Prima di procedere con gli esercizi sulla scomposizione in fattori dei polinomi, facciamo un breve richiamo sulle potenze di potenze. Se vogliamo fare il cubo del termine \( a ^2\), questo sarà dato da:
\[ (a^2)^3 = a^6 \]
E’ infatti necessario moltiplicare tra loro i due esponenti.
Esercizio 1
Scomporre il polinomio:
\[ 3ay^2+3xy^2-3a^2y^2-3axy^2 \]
Conviene eseguire un raccoglimento totale con il termine \( 3y^2 \). Otteniamo:
\[ 3y^2(a+x-a^2-ax) \]
Possiamo ora eseguire due raccoglimenti parziali nel polinomio tra parentesi. Un raccoglimento sarà fatto con il termine \( a \), un altro con il termine \( x \). Abbiamo:
\[ 3y^2[a(1-a)+x(1-a)] \]
Infine, possiamo effettuare un raccoglimento totale entro le parentesi quadre utilizzando il fattore comune \( (1-a) \):
\[ 3y^2[(1-a)(a+x)] \]
In conclusione, abbiamo eseguito la scomposizione:
\[ 3ay^2+3xy^2-3a^2y^2-3axy^2 = 3y^2(1-a)(a+x) \]
Esercizio 2
Scomporre il polinomio:
\[ 7a^2+7ab-4a(a+b)^2-3a(a+b) \]
Osserviamo che è possibile eseguire due raccoglimenti parziali:
\[ 7a(a+b)+(a+b)[-4a(a+b)-3a] \]
Decidiamo di sviluppare il prodotto all’interno del fattore racchiuso tra le parentesi quadre. Ciò ci tornerà utile per sommare tra loro i monomi simili. Anche la presenza del fattore \( 7a \) a sinistra ci suggerisce di fare questo. Infatti, \( 7a \) è un monomio simile al monomio \( -3a \) che si trova dentro la parentesi quadra. Tutto sarà chiaro in un attimo 😉
\[ 7a(a+b)+(a+b)(-4a^2-4ab-3a) \]
Ora, è possibile raccogliere a fattore comune totale con il termine \( (a+b) \):
\[ (a+b)(7a-4a^2-4ab-3a) \]
Siamo così riusciti a portare \( 7a \) dentro al polinomio che contiene un termine a lui simile 😉 Finalmente possiamo sommare i due monomi:
\[ (a+b)(4a-4a^2-4ab) \]
Possiamo ora fare un raccoglimento totale nel secondo fattore, ottenendo il risultato finale:
\[ (a+b) \cdot 4a \cdot (1-a-b) \]
Il polinomio assegnato può dunque essere scomposto come segue:
\[ 7a^2+7ab-4a(a+b)^2-3a(a+b) = (a+b) \cdot 4a \cdot (1-a-b) \]
Esercizio 3
Scomponiamo il polinomio:
\[ \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}xy+\frac{2}{9}(x-y)^2-\frac{5}{9}x^2+\frac{5}{9}xy \]
Osserviamo con attenzione il polinomio. Vediamo che c’è un fattore \( (x-y)^2 \) che ci fornisce un bel suggerimento. Dobbiamo cercare di lavorare sul polinomio di modo che sia possibile, in un secondo momento, effettuare un raccoglimento a fattore comune con il termine \( (x-y) \) 😉
Il fatto che ci sono delle coppie di monomi con le parti numeriche uguali ci dice in pratica tutto il da farsi:
\[ \frac{1}{3}x(x-y)+\frac{2}{9}(x-y)^2-\frac{5}{9}x(x-y) \]
Tutto come previsto. Ora possiamo fare un raccoglimento totale con il termine \( (x-y) \) 😉
\[ (x-y) \left [\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}(x-y)-\frac{5}{9}x \right ] \]
Conviene eseguire il prodotto dentro le parentesi quadre e quindi sommare i monomi tra loro simili. Otteniamo:
\[ (x-y) \left (\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}x \right ) \]
e quindi:
\[ (x-y) \left (-\frac{2}{9}y \right ) \]
Abbiamo dunque eseguito la scomposizione:
\[ \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}xy+\frac{2}{9}(x-y)^2-\frac{5}{9}x^2+\frac{5}{9}xy=(x-y) \left (-\frac{2}{9}y \right ) \]
Svolgimento alternativo. All’inizio, prima di effettuare i raccoglimenti parziali, avremmo potuto sommare tra loro i monomi simili:
\[ \begin{align} &\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}xy+\frac{2}{9}(x-y)^2-\frac{5}{9}x^2+\frac{5}{9}xy = \\ &= – \frac{2}{9}x^2+ \frac{2}{9}xy+\frac{2}{9}(x-y)^2= \\ &= -\frac{2}{9}x(x-y)+\frac{2}{9}(x-y)^2= \\ &=(x-y)\left(-\frac{2}{9}x+\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}y \right)= \\ &= (x-y)\left(-\frac{2}{9}y \right) \end{align} \]
Esercizio 4
Scomporre il polinomio:
\[ x^{m+2}+x^2y^n-x^my-y^{n+1} \]
Per risolvere l’esercizio, dobbiamo ricordarci le proprietà delle potenze 😉 In particolare, dobbiamo ricordare che vale in generale (prodotto di potenze con la stessa base):
\[ a^m \cdot a^n =a^{(m+n)} \]
Per utilizzare tale uguaglianza per la scomposizione, conviene rileggerla come:
\[ a^{(m+n)}=a^m \cdot a^n \]
Ora siamo pronti per l’esercizio 🙂
Dovremo applicare la detta proprietà delle potenze, quindi eseguire due raccoglimenti parziali, poi un raccoglimento totale:
\[ \begin{align} & x^{m+2}+x^2y^n-x^my-y^{n+1} = \\ & = x^mx^2+x^2y^n-x^my-y^ny= \\ & = x^2(x^m+y^n)-y(x^m+y^n) = \\ & = (x^m+y^n)(x^2-y) \end{align} \]
Esercizio 5
Scomporre il polinomio:
\[ (x-y)^2+2(x-y)+1 \]
L’esercizio si risolve molto velocemente. Basta osservare che il polinomio assegnato è il quadrato di un binomio. Abbiamo infatti i quadrati dei termini \( (x-y) \) e \( 1 \), nonché il loro doppio prodotto (positivo). Possiamo dunque scrivere:
\[ (x-y)^2+2(x-y)+1=[(x-y)+1)^2=(x-y+1)^2 \]
Esercizio 6
Scomporre:
\[ (x+y)^2+4x^2+4x(x+y) \]
Anche questo polinomio può essere scomposto molto rapidamente, osservando che esso rappresenta il quadrato di un binomio, i cui termini sono \( x+y \) e \( 2x \). Infatti, il loro doppio prodotto è proprio il termine \( 4x(x+y) \). Quindi:
\[ (x+y)^2+4x^2+4x(x+y)=[(x+y)+2x]^2=(3x+y)^2 \]
E se non avessimo riconosciuto subito che il polinomio era il quadrato di un binomio? Beh, avremmo dovuto fare un bel po’ di passaggi in più.
Metodo risolutivo più lungo – il quadrato di un binomio non è stato riconosciuto
Riscriviamo per semplicità il polinomio come:
\[ (x+y)^2+4x(x+y)+4x^2 \]
Raccogliamo il termine \( (x+y) \):
\[ (x+y)[(x+y)+4x ]+4x^2 =(x+y)(5x+y)+4x^2 \]
A questo punto, nonostante il nostro obiettivo sia scomporre in fattori, dobbiamo sviluppare il prodotto \( (x+y)(5x+y) \). In questo modo, sarà poi possibile sommare il termine \( 4x^2 \) ad un monomio simile. Quindi:
\[ 5x^2+xy+5xy+y^2+4x^2=9x^2+6xy+y^2 \]
Riconosciamo che il termine ottenuto è un quadrato di un binomio, per cui:
\[ 9x^2+6xy+y^2 = (3x+y)^2 \]
Sebbene con molti più passaggi del necessario, abbiamo comunque eseguito la scomposizione:
\[ (x+y)^2+4x^2+4x(x+y) = (3x+y)^2 \]
Esercizio 7
Scomporre:
\[ (a-1)^2+2(a-1)(a+b)+(a+b)^2 \]
Ci accorgiamo che il polinomio assegnato è il quadrato di un binomio i cui termini sono \( a-1 \) e \( a+b \):
\[ \begin{align} & (a-1)^2+2(a-1)(a+b)+(a+b)^2= \\ & = (a-1+a+b)^2=(2a+b-1)^2 \end{align} \]
Esercizio 8
Scomporre in fattori il polinomio:
\[ (x-\frac{1}{3}y)(a+b)^2+(x-\frac{1}{3}y)(x-y)^2+2(x-\frac{1}{3}y)(a+b)(x-y) \]
Per risolvere l’esercizio, possono essere utili un paio di cosine molto scontate, ma molto utili 😉
Ricordiamo in generale che:
\[ (\sqrt{x})^2 = x \]
o, il che è lo stesso:
\[ \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x \]
Queste precisazioni piuttosto superflue in apparenza sono la chiave per risolvere l’esercizio. Infatti, il polinomio assegnato è uguale al seguente quadrato di un binomio, i cui termini sono \( \left(\sqrt{x-\frac{1}{3}y}\right )(a+b) \) e \( \left(\sqrt{x-\frac{1}{3}y}\right )(x-y) \):
\[ \left[\left (\sqrt{x-\frac{1}{3}y} \right)(a+b)+ \left (\sqrt{x-\frac{1}{3}y} \right)(x-y) \right]^2 \]
Proseguendo con i calcoli:
\[ \left [\left(\sqrt{x-\frac{1}{3}y} \right)(a+b+x-y) \right ]^2=\left(x-\frac{1}{3}y \right )(a+b+x-y)^2 \]
Qui finisce la prima parte degli esercizi sulla scomposizione dei polinomi. Nella seconda parte, applicheremo anche altri metodi di scomposizione. Buono studio! 🙂