dovremo sommare tra loro gli esponenti di una stessa lettera.
Per non sbagliare e avere sempre ben chiaro che dobbiamo sommare gli esponenti, ricordiamoci ad esempio che eseguendo la moltiplicazione tra due fattori letterali e tre fattori letterali, otterremo come risultato un prodotto composto da \( 2+3=5 \) fattori. Così ad esempio \( ab \cdot cde = abcde \).
Se abbiamo lettere in comune tra i monomi da moltiplicare (come quasi sempre succede), useremo le proprietà delle potenze:
\[ a^2b \cdot a^3b^2=a^{2+3}\cdot b^{1+2}=a^5b^3 \]
Così, nel primo monomio abbiamo tre fattori letterali (infatti \( a^2b=a \cdot a \cdot b \)), mentre nel secondo monomio abbiamo cinque fattori letterali (
Abbiamo così sommato gli esponenti. L’errore da evitare è quello di confondersi e moltiplicare tra loro gli esponenti. Quindi, attenzione. 😉
Un altro errore da evitare è quello di confondersi con le regole dell’addizione tra monomi e scrivere ad esempio:
\[ 2ab \cdot 3ab = \cancel{6ab} \quad \text{NO!} \]
Mentre per l’addizione sommiamo tra loro monomi simili attribuendo al risultato quella stessa parte letterale, nella moltiplicazione non ci interessa il fatto che i monomi siano simili o meno. In ogni caso dovremo comunque moltiplicare i fattori letterali tra loro. Quindi, la moltiplicazione correttamente eseguita sarà, ovviamente:
\[ 2ab \cdot 3ab=6a^2b^2 \]
Esercizio 1
\[ a^2b \cdot (-a^3b^2c) \]
Abbiamo il prodotto tra i monomi \( a^2b \) e \( -a^3b^2c \). La parte numerica del primo monomio non si vede ma c’è, ed è \( 1 \). Anche la parte numerica del secondo monomio è “nascosta”, ed è invece pari a \( -1 \). Così, la parte numerica del risultato sarà il prodotto delle due parti numeriche dei monomi: \( 1 \cdot (-1) = \boxed{-1} \).
Veniamo ora al prodotto delle parti letterali.
La lettera \( a \) compare nel prodotto con gli esponenti \( 2 \) (primo monomio) e \( 3 \) (secondo monomio). Eseguendo la somma degli esponenti, otteniamo \( 2+3=5 \). Così, nel risultato della moltiplicazione avremo intanto il fattore letterale \(\boxed{a^5} \).
Per quanto riguarda la lettera \( b \), abbiamo esponente \( 1 \) nel primo monomio (ricordiamo, l’esponente \( 1 \) non è esplicitamente indicato, ma c’è) ed esponente \( 2 \) nel secondo monomio. La somma degli esponenti è quindi pari a \( 3 \). Così, per il risultato del prodotto avremo anche il fattore letterale \(\boxed{b^3} \).
Infine, veniamo alla restante lettera (\( c \)). Questa è presente soltanto nel secondo monomio, per cui ci limiteremo a riscriverla così come è nella parte letterale del risultato. Così, per concludere avremo per il risultato anche il fattore letterale \( \boxed{c} \).
Ora non ci resta che moltiplicare tra loro la parte numerica ottenuta per il risultato con i fattori letterali via via scritti. Otterremo così il risultato del prodotto tra i monomi dati:
\[ -1 \cdot a^5b^3c \]
Non si è soliti indicare esplicitamente una parte numerica con valore assoluto pari a \( 1 \). In questo caso ci limiteremo quindi a porre soltanto un segno meno davanti al monomio:
\[ -a^5b^3c \]
Ovviamente pur potendo togliere il valore assoluto \( 1 \), il segno meno deve essere lasciato obbligatoriamente. 😉
Così, in definitiva, concludiamo che:
\[ a^2b \cdot (-a^3b^2c)=-a^5b^3c \]
NOTA: tenete ben presente che un meno davanti ad un’espressione letterale sottintende una moltiplicazione per \( -1 \). E’ un piccolo dettaglio che però vi sarà molto utile nel prosieguo dei vostri studi. 😉
Osserviamo inoltre che, con l’esperienza, potremo evitare di considerare esplicitamente le parti numeriche \( 1 \) e \( -1 \). Infatti, basterà semplicemente attribuire i segni di tali parti numeriche ai primi fattori letterali di ciascun monomio, senza considerare in modo esplicito le parti numeriche stesse:
\[ a^2b \cdot (-a^3b^2c)= +a^2 \cdot (-a^3) \cdot b \cdot b^2 \cdot c = -a^5b^3c \]
Ovviamente, il segno \( + \) nel primo fattore letterale può essere sottinteso.
Esercizio 2
\[ ab^3c^5 \cdot 2a^2c \]
Ora che abbiamo capito le regole per gli esercizi sulla moltiplicazione tra monomi procederemo in modo più rapido. 😉
Il prodotto delle parti numeriche dei monomi è \( 1 \cdot 2 = \boxed{2} \).
Per la lettera \( a \), avremo per il risultato il fattore \( a^{1+2}=\boxed{a^3}\).
Proseguendo, per la lettera \( b \) avremo il fattore \( \boxed{b^3} \) (la lettera \( b \) compare solo nel primo monomio).
Infine, per la lettera \( c \) avremo il fattore \( c^{5+1}=\boxed{c^6} \).
Avremo così, in conclusione:
\[ ab^3c^5 \cdot 2a^2c =2a^3b^3c^6 \]
Esercizio 3
\[ 5ab^5 \cdot (-4c^3) \]
Abbiamo:
\[ 5ab^5 \cdot (-4c^3)=[5 \cdot (-4)]ab^5c^3=-20ab^5c^3 \]
Esercizio 4
\[ -7ab \cdot (-5 ab) \]
Qua dobbiamo stare attenti a non confonderci con la regola dell’addizione. A noi non importa che i due monomi siano simili, poiché stiamo moltiplicando. 😉 Il risultato non avrà dunque la stessa parte letterale dei monomi di partenza! Quindi abbiamo:
\[ -7ab \cdot (-5 ab)=[-7 \cdot (-5)]a^2b^2=35a^2b^2 \]
Il risultato è positivo poiché, per la regola dei segni, meno per meno dà più.
Esercizio 5
\[ -24a^2b^2c^3 \cdot (-2a^2b^5) \]
Si ha:
\[ -24a^2b^2c^3 \cdot (-2a^2b^5)=48a^4b^7c^3 \]
Anche in questo caso, ricordiamoci la regola del segno sulle moltiplicazioni per quanto riguarda la parte numerica. 😉
Esercizio 6
Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi sulla moltiplicazione tra monomi:
\[ (7\cdot a \cdot 5\cdot c \cdot b) \cdot (2 \cdot a \cdot 4 \cdot b) \]
Qua i monomi non sono ridotti in forma normale, ed è proprio il caso di fare ordine. Riduciamo in forma normale, anzitutto, ciascun monomio entro le parentesi:
\[ 35abc \cdot 8ab \]
Ora possiamo calcolare il prodotto:
\[ 35abc \cdot 8ab=280a^2b^2c \]
NOTA: rimarchiamo ancora una volta la differenza tra le regole di addizione tra monomi e moltiplicazione tra monomi:
\[ 5ab+2ab=7ab \]
\[ 5ab \cdot 2ab = 10 a^2b^2 \]
Mentre nell’addizione tra monomi simili il risultato ha la stessa parte letterale di ciascun monomio dato, negli esercizi sulla moltiplicazione tra monomi nulla importa se i monomi sono simili. Comunque il risultato avrà come parte letterale il prodotto di tutti i fattori letterali dei monomi di partenza.
Per gli esercizi sulla moltiplicazione tra monomi è tutto. Per chi vuole ulteriormente mettere alla prova le proprie capacità, è disponibile un’esercitazione su espressioni con addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni tra monomi. Ciao a tutti! 🙂