Dopo aver visto l’addizione tra numeri relativi è arrivato il momento di vedere la sottrazione tra numeri relativi e le sue proprietà. L’aver compreso l’addizione tra numeri relativi è importante per poter comprendere in modo agevole la sottrazione tra numeri relativi.
Come vedremo, come per l’addizione tra numeri relativi anche la sottrazione tra numeri relativi presenta proprietà del tutto simili a quelle della sua controparte tra numeri naturali.
Introduzione
Supponiamo di avere debiti complessivi per \( 500 \) euro. Se ci viene condonato un debito di \( 200 \) euro, avremo debiti complessivi per \( 300 \) euro.
La corrispondente operazione numerica è la seguente:
\[ (-500)-(-200)=+300 \]
In altre parole, se ci viene tolto un debito di \( 200 \) euro è come se ci venissero dati \( 200 \) euro per pagare i nostri debiti. In entrambi i casi, i debiti si ridurrebbero di \( 200 \) euro, portandosi così a \( 300 \) euro.
In tal modo, abbiamo istintivamente sottratto un numero negativo.
Regola per la sottrazione tra due numeri relativi
Assegnati due numeri relativi, la loro differenza è data dalla somma tra il minuendo e l’opposto del sottraendo.
Riconduciamo cioè la sottrazione ad una addizione tra il minuendo e l’opposto del sottraendo. Varranno così per tale addizione le stesse regole viste nella lezione precedente.
Esempi
Esempio 1
Calcolare:
\[ (-20)-(+70) \]
Riscriviamo la sottrazione data come l’addizione seguente:
\[ (-20)+(-70) \]
Infatti l’opposto del sottraendo, cioè di \( +70 \), è proprio \( -70 \). In questo modo, potremo risolvere la sottrazione assegnata semplicemente eseguendo l’addizione appena scritta. 😉
Abbiamo una addizione tra termini concordi. Anzitutto, sommiamo i valori assoluti tra loro:
\[ 20+70=90 \]
Il segno del risultato sarà dato dal segno degli addendi. Si ha:
\[ (-20)+(-70)=-90 \]
Così per la sottrazione data abbiamo:
\[ (-20)-(+70)=-90 \]
Esempio 2
Calcolare:
\[ (-20)-(-40) \]
Il sottraendo è \( -40 \). Il suo opposto è \( +40 \). Riscriviamo così la sottrazione data come l’addizione tra il minuendo (\( -20 \)) e l’opposto del sottraendo (+40):
\[ (-20)+(+40) \]
Gli addendi sono discordi, per cui dobbiamo calcolare la differenza tra i valori assoluti: \( 40-20=20 \). Infine, il segno da attribuire alla somma dei numeri relativi dati è quello dell’addendo più grande. Si ha così:
\[ (-20)+(+40)=+20 \]
e in definitiva per la sottrazione di partenza:
\[ (-20)-(-40)=+20 \]
Sottrazione di più numeri relativi
Consideriamo di dover calcolare la sottrazione:
\[ (+20)-(+70)-(-40)-(+17)-(-5)-(-7) \]
In modo del tutto simile al caso dell’addizione tra più numeri relativi, possiamo procedere in due differenti modi:
- sottrarre a due a due i termini, da sinistra verso destra, fino ad ottenere il risultato finale;
- riscrivere ciascuna sottrazione come somma del minuendo e dell’opposto del sottraendo, quindi applicare la proprietà commutativa dell’addizione in modo da ricondurre la sottrazione data ad una addizione tra somme indicate ciascuna avente addendi dello stesso segno.
Eseguiamo la sottrazione data con il primo metodo:
\[ \begin{align}&(+20)-(+70)-(-40)-(+17)-(-5)-(-7)= \\ \\ & = (+20)+(-70)-(-40)-(+17)-(-5)-(-7)= \\ \\ & = -50 +(+40)-(+17)-(-5)-(-7)= \\ \\ & = -10+(-17)-(-5)-(-7)= \\ \\ & = -27 +(+5)-(-7)= \\ \\ & = -22 +(+7)= -15\end{align} \]
Un po’ lunghino no? 😉 Vediamo il secondo metodo, magari è più agevole:
\[ \begin{align}&(+20)-(+70)-(-40)-(+17)-(-5)-(-7)= \\ \\ & = (+20)+(-70)+(+40)+(-17)+(+5)+(+7) = \\ \\ & = (+20 + 40 +5 + 7) +(-70-17)= \\ \\ & = 72+(-87)=-15\end{align} \]
Come vediamo il secondo metodo è più veloce. L’importante è stare attenti. Bisogna applicare correttamente la proprietà commutativa e non dimenticarsi dei termini! 🙂
Come possiamo notare, nel primo passaggio del secondo metodo abbiamo riscritto tutte le sottrazioni come addizioni in cui ogni addendo è l’opposto del sottraendo di ciascuna sottrazione di partenza. In altre parole, abbiamo cambiato tutti i segni di sottrazione in segni di addizione ed abbiamo invertito il segno di tutti i sottraendi.
Proprietà della sottrazione tra numeri relativi
Per la sottrazione fra numeri relativi ritroviamo proprietà del tutto simili a quelle della sottrazione tra numeri naturali.
In particolare, continua a valere la sola proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo al minuendo e al sottraendo uno stesso numero, il risultato non cambia.
Tuttavia, poiché come detto una sottrazione tra numeri relativi può essere espressa come un’equivalente addizione tra il minuendo e l’opposto del sottraendo, osserviamo che per tale addizione valgono tutte le proprietà già viste per l’addizione tra numeri relativi.
Eccoci arrivati così alla fine di questa lezione sulla sottrazione tra numeri relativi e sue proprietà. Nella prossima lezione vedremo la moltiplicazione tra numeri relativi. Ciao e buono studio a tutti con Altramatica! 🙂