La nozione di grado di un monomio può apparire ostica ma in realtà ci fornisce un’informazione molto chiara: quanti fattori letterali sono presenti in un monomio. La definizione può essere data in due modi poiché possiamo considerare tutti i fattori letterali, oppure soltanto i fattori letterali relativi ad una certa lettera.
Precisiamo che per definire il concetto di grado di un monomio ci riferiremo a monomi interi ridotti in forma normale. Questo è fondamentale, poiché le definizioni che daremo non funzionano per monomi non espressi in forma normale. 😉
Definizione di grado di un monomio
Come abbiamo anticipato, il grado di un monomio ci dice quanti fattori letterali abbiamo in un monomio. Il grado complessivo riguarda tutte le lettere, e quindi considera tutti i fattori letterali, mentre il grado rispetto ad una lettera, come dice il nome, considera soltanto i fattori corrispondenti a quella ben precisa lettera.
Si definisce grado complessivo di un monomio la somma degli esponenti di tutte le lettere in esso presenti. Così, il seguente monomio:
\[ 4x^3y^2 \]
ha grado complessivo pari a \( 3+2=5 \).
Osserviamo che ciò equivale a dire che nel monomio abbiamo cinque fattori letterali. Infatti, si ha:
\[ 4x^3y^2=4 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \]
Ed effettivamente, nel monomio abbiamo proprio cinque fattori letterali (tre fattori \( x \) più due fattori \( y \)). 😉
Si definisce grado di un monomio rispetto ad una lettera l’esponente della lettera stessa nel monomio. Così, ad esempio, il seguente monomio:
\[ 3x^2y^5 \]
ha grado \( 2 \) rispetto alla lettera \( x \), mentre ha grado \( 5 \) rispetto alla lettera \( y \).
Osserviamo che anche il grado di un monomio rispetto ad una lettera ci fornisce delle informazioni sulle quantità di fattori letterali nel monomio. Infatti, nel precedente monomio compaiono esattamente due fattori letterali \( x \) e cinque fattori letterali \( y \). Si ha non a caso:
\[ 3x^2y^5=3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \]
Il grado complessivo di tale monomio sarà invece pari a \( 7 \), poiché tale è la somma di tutti gli esponenti delle sue lettere. Ed infatti, come possiamo vedere, il monomio ha in tutto sette fattori letterali. 😉
Dunque, ricordiamo sempre che il grado di un monomio, sia esso complessivo o riferito ad una lettera, è associato direttamente al numero di fattori letterali (di tutte le lettere o di una certa lettera) presenti nel monomio.
Grado di un monomio nullo e di un monomio costante
Un monomio nullo è un qualsiasi monomio con parte numerica pari a zero. In altre parole, esso coincide con il numero zero. Ad esempio:
\[ 0 \cdot x \cdot y = 0 \]
Un monomio nullo non ha grado.
Un monomio costante è un monomio nel quale si evidenzia la sola parte numerica. Ad esempio, il monomio:
\[ 7 \]
è un monomio costante. Come abbiamo visto nella precedente lezione, questo può essere scritto in infiniti modi, tra i quali ad esempio:
\[ 7 x^0 \cdot y^0 \]
Osserviamo in particolare che gli esponenti delle parti letterali sono zero, per cui diremo che un qualunque monomio costante ha grado pari a zero.
NOTA: il grado complessivo di un monomio si dice anche, semplicemente, grado del monomio.
ESEMPI
Occupiamoci ora di mettere in pratica quanto sin qui appreso. Vediamo di scrivere tutte le informazioni che possiamo riguardo al seguente monomio:
\[ 4x^2y^3z^5 \]
Osserviamo anzitutto che il monomio appare già ridotto a forma normale. Possiamo affermare quanto segue:
- è di secondo grado rispetto alla \( x \), in quanto l’esponente della \( x \) è pari a \( 2 \);
- risulta di terzo grado rispetto alla lettera \( y \), poiché l’esponente della \( y \) è pari a \( 3 \);
- è di quinto grado rispetto alla lettera \( z \), poiché l’esponente della \( z \) è pari a \( 5 \).
Inoltre, il grado complessivo del monomio è pari alla somma degli esponenti di tutte le lettere, quindi \( 2+3+5=10 \). Così, diremo che il grado complessivo del monomio assegnato è pari a dieci (monomio di decimo grado).
Ritroviamo tutto quanto detto considerando i fattori letterali presenti nel monomio. Si ha infatti:
\[ 4x^2y^3z^5=4 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \]
E così, osserviamo immediatamente che abbiamo due fattori \( x \) (monomio di secondo grado rispetto alla \( x \)), tre fattori \( y \) (monomio di terzo grado rispetto alla \( y \)) e cinque fattori \( z \) (monomio di quinto grado rispetto alla \( z \)).
Il monomio è complessivamente di grado decimo poiché effettivamente ha in tutto dieci fattori letterali.
Chiaramente, non è consigliabile riscrivere la parte letterale del monomio come prodotto dei singoli fattori numerici. Tuttavia, un tale approccio è stato qui usato per far meglio comprendere le definizioni. 😉
E se il monomio non è in forma normale?
Se un monomio non è espresso in forma normale, bisogna prima ridurlo in forma normale. Dopo di che, sarà possibile determinarne agevolmente il grado complessivo o rispetto ad una lettera.
ESEMPIO
Consideriamo il monomio non in forma normale:
\[ 2 \cdot x \cdot y^2 \cdot x^3 \cdot 5 \]
Riduciamo prima di tutto il monomio alla forma normale:
\[ 2 \cdot x \cdot y^2 \cdot x^3 \cdot 5=10 x^4 y^2 \]
Ora possiamo trarre le nostre conclusioni. 🙂 In particolare, il grado complessivo del monomio (o semplicemente, grado del monomio) è pari a \( 6 \) (la somma degli esponenti di tutte le lettere è pari a \( 4+2=6 \)). Il grado rispetto alla lettera \( x \) è pari a \( 4 \) (l’esponente della lettera \( x \)) e il grado rispetto alla lettera \( y \) è pari a \( 2 \) (l’esponente della lettera \( y \)).
Per questa lezione è tutto. 🙂 Abbiamo quindi già diverse informazioni per quanto riguarda i monomi. Tuttavia, per il momento abbiamo considerato i monomi unicamente a sé stanti, senza cioè porli in relazione tra loro. Nella prossima lezione parleremo dei monomi simili. In questo modo, stabiliremo delle relazioni fra i monomi e vedremo in particolare quando è possibile sommarli tra loro.
Un saluto a tutti e buono studio con Altramatica!