Diamo ora una prima anticipazione dell’utilità dei polinomi. Anzitutto, conoscere i polinomi è indispensabile per poter operare con le frazioni algebriche, e quindi essere in grado di calcolare le espressioni letterali (in modo del tutto simile al calcolo delle espressioni numeriche).
Inoltre, una sicura conoscenza dei polinomi è indispensabile per risolvere le equazioni e le disequazioni, e quindi saper modellizzare e risolvere un’infinità di problemi.
Polinomi: definizione
Un polinomio è un’espressione data dalla somma e/o sottrazione di più monomi.
Ricorrendo alla somma algebrica, diremo semplicemente che un polinomio è una somma algebrica di monomi.
Ricordiamo che una somma algebrica è una particolare operazione di addizione nella quale ciascun addendo viene riportato con il suo segno.
Così, per rappresentare un polinomio scriveremo tutti i monomi che lo compongono, uno dopo l’altro, lasciando sottointesi gli operatori di addizione e riportando solamente i segni dei monomi.
Pertanto, a partire dai monomi:
\[ 2x^2; \qquad -9x; \qquad 7 \]
possiamo costruire un polinomio sommando algebricamente i monomi dati tra loro:
\[ (+2x^2)+(-9x)+(+7) \]
e quindi, semplicemente:
\[ 2x^2-9x+7 \]
Ciascuno dei monomi che compongo il polinomio è anche detto termine del polinomio.
Il termine nel monomio nel quale non compare la parte letterale è detto termine noto. Così, nel polinomio dato il termine noto è il numero \( 7 \).
NOTA: ricordiamo che anche \( 7 \) è un monomio. Infatti, può essere visto come un monomio “senza parte letterale”, cioè un monomio le cui lettere sono tutte elevate all’esponente \( 0 \).
Le seguenti espressioni:
\[ ax^2+bx+c; \qquad 9x^3-3x; \qquad 9ax^3+3a^2x^2+2a^4x+7 \]
sono tutte esempi di polinomi.
Polinomio ridotto a forma normale
Un polinomio è ridotto a forma normale se:
- non presenta termini tra loro simili;
- ciascun monomio in esso contenuto è ridotto a forma normale.
Così il polinomio:
\[ x^2+2x+7 \]
è ridotto a forma normale, mentre il polinomio:
\[ 7xy+2xy+9a\cdot a\cdot 2 \cdot b\cdot b+55x^2y \]
non è ridotto a forma normale, poiché ci sono dei termini simili (i primi due termini hanno la stessa parte letterale) e il terzo termine non è un monomio in forma normale.
Per ridurre a forma normale il polinomio, basterà sommare tra loro i termini simili e ridurre a forma normale il terzo termine.
Si ha così:
\[ 7xy+2xy+9a\cdot a\cdot 2 \cdot b\cdot b+55x^2y=9xy+18a^2b^2+55x^2y \]
Ora il polinomio è ridotto a forma normale.
NOTA: poiché abbiamo inteso a suo tempo un monomio utilizzando la definizione di monomio intero ridotto a forma normale, considereremo come polinomi soltanto le espressioni che si presentano come somme algebriche di monomi così definiti. Di conseguenza la seguente espressione:
\[ x^2+\dfrac{2}{x}+9 \]
non è un polinomio, poiché è presente una lettera nel denominatore di un monomio che lo compone.
Pretendiamo quindi che nei polinomi non vi siano lettere ai denominatori in nessun termine.
Polinomi: classificazione in base al numero di termini presenti
In base a quanti termini sono presenti in un polinomio avremo:
- un monomio, se abbiamo un solo termine;
- un binomio, se è composto da due termini;
- un trinomio, se ci sono tre termini;
- un quadrinomio, se abbiamo quattro termini.
Per polinomi con cinque o più termini conviene semplicemente dire “polinomio di cinque termini”, “polinomio di sei termini”, ecc.
Ad esempio, il polinomio:
\[ x-1 \]
è un binomio, mentre il polinomio:
\[ x^3y+2x^2y^2+3xy^3 \]
è un trinomio.
I termini binomio e trinomio sono largamente usati. “Quadrinomio” è già di più raro uso.
Come avrete notato leggendo la classificazione, un monomio è un particolare polinomio con un solo termine. Così, l’insieme dei monomi è contenuto nell’insieme dei polinomi. 😉
Polinomio nullo e il polinomio unità
Il polinomio nullo è un polinomio nel quale tutti i termini sono nulli, ovvero pari a zero.
Così, il polinomio:
\[ 0a^3b+0a^2b^2+0ab \]
rappresenta il polinomio nullo. E’ anche nullo il seguente polinomio:
\[ 0 \]
E’ semplicemente lo zero, ma può essere visto come un polinomio nullo! 🙂 Esso infatti è un polinomio costituito da un solo termine con parte numerica \( 0 \).
Il polinomio unità è un polinomio avente un termine uguale a \( 1 \) e tutti gli altri termini pari a zero.
Così ad esempio il polinomio:
\[ 1+0x^2y+0xy \]
rappresenta il polinomio unità.
Anche la sola cifra \( 1 \) rappresenta il polinomio unità, come lo \( 0 \) rappresenta il polinomio nullo.
Per questa lezione introduttiva sui polinomi (definizione e classificazione in base al numero di termini) è tutto 🙂 . Nella prossima lezione vedremo il concetto di grado di un polinomio. Un saluto a tutti voi! 🙂