Il metodo che qui useremo è il metodo più classico, basato sull’eseguire due raccoglimenti (uno o due raccoglimenti parziali e uno totale). Per il metodo alternativo è disponibile questa esercitazione.
Vediamo allora questi esercizi svolti sul trinomio caratteristico con coefficiente \( a \neq 1 \) utilizzando la tecnica del “doppio raccoglimento”. In questa esercitazione, tratteremo solo trinomi con una sola lettera. Se siete invece alle prese con trinomi caratteristici con più di una lettera niente panico, ecco l’esercitazione sui trinomi caratteristici con due lettere. 😉
Esercizi sul trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado diverso da 1
Esercizio 1
Scomporre il trinomio:
\[ 5t^2+7t-6 \]
Come sappiamo dalla teoria, dobbiamo trovare due numeri la cui somma sia pari al coefficiente del monomio di primo grado (in questo caso, \( +7 \)) e il cui prodotto sia pari al prodotto del coefficiente del termine di secondo grado per il termine noto (\( 5 \cdot (-6) = -30 \)). Indicando brevemente la somma dei due numeri con \( s \) e il prodotto tra i due numeri con \( p \), dovrà quindi essere:
\[ \begin{align}&s = 7; \\ \\ & p = -30 \end{align} \]
Ricerchiamo i due numeri tra i divisori positivi e negativi del prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto, ovvero \( 5 \cdot (-6) = -30 \):
\[ \pm 1; \quad \pm 2; \quad \pm 5; \quad \pm 10; \quad \pm 15; \quad \pm 30 \]
La coppia di numeri cercati è:
\[ (10, -3) \]
Così, potremo riscrivere il coefficiente della \( t \) come (10-3). Si ha:
\[ 5t^2+7t-6=t^2+(10-3)t-6=5t^2+10t-3t-6= \]
Per non confonderci con i segni, utilizzando la somma algebrica si ha:
\[ =5t^2+10t-3t-6=5t^2+10t+(-3t-6)= \]
Ora proseguiamo eseguendo due raccoglimenti parziali, rispettivamente usando i termini \( 5t \) e \( 3 \):
\[ =5t(t+2)+3(-t-2)= \]
Conviene raccogliere un segno meno (cioè, un \( -1 \)) nel termine \( -t+2 \), in modo che questi diventi uguale all’altro termine \( t+2 \) presente:
\[ =5t(t+2)-3(t+2)= \]
Ora possiamo eseguire un raccoglimento totale, raccogliendo il termine \( t+2 \):
\[ =(t+2)(5t-3) \]
E questa è la scomposizione del trinomio assegnato. Si ha così, in conclusione:
\[ 5t^2+7t-6=(t+2)(5t-3) \]
Esercizio 2
\[ 3a^2-2a-5 \]
Dobbiamo cercare due numeri tali che:
\[ \begin{align}& s = -2; \\ \\ &p=3 \cdot (-5) = -15 \end{align} \]
Ricerchiamo i due numeri tra i divisori positivi e negativi di \( -15 \). I numeri cercati sono:
\[ (-5, +3) \]
Così potremo scrivere:
\[ 3a^2-2a-5=3a^2+(-5+3)a-5=3a^2-5a+3a-5= \]
Ora, riordiniamo gli addendi ed eseguiamo i raccoglimenti parziali (riordinare gli addendi ci è utile per meglio eseguire i raccoglimenti):
\[ =3a^2+3a-5a-5=3a(a+1)+5(-a-1)= \]
Osserviamo che si ha \( (-a-1) = -1 \cdot (a+1) = -(a+1) \). Così, possiamo mettere in evidenzia un segno meno nel secondo prodotto, in modo da avere in entrambi i prodotti lo stesso termine \( (a+1) \):
\[ =3a(a+1)-5(a+1)= \]
Infine, eseguiamo un raccoglimento totale con il termine \( (a+1) \):
\[ =(a+1)(3a-5) \]
E siamo così arrivati al risultato finale. 🙂 Si ha in conclusione:
\[ 3a^2-2a-5=(a+1)(3a-5) \]
Esercizio 3
\[ 6y^2+11y-2 \]
Deve essere:
\[ \begin{align}&s = +11; \\ \\ & p = 6 \cdot (-2) = -12 \end{align} \]
Ricerchiamo i due numeri tra i divisori positivi e negativi di \( -12 \). I due numeri cercati sono:
\[ (12, -1) \]
Scriveremo quindi:
\[ 6y^2+11y-2=6y^2+(12-1)y-2=6y^2+12y-y-2 \]
Effettuiamo i raccoglimenti totale e parziale:
\[ \begin{align} &6y^2+12y-y-2=6y(y+2)-y-2=6y(y+2)+(-y-2)= \\ \\ & = 6y(y+2)-(y+2)=(y+2)(6y-1)\end{align} \]
Si ha così in conclusione:
\[ 6y^2+11y-2=(y+2)(6y-1) \]
Osserviamo che abbiamo dovuto raccogliere un segno meno sul termine \( -y-2 \), in modo che è poi stato possibile eseguire il raccoglimento totale.
Abbiamo cioè sfruttato l’uguaglianza:
\[ +(-y-2)=-1\cdot(y+2) \]
Esercizio 4
\[ 2y^2-3y-5 \]
Dovrà essere:
\[ \begin{align}&s=-3; \\ \\ & p=2 \cdot (-5) = -10 \end{align} \]
I due numeri cercati saranno quindi:
\[ (-5, +2) \]
Pertanto, avremo:
\[ \begin{align}&2y^2-3y-5=2y^2+(-5+2)y-5=2y^2-5y+2y-5= \\ \\ & = y(2y-5)+2y-5=(2y-5)(y+1) \end{align} \]
In questo caso è stato necessario un solo raccoglimento parziale. 😉
Vale dunque la scomposizione:
\[ 2y^2-3y-5 = (2y-5)(y+1) \]
Esercizio 5
\[ 3a^2-5a+2 \]
Avremo:
\[ s=-5; \qquad p = 3\cdot2=6 \]
La coppia di numeri cercati è:
\[ (-3, -2) \]
Quindi, scriveremo:
\[ 3a^2-5a+2=3a^2+(-3-2)a+2=3a^2-3a-2a+2= \]
A questo punto, eseguiamo i raccoglimenti parziali:
\[ =3a(a-1)+2(-a+1)= \]
Raccogliamo un segno meno nel termine \( -a+1 \), in modo da poter eseguire il raccoglimento totale:
\[ =3a(a-1)-2(a-1)=(a-1)(3a-2) \]
E siamo così giunti al risultato:
\[ 3a^2-5a+2=(a-1)(3a-2) \]
Esercizio 6
\[ 4x^2+11x+7 \]
Ricordiamo: dobbiamo cercare due numeri la cui somma sia pari al coefficiente del monomio di primo grado e il cui prodotto sia pari al prodotto del coefficiente del monomio di secondo grado per il termine noto. Cerchiamo quindi due numeri tali che:
\[ s = 11; \quad p = 4 \cdot 7 = 28 \]
I due numeri cercati sono:
\[ (7,4) \]
Scriviamo allora:
\[ 4x^2+11x+7=4x^2+(7+4)x+7=4x^2+7x+4x+7= \]
Come al solito svolgiamo i raccoglimenti parziali e totali. Conviene riordinare prima gli addendi. Si ha:
\[ =4x^2+4x+7x+7=4x(x+1)+7(x+1)=(x+1)(4x+7) \]
Così possiamo in conclusione scrivere:
\[ 4x^2+11x+7= (x+1)(4x+7)\]
Esercizio 7
\[ 3x^2+8x-3 \]
Dovrà essere:
\[ s= +8; \quad p = 3 \cdot (-3) = -9 \]
I due numeri sono quindi:
\[ (9, -1) \]
Scriveremo di conseguenza:
\[ 3x^2+8x-3=3x^2+(9-1)x-3=3x^2+9x-x-3= \]
In questo caso è utile riordinare gli addendi e poi eseguire i raccoglimenti:
\[ =3x^2-x+9x-3=x(3x-1)+3(3x-1)=(3x-1)(x+3) \]
Concludiamo l’esercizio scrivendo:
\[ 3x^2+8x-3=(3x-1)(x+3) \]
Esercizio 8
\[ 6a^2-5a-1 \]
Dovrà essere:
\[ s=-5; \quad p = 6 \cdot (-1) = -6 \]
I numeri cercati sono, quindi:
\[ (-6, +1) \]
Di conseguenza:
\[ 6a^2-5a-1=6a^2+(-6+1)a-1=6a^2-6a+a-1= \]
Eseguiamo i raccoglimenti:
\[ =6a(a-1)+a-1=(a-1)(6a+1) \]
In questo caso è stato necessario un solo raccoglimento parziale. 😉
Così in conclusione:
\[ 6a^2-5a-1=(a-1)(6a+1) \]
Esercizio 9
Vediamo ora l’ultimo di questi esercizi sul trinomio caratteristico con coefficiente.
\[ 7x^2-9x+2 \]
Cerchiamo due numeri tali che:
\[ s=-9; \quad p = 7 \cdot 2 = 14 \]
I due numeri cercati sono:
\[ (-7,-2) \]
Pertanto:
\[ \begin{align}&7x^2-9x+2=7x^2+(-7-2)x+2=7x^2-7x-2x+2= \\ \\ & = 7x(x-1)+2(-x+1)=7x(x-1)-2(x-1) =(x-1)(7x-2)\end{align} \]
E infine:
\[ 7x^2-9x+2=(x-1)(7x-2) \]
Qui terminano gli esercizi sul trinomio caratteristico con coefficiente \( a \neq 1 \). Se volete ulteriormente mettervi alla prova, è disponile anche questa esercitazione: trinomi caratteristici di grado superiore al secondo.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂