La formula per scomporre il trinomio caratteristico che presenteremo è valida in generale. Di conseguenza, la formula è applicabile anche nel caso che il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da \( 1 \) (trinomio caratteristico del secondo tipo).
Vediamo allora subito questa formula per scomporre il trinomio caratteristico.
Formula per scomporre il trinomio caratteristico
Sia dato il trinomio:
\[ ax^2+bx+c \]
Ricerchiamo due numeri la cui somma sia pari a \( b \) e il cui prodotto sia pari ad \( a \cdot c \). Indichiamo i due numeri con \( h \) e \( k \).
Ora, fra questi due numeri almeno uno di essi risulterà sempre divisibile per \( a. \) Supponiamo che il numero \( k \) sia divisibile per \( a \).
Sotto queste ipotesi, vale la scomposizione:
\[ ax^2+bx+c=(ax+h)\left(x+\dfrac{k}{a}\right) \]
La relazione appena scritta è la formula per scomporre il trinomio caratteristico.
Osserviamo che per quanto detto la frazione \( \dfrac{k}{a} \) dovrà sempre rappresentare un numero intero. Osserviamo inoltre che una volta utilizzato uno dei due numeri trovati per scrivere la frazione \( \dfrac{k}{a} \), nella restante parte della formula dovremo usare necessariamente l’altro numero.
Una volta fissate queste poche regole, l’applicazione della formula per scomporre il trinomio caratteristico è piuttosto immediata.
Primo esempio sulla formula per scomporre il trinomio caratteristico
Supponiamo di dover scomporre il polinomio:
\[ 2x^2+7x+6\]
Prima di tutto, determiniamo due numeri tali che:
- la loro somma sia pari a \( 7 \), ovvero il coefficiente del termine in \( x \);
- il loro prodotto sia pari a \( 2 \cdot 6 = 12 \), ovvero il prodotto tra il coefficiente del termine in \( x^2 \) e il termine noto.
Ricerchiamo i due numeri tra i divisori positivi e negativi di \( 12 \). Questi sono:
\[ \pm1, \qquad \pm2, \qquad \pm 3, \qquad \pm4, \qquad \pm 6, \qquad \pm 12 \]
Le possibili coppie sono date dal primo numero e l’ultimo, poi dal secondo numero e il penultimo, infine dal terzo numero e il quarto:
E’ piuttosto immediato verificare che la coppia cercata è data dai numeri \( 3 \) e \( 4 \). Infatti \( 3 + 4 = 7 \) e \( 3 \cdot 4 = 12 \).
Ora, il coefficiente in \( x^2 \) del trinomio di partenza è pari a \( 2 \). Per cui, dovremo scegliere tra i due numeri uno tra i due che sia divisibile per \( 2 \). Il numero da scegliere, ovviamente, è \( 4 \). Questo numero dovrà essere utilizzato per costruire la frazione nella formula. L’altro numero \( (3) \) dovrà essere utilizzato esclusivamente nella rimanente parte della formula (infatti \( 3 \) non è divisibile per \( 2 \)).
Ricordiamo la formula generale:
\[ ax^2+bx+c=(ax+h)\left(x+\dfrac{k}{a}\right) \]
Applicata al nostro caso:
\[ 2x^2+7x+6=(2x+3)\cdot\left(x+\dfrac{4}{2} \right)=(2x+3)\cdot(x+2) \]
E potremo scrivere in conclusione la scomposizione cercata:
\[ 2x^2+7x+6=(2x+3)\cdot(x+2) \]
Un ulteriore esempio
Supponiamo di voler scomporre il trinomio:
\[ 12x^2+33x+21 \]
Osserviamo subito che è possibile raccogliere per il fattore numerico \( 3 \):
\[ 12x^2+33x+21=3(4x^2+11x+7) \]
In questo modo, possiamo lavorare con il trinomio \( 4x^2+11x+7 \), e dato che i coefficienti sono più piccoli ci sarà più facile trovare i due numeri “magici”. L’importante è non scordarsi alla fine di moltiplicare per il fattore numerico \( 3 \)! 😉
Cerchiamo così due numeri che abbiano per somma \( 11 \) e per prodotto \( 7 \cdot 4 = 28 \). I due numeri cercati sono \( 7 \) e \( 4 \). Ora, tra i due soltanto \( 4 \) è divisibile per il coefficiente della \( x^2 \). Di conseguenza, applicheremo la formula del trinomio caratteristico come segue, ottenendo:
\[ 4x^2+11x+7=(4x+7)\cdot\left(x+\dfrac{4}{4}\right)=(4x+7)\cdot(x+1) \]
Ricordandoci del fattore numerico con il quale avevamo raccolto il polinomio di partenza, scriviamo in conclusione:
\[ 12x^2+33x+21=3 \cdot (4x+7)(x+1) \]
Per quanto riguarda la formula per scomporre il trinomio caratteristico (o trinomio particolare, o trinomio notevole somma e prodotto) è tutto. Se la formula dovesse risultarvi un po’ ostica da ricordare e/o da applicare nessun problema! 🙂 Qua su Altramatica sono presenti altri due metodi per scomporre il trinomio caratteristico del secondo tipo:
- metodo “classico”, che fa uso di raccoglimenti totali e parziali;
- metodo “alternativo”, che vi permette di scomporre il trinomio particolare semplicemente eseguendo dei raccoglimenti tra fattori esclusivamente numerici.
E infine, è sempre disponibile il tool scomposizione del trinomio caratteristico online con passaggi. Con questo pratico strumento potrete scomporre rapidamente trinomi caratteristici a coefficienti interi. Ciascun passaggio viene visualizzato e pure spiegato, il tutto automaticamente e tra l’altro gratis. 😉
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂