La regola per l’elevazione a potenza di un monomio (potenza di un monomio) non è complicata e si fonda, ancora una volta, sulle proprietà delle potenze.
Ci proporremo così di capire come calcolare la potenza di un monomio proprio a partire dalle proprietà delle potenze, per poi enunciare la regola generale.
Fatte le dovute premesse, eccoci pronti per la lezione sull’elevazione a potenza di un monomio. 🙂
Dalle proprietà delle potenze dei numeri alle potenze dei monomi
Cominciamo i nostri ragionamenti a partire dalle proprietà delle potenze dei numeri. In particolare ci interessano due proprietà:
- prodotto fra potenze di uguale esponente;
- regola delle potenze di potenze.
prodotto Fra potenze di uguale Esponente
Non ci interessa direttamente questa proprietà, ma una sua conseguenza che si ottiene sfruttando la proprietà simmetrica dell’uguaglianza. In parole povere, poiché per la regola del prodotto fra potenze di uguale esponente si ha ad esempio:
\[ 5^2 \times 3^2=(5 \times 3)^2\]
sarà anche (“rovesciamo” l’uguaglianza):
\[ \boxed{(5 \times 3)^2 = 5^2 \times 3^2} \]
Quest’ultima uguaglianza rappresenta un’altra proprietà delle potenze: la proprietà distributiva dell’elevazione a potenza rispetto alla moltiplicazione. Ciò significa che la potenza del prodotto tra due fattori è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.
Così ad esempio, usando quantità letterali:
\[ (a \cdot b)^2 =a^2 \cdot b^2 \]
Potenze di potenze
Per calcolare la potenza di una potenza, si scriverà come risultato una potenza che ha come base la stessa base della potenza di partenza e come esponente il prodotto tra gli esponenti. Ad esempio:
\[ (2^3)^2=2^{3 \cdot 2}=2^6=64 \]
Utilizzando quantità letterali:
\[ (a^4)^2=a^{4 \cdot 2}=a^8 \]
elevazione a potenza di un monomio: il nostro primo calcolo
Mettendo insieme le due proprietà appena viste, possiamo fin da subito calcolare la seguente potenza di un monomio:
\[ (2a^2b^3)^4 \]
Si ha infatti, per la proprietà distributiva dell’elevazione a potenza rispetto alla moltiplicazione:
\[ (2a^2b^3)^4=2^4\cdot(a^2)^4\cdot(b^3)^4= \]
Infine, applicando la regola delle potenze di potenze:
\[ =16 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b ^{3 \cdot 4}=16a^8b^{12} \]
Così abbiamo in conclusione:
\[ (2a^2b^3)^4 =16a^8b^{12}\]
Regola per l’elevazione a potenza di un monomio (calcolo della potenza di un monomio)
Vediamo la regola generale per elevare un monomio ad un esponente \( n \). Comunque, possiamo dire di avere già imparato. 😉
La potenza \( n \)-esima di un monomio ha come risultato un monomio la cui parte numerica è pari alla parte numerica del monomio dato elevata all’esponente \( n \) e la cui parte letterale è costituita da tutte le lettere contenute nel monomio di partenza, ciascuna elevata al prodotto tra il rispettivo esponente e l’esponente \( n \).
In parole povere, per elevare un monomio alla \( n \) dobbiamo semplicemente elevare alla \( n \) la sua parte numerica e moltiplicare per \( n \) tutti gli esponenti che compaiono nelle lettere del monomio. 😉
La regola qui presentata è diretta conseguenza delle proprietà delle potenze e riassume quanto abbiamo già esposto. 🙂
Precisiamo inoltre che:
- un monomio elevato ad esponente \( 1 \) fornisce come risultato il monomio stesso;
- un monomio elevato ad esponente \( 0 \) fornisce come risultato \( 1 \).
Tali considerazioni non sono una sorpresa in quanto del tutto simili a quelle valide per i numeri. 🙂
Esempio 1
\[ \left(-\dfrac{3}{5}a^3b^2c^4 \right)^3 \]
L’esponente \( n \) al quale eleviamo il monomio è pari a \( 3 \). Così, applicando la regola appena enunciata si ha:
\[ \left(-\dfrac{3}{5}a^3b^2c^4 \right)^3=\left(-\dfrac{3}{5} \right)^3\cdot \left(a^3b^2c^4 \right)^3=-\dfrac{27}{125}a^{3\cdot3}b^{2\cdot3}c^{4\cdot3}=-\dfrac{27}{125}a^9b^6c^{12} \]
Il segno del risultato è negativo poiché l’esponente \( n \) è dispari. 😉 Se serve un ripasso: regola del segno per le potenze.
Se ci sono dubbi sull’elevazione a potenza del coefficiente frazionario: calcolare le potenze di frazioni.
Esempio 2
\[ \left(-\dfrac{3}{4}a^3b^2cd^5 \right)^2 \]
Come nell’esempio precedente, eleviamo all’esponente \( 2 \) sia la parte numerica, sia la parte letterale del monomio, seguendo le regole. Si ha:
\[ \left(-\dfrac{3}{4}a^3b^2cd^5 \right)^2=\dfrac{9}{16}a^6b^4c^2d^{10} \]
Osserviamo che nel monomio di partenza la lettera \( c \) non ha l’esponente esplicitamente indicato, ma ricordiamoci che c’è e che vale \( 1 \). Così, nel risultato per la lettera \( c \) abbiamo l’esponente \( 1 \cdot 2 = 2 \). 😉
Per l’elevazione a potenza di un monomio (calcolo della potenza di un monomio) è tutto. Nella prossima lezione, introdurremo la definizione di polinomio. Saluti a tutti voi! 🙂