Come regolarsi in questo caso? L’idea, è di trattare una delle due lettere alla stregua di un numero, e di fatto considerare ciascun monomio costituito da una parte letterale di una sola lettera (anche elevata a potenza). La parte “numerica”, di conseguenza, sarà in realtà costituita da un numero moltiplicato per l’altra lettera (anche elevata a potenza).
Ad esempio, sia dato il trinomio caratteristico:
\[ 3x^2y^2+2xy-1 \]
Sì, guardandolo fa un po’ grattare il capo. Ma niente paura. 😉 E’ sufficiente considerare come “coefficienti” le parti messe nel riquadro:
\[ \boxed{3x^2}y^2+\boxed{2x}y-1 \]
Così, avremo un trinomio caratteristico nella variabile \( y \) avente come coefficienti:
- \( 3x^2 \) come “coefficiente” in \( y^2 \);
- \( 2x \) come “coefficiente” del termine in \( y \);
- \( -1 \) come termine noto.
Il trucco per non perdersi è dunque quello di considerare la \( x \) come un numero.
Chiaramente in base all’esercizio le lettere potranno cambiare. L’idea è quella di considerare come numero la lettera immediatamente dopo il coefficiente numerico. L’altra lettera sarà una variabile, da trattare secondo le regole che conosciamo. 😉
Esercizi svolti sui trinomi caratteristici con due lettere
Esercizio 1
\[ 3x^2y^2+2xy-1 \]
Evidenziamo i “coefficienti”, come del resto già abbiamo fatto:
\[ \boxed{3x^2}y^2+\boxed{2x}y-1 \]
Si tratterà di trovare due monomi tali che:
- la loro somma sia \( 2x \), poiché \( 2x \) è il “coefficiente” del termine di primo grado nella variabile \( y \);
- il loro prodotto sia \( 3x^2 \cdot (-1) \), cioè il prodotto tra il coefficiente del termine in \( y^2 \) e il termine noto.
Così, detta \( s \) la somma e \( p \) il prodotto dei monomi da cercare, dovrà essere:
\[ s=2x; \qquad p = -3x^2 \]
Le parti letterali dei monomi incogniti saranno, ovviamente, entrambe \( x \). Infatti, se la somma dei monomi dovrà essere ancora un monomio, questi dovranno per forza essere simili.
Per determinare le parti numeriche dei monomi che stiamo cercando, non dovremo fare altro che considerare i coefficienti numerici dei termini nel trinomio e ragionare come sempre fatto per i trinomi caratteristici.
Così, dovremo trovare due numeri la cui somma è \( 2 \) e il cui prodotto è \( -3 \). Questi sono \( 3 \) e \( -1 \). La coppia di monomi cercati è, allora:
\[ (3x, -x) \]
Così potremo riscrivere il trinomio caratteristico dato come segue:
\[ 3x^2y^2+(3x-x)y-1 \]
Svolgiamo i calcoli effettuando poi i raccoglimenti:
\[ \begin{align}&3x^2y^2+(3x-x)y-1= \\ \\ & = 3x^2y^2+3xy-xy-1= 3x^2y^2-xy+3xy-1= \\ \\ & = xy(3xy-1)+3xy-1= (3xy-1)(xy+1)\end{align} \]
E siamo così arrivati al risultato. Abbiamo quindi, in conclusione:
\[ 3x^2y^2+2xy-1=(3xy-1)(xy+1) \]
Esercizio 2
\[ 2a^2b^2+ab-3 \]
Trattiamo la \( a \) come un numero, considerando la \( b \) come una variabile:
\[ \boxed{2a^2}b^2+\boxed{a}b-3 \]
Dovremo avere:
\[ s=a; \qquad p = 2a^2 \cdot(-3)=-6a^2 \]
I due monomi cercati sono:
\[ (-6a, a) \]
Abbiamo così:
\[ \begin{align}& 2a^2b^2+ab-3 = \\ \\ & = 2a^2b^2+(3a-2a)b-3= \\ \\ & = 2a^2b^2+3ab-2ab-3 = \\ \\ & = ab(2ab+3)-2ab-3= \\ \\ & = -ab(-2ab-3)-2ab-3= \\ \\ & = (-2ab-3)(-ab+1)\end{align} \]
E così siamo giunti al risultato. 🙂 Osserviamo che abbiamo dovuto aggiustare i segni, diversamente non avremmo potuto eseguire il raccoglimento totale. In particolare, abbiamo evidenziato un segno meno nel termine \( 2ab-3 \):
\[ ab(2ab+3)=-ab(-2ab-3) \]
Esercizio 3
\[ 4x^2y^2+9xy+2 \]
Evidenziamo i “coefficienti”:
\[ \boxed{4x^2}y^2+\boxed{9x}y+2 \]
Dovremo trovare due monomi tali che:
\[ s=9x; \qquad p = 4x^2 \cdot 2 = 8x^2 \]
I monomi cercati sono:
\[ (8x, x) \]
poiché effettivamente i numeri che hanno somma \( 9 \) e prodotto \( 8 \) sono proprio i numeri \( 8 \) e \( 1 \).
Svolgiamo i calcoli:
\[ \begin{align}&4x^2y^2+9xy+2 = \\ \\ &=4x^2y^2+(8x+x)+2 = \\ \\ & = 4x^2y^2+8xy+xy+2 = \\ \\ & = 4xy(xy+2)+xy+2 = \\ \\ & = (xy+2)(4xy+1)\end{align} \]
Ed abbiamo così scomposto anche questo trinomio caratteristico con due lettere. 😉 Veniamo ora all’ultimo esercizio.
Esercizio 4
Eccovi l’ultimo degli esercizi sui trinomi caratteristici con due lettere:
\[ 7a^2b^2+51ab+14 \]
Ancora, evidenziamo i “coefficienti”:
\[ \boxed{7a^2}b^2+\boxed{51a}b+14 \]
Dobbiamo trovare due monomi tali che:
\[ s=51a; \qquad p = 7a^2 \cdot 14 = 98a^2 \]
Ricordiamo che le parti numeriche dei monomi vanno ricercate tra tutti i divisori di \( 98 \) con segno. Tali parti numeriche sono \( 49 \) e \( 2 \). Così i monomi cercati sono:
\[ (49a, 2a) \]
Possiamo ora effettuare la scomposizione:
\[ \begin{align} &7a^2b^2+51ab+14 = \\ \\ & = 7a^2b^2+(49a+2a)b+14= \\ \\ & = 7a^2b^2+49ab+2ab+14 \\ \\ & = 7ab(ab+7)+2(ab+7)= \\ \\ & = (ab+7)\cdot(7ab+2)\end{align} \]
Ed ecco la scomposizione cercata. 🙂
Siamo così arrivati alla conclusione di questi esercizi sui trinomi caratteristici con due lettere. Come sempre, vi ricordo il tool scomposizione polinomi per verificare i risultati dei vostri esercizi. 🙂
Ciao a tutti e, come sempre, buono studio con Altramatica!