\[ ax^2+bx+c, \qquad a,b,c \: \in \mathbb{R} \]
L’obiettivo di questi esercizi sul trinomio notevole con somma e prodotto sarà quello di scomporre il trinomio di partenza nel prodotto di due binomi di primo grado e di un eventuale fattore numerico (che indicheremo con \( q \)). Così in generale avremo:
\[ ax^2+bx+c=q \cdot A(x) \cdot B(x) \]
ove \( A(x) \) e \( B(x) \) sono due binomi di primo grado.
Il metodo richiede anzitutto di trovare due numeri \( m \) e \( n \).
I due numeri \( m,n \) devono essere tali che la loro somma sia pari al coefficiente della \( x \), e il loro prodotto sia pari al termine noto \( c \), se \( a=1 \), oppure al prodotto \( a \cdot c \) se \( a \neq 1 \).
I numeri \( m,n \) vanno ricercati tra i divisori positivi e negativi del termine noto (caso \( a=1 \)) o tra i divisori positivi e negativi del prodotto \( a \cdot c \) (caso \( a \neq 1 \)).
Il caso più semplice per gli esercizi sul trinomio notevole è quando il coefficiente della \( x^2 \) è pari a \( 1 \). In tale circostanza, è sufficiente trovare i due numeri \( m,n \) e scrivere direttamente la scomposizione:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n) \]
Se \( a \neq 1 \) il procedimento è leggermente più complicato, e per questa esercitazione utilizzeremo questo metodo risolutivo basato sulla riduzione dei binomi e non il metodo classico.
Per chi è interessato invece al metodo classico per il caso \( a \neq 1 \), cioè il metodo che fa uso dei raccoglimenti parziali e totale, è disponibile questa esercitazione.
Cominciamo allora subito questi esercizi sul trinomio notevole con somma e prodotto con metodo alternativo per il caso \( a \neq 1 \). 🙂
Esercizio 1
\[ x^2-7x+12 \]
Siamo nel caso \( a=1 \), per cui l’unico problema è trovare due numeri la cui somma sia pari a \( b=-7 \) e il cui prodotto sia pari a \( c=12 \).
Cerchiamo i due numeri tra i divisori con segno del termine noto:
\[ \pm1, \quad \pm2,\quad \pm3, \quad \pm 4, \quad \pm 6, \quad \pm 12 \]
Si ha:
\[ -4+(-3)=-7; \quad -4 \cdot (-3) = 12 \]
Così \( -4 \) e \( -3 \) sono i due numeri cercati. Avremo allora in conclusione:
\[ x^2-7x+12=(x-4)(x-3) \]
Abbiamo così espresso il polinomio di partenza come prodotto tra due binomi. Ciascun binomio è ottenuto scrivendo una \( x \) seguita da uno dei due numeri trovati col proprio segno.
ESERCIZIO 2
\[ x^2+4x-5 \]
Ancora un esercizio nel caso più semplice di \( a=1 \), tanto per familiarizzare ulteriormente con la ricerca dei due numeri “magici”.
Dobbiamo trovare due numeri la cui somma sia pari a \( 4 \) (il coefficiente del termine in \( x \)) e il cui prodotto sia pari al termine noto, ovvero \( -5 \).
Ricerchiamo i numeri tra i divisori positivi e negativi di \( -5 \):
\[ \pm1, \quad \pm5 \]
I due numeri cercati sono \( 5 \) e \( -1 \). Infatti \( 5+(-1)=4 \) e \( 5 \cdot(-1) =-5\). Si ha così, in conclusione:
\[ x^2+4x-5=(x+5)(x-1) \]
Esercizio 3
\[ 2y^2+5y+3 \]
Siamo nel caso \( a \neq 1 \). Vi ricordo ancora, in questi esercizi utilizzeremo questo metodo.
Consideriamo ora il trinomio da scomporre. Vediamo anzitutto che non è possibile raccogliere tutti i termini del polinomio per un fattore numerico diverso da \( 1 \). Cioè, non esiste un massimo comune divisore diverso da \( 1 \) per i numeri \( 2,5, \) e \( 3 \) (rispettivamente, i coefficienti dei monomi nella variabile \( y \) e il termine noto).
Così, lavoreremo direttamente sul polinomio dato. Iniziamo a scrivere la scomposizione provvisoria:
\[ (2y\qquad)(2y\qquad) \]
In pratica, abbiamo cominciato a scrivere i due binomi, riportando dentro le parentesi il coefficiente della \( y^2 \) (in questo caso, \( 2 \)) seguito dalla lettera \( y \). Abbiamo lasciato dello spazio dentro le parentesi per i termini mancanti che poi aggiungeremo.
Troviamo i due numeri la cui somma sia pari a \( 5 \) (coefficiente del monomio in \( y \)) e il cui prodotto sia pari a \( 2 \cdot 3 = 6 \) (prodotto tra il coefficiente del monomio in \( y^2 \) e il termine noto).
Poiché siamo nel caso \( a \neq 1 \), stavolta i due numeri vanno ricercati tra i divisori positivi e negativi del prodotto \( 2 \cdot 3 = 6 \):
\[ \pm 1; \quad \pm 2; \quad \pm3; \quad \pm 6 \]
I due numeri sono \( 3 \) e \( 2 \). Infatti \( 3+2=5 \) e \( 2 \cdot 3 = 6 \).
Completiamo la scomposizione provvisoria, scrivendo di seguito ai termini \( 2y \) ciascuno dei due numeri trovati, completi del loro segno:
\[ (2y+3)(2y+2) \]
Il binomio \( 2y+3 \) non è riducibile, mentre il binomio \( 2y+2 \) sì. Per ridurlo, è sufficiente dividere entrambi i suoi termini per \( 2 \). Scriveremo così la scomposizione:
\[ (2y+3)(y+1) \]
E si ha in conclusione:
\[ 2y^2+5y+3=(2y+3)(y+1) \]
NOTA: ridurre i binomi vuol dire dividere entrambe le parti numeriche dei loro termini per il loro massimo comune divisore, se esiste diverso da \( 1 \). Così abbiamo ridotto il binomio \( 2y+2 \) poiché entrambe le parti numeriche dei suoi termini sono divisibili per \( 2 \) (che è il loro MCD). Invece, non abbiamo ridotto il binomio \( 2y+3 \) poiché non esiste un numero diverso da \( 1 \) che sia il massimo comune divisore tra i numeri \( 2 \) e \( 3 \).
In questo metodo è obbligatorio ridurre sempre i binomi quando possibile.
Esercizio 4
\[ 3a^2-4a+1 \]
Non possiamo effettuare alcun raccoglimento per un fattore numerico comune a tutti i termini. Procediamo allora direttamente lavorando sul polinomio dato. Scriviamo la scomposizione provvisoria:
\[ (3a\qquad)(3a\qquad) \]
Cerchiamo due numeri con somma pari a \( -4 \) e prodotto pari a \( 3 \). Questi vanno ricercati tra i divisori positivi e negativi del prodotto, cioè di \( 3 \), e risultano essere \( -3 \) e \( -1 \). Possiamo così scrivere:
\[ (3a-3)(3a-1) \]
Il primo binomio è riducibile (dividiamo entrambi i suoi termini per \( 3 \)). Il secondo binomio va riscritto così come è in quanto non riducibile. Si ha in conclusione:
\[ 3a^2-4a+1=(a-1)(3a-1) \]
Esercizio 5
\[ 5x^2-9x-2 \]
Anche in questo caso, non possiamo raccogliere per un fattore numerico. Proseguiamo quindi con le altre operazioni.
Scomposizione provvisoria:
\[ (5x\qquad)(5x\qquad) \]
Troviamo due numeri aventi per somma \( -9 \) e per prodotto \( 5 \cdot(-2)=-10 \). Questi sono \( -10 \) e \( +1 \). Completiamo dunque la scrittura della scomposizione provvisoria:
\[ (5x-10)(5x+1) \]
Il primo binomio deve essere ridotto dividendo i suoi termini per \( 5 \). Si ha così in conclusione:
\[ 5x^2-9x-2=(x-2)(5x+1) \]
Esercizio 6
Proseguiamo i nostri esercizi sul trinomio notevole con somma e prodotto. Scomponiamo il seguente trinomio:
\[ 6x^2+10x-4 \]
Osserviamo che è possibile raccogliere tutti i termini del polinomio per il fattore numerico \( 2 \). Ricordiamo sempre: questa possibilità va sempre controllata, e se è applicabile il suo uso è obbligatorio, pena una scomposizione sbagliata.
Si ha così:
\[ 6x^2+10x-4=2(3x^2+5x-2) \]
Lavoriamo ora sul polinomio:
\[ 3x^2+5x-2 \]
in modo del tutto simile a quanto fatto negli esercizi precedenti. Scomposizione provvisoria:
\[ (3x\qquad)(3x\qquad) \]
Ora, guardando l’ultimo polinomio scritto e non quello di partenza, dobbiamo trovare due numeri la cui somma sia \( 5 \) e il cui prodotto sia \( 3 \cdot (-2) = -6 \). Questi sono i numeri \( 6 \) e \( -1 \).
Completiamo la scomposizione provvisoria:
\[ (3x+6)(3x-1) \]
Riduciamo il primo binomio dividendo per \( 3 \) i suoi termini:
\[ (x+2)(3x-1) \]
Non abbiamo finito. Poiché abbiamo all’inizio raccolto per il fattore \( 2 \), la scomposizione del polinomio di partenza sarà data dal prodotto dei due binomi appena scritti e dello stesso fattore \( 2 \). Si ha in conclusione:
\[ 6x^2+10x-4=2(x+2)(3x-1) \]
Esercizio 7
Siamo così arrivati all’ultimo di questi esercizi sul trinomio notevole con somma e prodotto.
\[ 12x^2+33x+21 \]
E’ possibile raccogliere il trinomio per il termine \( 3 \):
\[ 3(4x^2+11x+7) \]
Lavoriamo nel polinomio tra parentesi. Iniziamo a scrivere la scomposizione provvisoria:
\[ (4x\quad)(4x\qquad) \]
Guardando sempre il polinomio tra parentesi (e non quello di partenza), cerchiamo due numeri la cui somma sia \( 11 \) e il cui prodotto sia \( 4 \cdot 7 = 28 \). I due numeri cercati sono \( 7 \) e \( 4 \). Completiamo così la scrittura della scomposizione provvisoria:
\[ (4x+7)(4x+4) \]
Il binomio \( 4x+4 \) deve essere ridotto a \( (x+1) \). Ricordandoci inoltre che abbiamo raccolto all’inizio il polinomio dato per il fattore numerico \( 3 \), si ha in definitiva:
\[ 12x^2+33x+21=3(4x+7)(x+1) \]
Concludiamo qui questa serie di esercizi sul trinomio notevole con somma e prodotto. Vi ricordo che potete verificare i risultati dei vostri esercizi con il comodo tool per scomporre i polinomi online.
Ciao a tutti e, come sempre, buono studio con Altramatica! 🙂