Vedremo poi le proprietà della moltiplicazione tra numeri relativi.
Moltiplicazione di due numeri relativi
Supponiamo di dover eseguire la seguente moltiplicazione tra due numeri relativi:
\[ (-2) \times (+7) \]
Anzitutto, la moltiplicazione tra numeri relativi può indicarsi anche con un puntino:
\[ (-2) \cdot (+7) \]
La regola per eseguire una tale moltiplicazione è la seguente.
Il prodotto di due numeri relativi è pari al prodotto dei valori assoluti con segno positivo se i due numeri dati sono concordi, con segno negativo se i due numeri dati sono discordi.
In altri termini, il prodotto di due numeri relativi sarà positivo soltanto se entrambi i fattori di partenza sono positivi o entrambi negativi. Sarà negativo nei rimanenti casi.
Così nel nostro caso, avremo:
\[ (-2) \cdot (+7) = -14 \]
Infatti, il valore assoluto di \( -2 \) è \( 2 \), mentre il valore assoluto di \( +7 \) è \( 7 \). Il prodotto di questi valori assoluti è \( 14 \). Inoltre, i fattori dati sono discordi, ovvero hanno segno diverso. Infatti, \( -2 \) è positivo mentre \( +7 \) è negativo. Di conseguenza, dovremo attribuire al prodotto segno meno. Di qui il risultato ottenuto. 😉
Abbiamo così enunciato la regola dei segni per il prodotto. L’idea è quella di immaginare di moltiplicare tra loro i segni di ciascun fattore, ottenendo così come risultato il segno da attribuire al prodotto.
Possiamo riassumere la regola dei segni con la seguente tabella:
Per cui, possiamo eseguire una moltiplicazione fra numeri relativi anche in questo modo: moltiplichiamo tra loro i valori assoluti dei fattori, “moltiplichiamo” tra loro i segni dei fattori stessi, mettiamo insieme il numero e il segno così ottenuti ed abbiamo il risultato. 🙂
Esempi
ESEMPIO 1
\[ (-7) \cdot (+5) \]
Prodotto dei valori assoluti:
\[ 7 \times 35 = 35 \]
Il segno del prodotto dei numeri relativi dati sarà meno poiché questi sono discordi (segno differente tra loro). Si ha così:
\[ (-7) \cdot (+5)=-35 \]
Infatti, dalla regola dei segni per la moltiplicazione, “meno per più dà meno”.
ESEMPIO 2
Calcolare:
\[ (-12) \cdot (-3) \]
I fattori dati sono concordi (sono entrambi negativi), per cui il prodotto avrà segno più.
Il prodotto dei valori assoluti è pari a \( 12 \times 3= 36 \).
Mettendo insieme le due informazioni abbiamo:
\[ (-12) \cdot (-3)=+36 \]
Infatti, per la regola dei segni, “meno per meno dà più”.
ESEMPIO 3
Calcolare:
\[ (+35) \cdot (+2) \]
I fattori dati sono concordi, per cui il risultato sarà positivo.
Inoltre, il prodotto dei valori assoluti è pari a \( 35 \times 2 = 70 \).
Di conseguenza:
\[ (+35) \cdot (+2)=+70 \]
Per la regola dei segni, infatti, “più per più dà più”.
Inoltre, facendo corrispondere i numeri relativi positivi ai numeri naturali, è chiaro che il risultato in questo caso può essere semplicemente calcolato con le regole dei numeri naturali.
Moltiplicazione fra più di due numeri relativi
Introduciamo la seguente regola.
Il prodotto tra più numeri relativi è pari al prodotto tra i valori assoluti di ciascun fattore dato, con segno più se i fattori negativi sono in numero pari, con segno meno se i fattori negativi sono in numero dispari.
Così ad esempio nel prodotto:
\[ (-2) \cdot (+7) \cdot (+5)\cdot (-6) \cdot (-4) \]
i fattori negativi sono tre, il numero \( 3 \) è dispari e di conseguenza il prodotto tra i fattori assegnati sarà negativo:
\[(-2) \cdot (+7) \cdot (+5)\cdot (-6) \cdot (-4)= -1680 \]
Invece nella moltiplicazione:
\[ (-4) \cdot (-6) \cdot (+7) \]
i fattori negativi sono due, ovvero sono in numero pari, pertanto il prodotto sarà positivo. Si ha:
\[ (-4) \cdot (-6) \cdot (+7)= +168 \]
E’ anche possibile determinare il prodotto tra più di due numeri relativi utilizzando la proprietà associativa (valida come vedremo anche per la moltiplicazione tra numeri relativi). In altre parole possiamo moltiplicare il primo fattore dato per il secondo, moltiplicare quindi il risultato ottenuto per il terzo fattore, moltiplicare a sua volta il risultato ottenuto per il quarto fattore e così via. Il metodo è più lento quando si hanno molti numeri ma può essere utile all’inizio per chiarirsi le idee. Ad esempio:
\[ (-2) \cdot (-6) \cdot (+7)= (+12) \cdot (+7)=+84 \]
Proprietà della moltiplicazione tra numeri relativi
Valgono per la moltiplicazione tra numeri relativi proprietà simili a quelle della moltiplicazione tra numeri naturali. In particolare, abbiamo ancora le proprietà commutativa, associativa e dissociativa, per le quali non ci sono particolari osservazioni in più da fare.
Nel caso della proprietà distributiva, è da rilevare che nel caso dei numeri relativi questa è definita rispetto alla somma algebrica.
Una somma algebrica è una somma di termini che possono essere positivi o negativi. Ad esempio, la seguente è una somma algebrica:
\[ (+7)+(-2)+(4)+(+4) \]
ovviamente gli addendi possono essere indifferentemente positivi o negativi, e comunque addizioni con addendi tutti positivi o tutti negativi saranno comunque somme algebriche. Più in generale dunque una somma algebrica è un’addizione tra numeri relativi.
Ora, la moltiplicazione tra numeri relativi presenta la proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica. In altri termini, se abbiamo un fattore moltiplicato per una somma algebrica, possiamo distribuire quel fattore moltiplicandolo a ciascun addendo della somma algebrica. Ad esempio:
\[ \begin{align}&+3 \cdot [(+3)+(-5)+(-7)+(-2)]=\\ \\ & =(+3)\cdot (+3)+(+3)\cdot (-5)+(+3) \cdot (-7)+(+3)\cdot (-2) \end{align} \]
Prodotto per -1
La moltiplicazione di un numero per \( -1 \) ha per prodotto il suo opposto. Così ad esempio:
\[ (+65) \cdot (-1) = -65 \]
La moltiplicazione di una somma indicata per \( -1 \) ha come risultato una somma indicata con addendi tutti opposti a quelli della somma indicata di partenza.
Si ha ad esempio:
\[ [(+7) + (-4) + (-5)] \cdot (-1) = (-7)+(+4)+(+5)= -7+4+5 \]
Regole per la semplificazione della scrittura nella moltiplicazione
Sebbene da un punto di vista didattico un uso molto accentuato delle parentesi sia utile nella fase iniziale di apprendimento, una volta chiari i procedimenti da seguire per le moltiplicazioni sarà bene ridurre l’uso delle parentesi stesse.
Così, osserviamo prima di tutto che in un prodotto tra fattori è sempre possibile togliere le parentesi e il segno ad un fattore positivo.
Inoltre, sarà possibile togliere le sole parentesi ai fattori negativi quando questi non sono preceduti dal segno di moltiplicazione.
Avremo ad esempio:
\[ \begin{align} (-2) \cdot (+7) &= -2 \cdot 7 \\ \\ (+7) \cdot (+5) &= 7 \cdot 5; \\ \\ (-3) \cdot (-4) \cdot (+7) \cdot (-50) &= -3 \cdot (-4) \cdot 7 \cdot (-50)\end{align} \]
Osserviamo che non potremo mai togliere il segno ad un fattore negativo, mentre nei fattori positivi il segno può essere sottointeso. Questa regola vale per i numeri relativi in generale. Così, i numeri nei quali non c’è un segno sono positivi, i numeri nei quali vi è un segno meno sono negativi.
Questa lezione sulla moltiplicazione tra numeri relativi termina qua. Nella prossima lezione parleremo della divisione tra numeri relativi. Ciao! 🙂