Vedremo come un’opportuna sostituzione di variabile ci permetterà di ricondurre il trinomio caratteristico assegnato ad un normale trinomio caratteristico di secondo grado. Per la scomposizione utilizzeremo il “metodo classico”, cioè quello basato sui raccoglimenti parziali e totali.
Per intenderci, scomporremo trinomi del tipo:
\[ 3x^4-2x^2-1 \]
Ed è proprio questo il primo trinomio del quale ci occuperemo.
Cominciamo allora questi esercizi sul trinomio caratteristico per sostituzione.
Esercizio 1
Scomporre:
\[ 3x^4-2x^2-1 \]
Il trinomio è di quarto grado. Per risolvere l’esercizio, dobbiamo ricondurci ad un trinomio di secondo grado, in modo da poter usare i metodi risolutivi a noi noti.
Poniamo la sostituzione:
\[ x^2 = k \]
In questo modo, dovremo scrivere nel trinomio al posto di \( x^2 \) la variabile \( k \), e al posto di \( x^4 \) la variabile \( k^2 \).
Infatti, per le potenze di potenze si ha:
\[ x^4=(x^2)^2 \]
e poiché abbiamo posto
\[ x^2=k \]
si ha di conseguenza:
\[ x^4=k^2 \]
Così, al posto di \( x^4 \) scriveremo nel trinomio assegnato \( k^2 \). Espresso nella variabile \( k \), il trinomio di partenza diventa:
\[ 3k^2-2k-1 \]
Ora, scomponiamolo come faremmo con un qualsiasi trinomio caratteristico di secondo grado.
Cerchiamo i due numeri la cui somma sia il coefficiente di \( -2k \) (ovvero, \( -2 \)), e il cui prodotto sia pari al prodotto tra il coefficiente del termine in \( k^2 \) e il termine noto (quindi, \( 3 \cdot (-1) = -3 \)). Quindi, detta \( s \) la somma dei due numeri cercati e \( p \) il loro prodotto, dovremo cercare due numeri tali che:
\[ s=-2; \qquad p=-3 \]
Questi sono la coppia di numeri:
\[ (-3, +1) \]
Scriveremo così:
\[ 3k^2-2k-1=3k^2+(-3+1)k-1=3k^2-3k+k-1= \]
Eseguiamo un solo raccoglimento parziale:
\[ =3k(k-1)+k-1= \]
e infine un raccoglimento totale:
\[ =(k-1)(3k+1) \]
Così per il trinomio nella variabile \( k \) avremo la scomposizione:
\[ 3k^2-2k-1=(k-1)(3k+1) \]
Attenzione, non abbiamo finito. Ora dobbiamo esprimere il risultato nella variabile di partenza, la \( x \). Poiché avevamo posto \( x^2=k \), si avrà anche \( k=x^2 \). Allora, mettiamo nella scomposizione al posto di ogni \( k \) un termine \( x^2 \):
\[ (k-1)(3k+1) \stackrel{k=x^2}{\Rightarrow} (x^2-1)(3x^2+1) \]
Osserviamo che \( (x^2-1)=(x-1)(x+1) \) (differenza tra due quadrati). Potremo così scrivere, in conclusione:
\[ 3x^4-2x^2-1=(x-1)(x+1)(3x^2+1) \]
Esercizio 2
\[ 6a^4+7a^2+1 \]
Il trinomio è di quarto grado. Per ricondurci ad un trinomio di terzo grado, poniamo la sostituzione:
\[ a^2=k \]
Così avremo:
\[ 6k^2+7k+1 \]
Ora siamo in presenza di un trinomio caratteristico nella variabile \( k \) che possiamo scomporre con le tecniche a noi note.
Dobbiamo trovare due numeri tali che:
\[ s = 7; \qquad p = 6 \cdot 1 = 6 \]
I numeri cercati sono:
\[ (+6, +1) \]
Si ha così:
\[ 6k^2+7k+1=6k^2+(6+1)k+1=6k^2+6k+k+1= \]
Eseguiamo un raccoglimento parziale con il termine \( 6k \):
\[ =6k(k+1)+(k+1)= \]
Infine, raccogliamo totalmente con il termine \( (k+1) \):
\[ =(k+1)(6k+1) \]
Così, avremo per il trinomio nella variabile \( k \) la seguente scomposizione:
\[ 6k^2+7k+1=(k+1)(6k+1) \]
Ricordandoci che avevamo posto \( a^2=k \), sarà anche \( k=a^2 \). Per cui, scriviamo al posto di ogni \( k \) del risultato ottenuto il termine \( a^2 \). Avremo così in conclusione:
\[ 6a^4+7a^2+1=(a^2+1)(6a^2+1) \]
Esercizio 3
\[ 2y^4-5y^2+3 \]
Poniamo \( y^2=k \). Il trinomio assegnato sarà esprimibile utilizzando la variabile \( k \) come segue:
\[ 2k^2-5k+3 \]
Scomponiamo il trinomio caratteristico nella variabile \( k \) come al solito. Dovrà essere:
\[ s=-5; \qquad p=2 \cdot 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad (-3,-2) \]
Scriveremo quindi:
\[ 2k^2-5k+3=2k^2+(-3-2)k+3=2k^2-3k-2k+3= \]
Riordiniamo per comodità gli addendi ed effettuiamo i raccoglimenti:
\[ =2k^2-2k-3k+3=2k(k-1)+3(-k+1)=2k(k-1)-3(k-1)= \]
Infine, raccogliamo il termine \( (k-1) \):
\[ =(k-1)(2k-3) \]
Così avremo:
\[ 2k^2-5k+3 = (k-1)(2k-3)\]
Esprimiamo il risultato con la variabile \( y \) di partenza. Si ha:
\[ 2y^4-5y^2+3=(y^2-1)(2y^2-3) \]
Osservando che \( y^2-1=(y-1)(y+1) \) scriviamo in conclusione:
\[ 2y^4-5y^2+3=(y-1)(y+1)(2y^2-3) \]
Ed abbiamo così scomposto anche questo trinomio caratteristico per sostituzione. 😉
Esercizio 4
Eccoci all’ultimo di questi esercizi sul trinomio caratteristico per sostituzione. Scomporre:
\[ 4y^4+11y^2-3 \]
Poniamo \( y^2=k \). Il trinomio assegnato si potrà dunque esprimere tramite la variabile \( k \) come:
\[ 4k^2+11k-3 \]
Utilizzando l’usuale metodo (a voi trovare se vorrete i due numeri necessari per la scomposizione), si ha:
\[ 4k^2+11k-3=4k^2-k+12k-3 =\]
Eseguiamo i soliti raccoglimenti:
\[ =k(4k-1)+3(4k-1)=(4k-1)(k+3) \]
Esprimendo il risultato nella variabile \( y \) di partenza si ha in conclusione:
\[ 4y^4+11y^2-3=(4y^2-1)(y^2+3) \]
ovvero, scomponendo il primo fattore nel risultato (differenza tra due quadrati):
\[ 4y^4+11y^2-3=(2y-1)(2y+1)(y^2+3) \]
E abbiamo così concluso questo ultimo esercizio.
Questa serie di esercizi sul trinomio caratteristico per sostituzione si conclude qui. Vi ricordo il pratico tool per la scomposizione dei polinomi online, con il quale potrete verificare i risultati dei vostri esercizi.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂