Introdurremo inoltre il concetto relativo alla divisibilità tra monomi. Nello specifico, mostreremo sotto quali condizioni un monomio risulta divisibile per un altro.
Cominciamo subito a presentare la divisione tra due monomi, partendo dalle proprietà delle potenze.
Divisione tra due monomi
Consideriamo di voler eseguire la seguente divisione tra due monomi:
\[ (9a^3b^2):(3a^2b) \]
\( 9a^3b^2 \) è il monomio dividendo mentre \( 3a^2b \) è il monomio divisore.
Per il momento non sappiamo la regola.. ma possiamo eseguire il calcolo riscrivendo i monomi dividendo e divisore indicando esplicitamente tutti i fattori letterali presenti. Così, possiamo rappresentare la divisione tra i due monomi come segue:
\[ (9a\cdot a\cdot a \cdot b \cdot b):(3a \cdot a \cdot b) \]
Ora, grazie alla proprietà invariantiva della divisione, possiamo sempre dividere dividendo e divisore per una stessa quantità. E tale quantità può essere non soltanto numerica, ma anche letterale.
Potremo allora dividere sia il dividendo, sia il divisore per la quantità \( a \). E di nuovo, dividere ancora sia il dividendo, sia il divisore per la quantità \( a \), finché non avremo terminato i fattori \( a \) nel divisore. Potremo poi fare la stessa cosa utilizzando la quantità \( b \). Mediante i simboli di semplificazione, e riscrivendo per comodità l’operazione di divisione come una frazione, ciò equivale nel complesso ad effettuare quanto segue:
\[ \dfrac{\cancel{9}^{\small \displaystyle3}a\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot \cancel{b}\cdot b}{\cancel{3} \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b}}=3ab \]
Abbiamo ragionato come nella riduzione di una frazione numerica avente fattori indicati esplicitamente, senza potenze. 😉 L’unica differenza è che abbiamo quantità anche letterali.
Possiamo dunque concludere che:
\[(9a^3b^2):(3a^2b)=3ab \]
Ora, lo stesso risultato può essere ottenuto molto più agevolmente usando le proprietà delle potenze. Sarà così sufficiente applicare per ciascuna lettera la regola del rapporto tra potenze di uguale base. Ad esempio, per la sola lettera \( a \) avremo:
\[ \dfrac{a^3}{a^2}=a^{3-2}=a^1=a \]
Ora, procedendo in questo modo per tutte le lettere nel rapporto tra i monomi dati, avremo:
\[ (9a^3b^2):(3a^2b)=(9:3)a^{3-2}b^{2-1}=3ab \]
E ritroviamo il risultato precedente.
Regola per il calcolo del quoziente tra due monomi
Consideriamo la divisione tra due monomi ridotti in forma normale.
Inoltre, affinché la divisione possa essere effettuata, imponiamo che il monomio divisore debba essere diverso da zero. Ciò è del tutto simile a quanto stabilito per la divisione tra numeri.
Richiediamo inoltre che i due monomi siano divisibili. Ciò equivale a dire che:
- il grado complessivo del monomio dividendo deve essere maggiore o al più uguale del grado del monomio divisore;
- non ci deve essere nessuna lettera nel monomio divisore che abbia esponente maggiore di quella stessa lettera nel monomio dividendo.
Sotto tali condizioni, il quoziente tra due monomi è dato da un monomio avente per coefficiente o parte numerica il quoziente tra il coefficiente del monomio dividendo e il coefficiente del monomio divisore, e per parte letterale il prodotto dei quozienti tra ciascuna lettera del monomio dividendo e ciascuna lettera del monomio divisore.
I quozienti ottenuti per le varie lettere avranno ciascuno come esponente la differenza tra l’esponente per la lettera considerata nel dividendo e l’esponente per quella stessa lettera nel divisore. La regola deriva direttamente dalle proprietà delle potenze già viste. 😉
Inoltre, se una lettera è presente solo nel dividendo (il monomio da dividere), questa andrà riscritta nel quoziente così come è, con lo stesso esponente. Se invece una lettera è presente sia nel dividendo, sia nel divisore con lo stesso esponente, questa non comparirà nel quoziente. Infatti ad esempio:
\[ \dfrac{a^2b^3}{a^2}=b^3 \]
Come si può vedere, il termine \( b^3 \) è stato riscritto nel quoziente così come è, mentre la lettera \( a \) non compare nel quoziente.
Precisiamo che la condizione di divisibilità su esposta equivale a dire che l’operazione di divisione tra monomi deve essere interna all’insieme dei monomi. Ovvero, dividendo due monomi tra loro dovremo sempre ottenere di nuovo un monomio (secondo la definizione stretta di monomio inteso come intero, cioè privo di lettere al denominatore).
Esempio
\[ (-15a^7b^6c^5d^3):(-5a^4b^3c^5) \]
Eseguiamo la divisione tra le parti numeriche. Si ha:
\[ -15:(-5)=\boxed{+3} \]
Serve un ripasso? Divisione tra numeri relativi.
Ora, nel quoziente scriveremo la lettera \( a \) con esponente pari alla differenza tra il suo esponente nel dividendo e quello nel divisore. Così:
\[ a^{7-4}=\boxed{a^3} \]
Passiamo alla lettera \( b \). Nel dividendo il suo esponente è \( 6 \), nel divisore il suo esponente è \( 3 \), per cui:
\[ b^{6-3}=\boxed{b^3} \]
Per la lettera \( c \), abbiamo lo stesso esponente sia nel dividendo, sia nel divisore. Per cui, tale lettera non dovrà figurare nel monomio quoziente.
Infine, abbiamo che la lettera \( d \) compare soltanto nel dividendo. Di conseguenza, questa dovrà essere riportata così come è nel monomio quoziente:
\[ \boxed{d^3} \]
Ora, tutti i termini che abbiamo evidenziato in riquadro sono i fattori che costituiscono il monomio quoziente. Così, il risultato della divisione tra i due monomi dati sarà:
\[ 3a^3b^3d^3 \]
In conclusione abbiamo quindi:
\[ (-15a^7b^6c^5d^3):(-5a^4b^3c^5)=3a^3b^3d^3 \]
La divisione tra monomi espressa come una particolare frazione algebrica
Nella divisione tra monomi, i calcoli possono essere eseguiti ricorrendo semplicemente a delle semplificazioni, utilizzando come già visto le proprietà delle potenze.
Così, ad esempio, possiamo calcolare più comodamente la divisione tra monomi del precedente esempio come segue:
\[ (-15a^7b^6c^5d^3):(-5a^4b^3c^5)= \dfrac{-\cancel{15}^{\small \displaystyle3}a^{\cancel{7}^{\small \displaystyle3}}b^{\cancel{6}^{\small \displaystyle3}}\cancel{c^5}d^3}{-\cancel{5}\cancel{a^4}\cancel{b^3}\cancel{c^5}}=3a^3b^3d^3 \]
Osserviamo che abbiamo qui eseguito una semplificazione degli esponenti delle lettere. E, per fare questo, abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze. Consideriamo ad esempio il seguente rapporto:
\[ \dfrac{a^5}{a^3} \]
Possiamo calcolarlo in questo modo:
\[ \dfrac{a^5}{a^3}=a^{5-3}=a^2 \]
Tuttavia, semplificando gli esponenti possiamo scrivere:
\[ \dfrac{a^{\cancel{5}^{\small \displaystyle2}}}{\cancel{a^3}} =a^2 \]
Per avere chiaro il significato di tale semplificazione, basta riscrivere i due monomi da dividere come fattori letterali, senza usare le potenze:
\[ \dfrac{a^5}{a^3}=\dfrac{\cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a}\cdot a \cdot a }{\cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a}}= a \cdot a = a ^2 \]
Come possiamo vedere, la semplificazione \( \cancel{a^3} \) che abbiamo eseguito precedentemente equivale proprio a semplificare tutti i fattori \( a \cdot a \cdot a \) come abbiamo appena fatto. 😉
Una divisione del tipo:
\[ (-15a^7b^6c^5d^3):(-5a^4b^3c^5) \]
se rappresentata con la linea di frazione:
\[ \dfrac{-15a^7b^6c^5d^3}{-5a^4b^3c^5} \]
è un particolare caso di frazione algebrica, cioè una frazione algebrica riducibile a monomio.
Vedremo le frazioni algebriche nella loro generalità nelle prossime lezioni. 😉
Per quanto riguarda le divisioni tra monomi è tutto. Nella prossima lezione vedremo come calcolare la potenza di un monomio. Ciao a tutti e buono studio, come sempre, con Altramatica! 🙂