Nella lezione considereremo soltanto polinomi in una sola variabile. Così, se in un polinomio incontreremo più lettere, una soltanto sarà una variabile e le altre lettere saranno parametri. Onde evitare confusione, scriveremo talvolta i parametri in maiuscolo. 😉
Vediamo allora il principio di identità dei polinomi, fornendo anche degli esempi.
Polinomi identici
Due polinomi espressi nella stessa variabile si dicono identici se assumono lo stesso valore per ogni valore attribuito alla variabile.
In modo del tutto equivalente, due polinomi espressi nella stessa variabile si dicono identici se e solo se, una volta ridotti in forma normale, sono dello stesso grado e i rispettivi termini di pari grado hanno gli stessi coefficienti.
Principio di identità dei polinomi
Possiamo ora enunciare il principio di identità dei polinomi. Consideriamo il caso di due polinomi espressi nella stessa variabile \( x \).
Due polinomi \( P(x) \) e \( Q(x) \) aventi lo stesso grado \( n \), con:
\[ P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \]
e
\[ Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0 \]
sono tra loro identici se e solo se:
\[ a_i = b_i \quad \forall \: i \in \{0, 1, \dots, n\} \]
Esempio 1
Stabilire per quali valori dei parametri \( A \) e \( B \) i due polinomi entrambi espressi nella variabile \( x \):
\[ 5x^2+4x+7 \]
e:
\[ (A+2)x^2+4Bx+7 \]
sono identici.
Ricordiamo anzitutto che un parametro deve essere trattato come un numero. Per cui, avremo che il coefficiente del termine di secondo grado del secondo polinomio è \( A+2 \) e il coefficiente del termine di primo grado è \( 4B \).
Per il principio di identità dei polinomi, dovremo anzitutto uguagliare i coefficienti dei termini di pari grado dei due polinomi. Poi, procederemo cercando gli eventuali valori dei parametri per i quali le uguaglianze risulteranno verificate.
Dovremo quindi avere:
\[ A+2 = 5 \]
e contemporaneamente:
\[ 4B=4 \]
Possiamo esprimere il fatto che entrambe le condizioni devono valere contemporaneamente utilizzando la congiunzione logica:
\[ A+2 = 5 \quad \wedge \quad 4B= 4 \]
oppure mettendo entrambe le condizioni a sistema:
\[ \begin{cases} A + 2 = 5 \\ \\ 4B = 4\end{cases} \]
Trovare il valore dei parametri è piuttosto immediato in questo caso, ed in particolare le condizioni risultano entrambe soddisfatte dai valori \( A=3 \) e \( B = 1 \). Così, diremo che i polinomi sono identici solo per i valori dei parametri appena trovati.
Esempio 2
Stabilire per quali valori dei parametri \( A\) e \( B \) i seguenti polinomi sono identici:
\[ 24x^2+6x+9; \qquad (A+B)x^2+(A-B)x+9 \]
Dovremo avere:
\[ \begin{cases}24=A+B \\ \\ 6 = A-B \end{cases} \]
Questo è un sistema lineare che possiamo risolvere per sostituzione.
Dalla prima equazione:
\[ A = 24-B \]
Sostituendo nella seconda equazione si ha:
\[ 6=24-B-B \qquad \Rightarrow \qquad B = 9 \]
Infine, sostituendo il valore di \( B \) appena trovato nella prima equazione:
\[ 24=A+9 \qquad \Rightarrow \qquad A=15 \]
Così, i due polinomi sono identici solo per i valori dei parametri \( A=15 \) e \( B = 9 \).
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Polinomi uguali e polinomi identici
In questa parte finale della lezione vediamo di chiarire la differenza tra le definizioni di polinomi uguali e polinomi identici.
Due polinomi si dicono uguali se una volta ridotti in forma normale hanno gli stessi termini.
Così i polinomi:
\[ 3x^2+5x+8 \]
e:
\[ 3x^2+3x+2x+8 \]
non sono al momento uguali poiché hanno termini differenti. Tuttavia, i due polinomi diventano uguali una volta che sommiamo nel secondo polinomio i termini simili.
Osserviamo che i due polinomi, una volta ridotti in forma normale, sono anche identici. Infatti, questi rispettano le condizioni date nel principio di identità dei polinomi, ovvero sono dello stesso grado e i coefficienti dei termini di pari grado sono uguali.
Ora, i polinomi:
\[ 24x^2+6x+9 \]
e:
\[ ax^2+bx^2+ax-bx+9 \]
non sono uguali, e apparentemente nemmeno identici. Tuttavia, proviamo a leggere entrambi i polinomi come espressi nella variabile \( x \). Ora, se nel secondo polinomio eseguiamo due raccoglimenti con i termini \( x^2 \) e \( x \) otteniamo:
\[ ax^2+bx^2+ax-bx+9=(a+b)x^2+(a-b)x+9 \]
NOTA: chi non sa al momento eseguire i raccoglimenti può comunque convincersi facilmente della correttezza del passaggio appena eseguito. Basta infatti osservare che \( (a+b)x^2=ax^2+bx^2 \) e che \( (a-b)x=ax-bx \).
A questo punto, confrontiamo di nuovo i due polinomi dati, considerando però il secondo polinomio nell’ultima forma scritta:
\[ 24x^2+6x+9; \qquad (a+b)x^2+(a-b)x+9 \]
I due polinomi continuano a non essere uguali. Tuttavia, come sappiamo dal secondo esempio svolto poco fa, questi sono identici ponendo \( a=15 \) e \( b=9 \).
Quindi, possiamo concludere che:
- se due polinomi in una stessa variabile sono uguali allora sono anche identici. Vale anche il viceversa: se due polinomi sono identici e sono espressi nella stessa variabile allora sono anche uguali.
- se due polinomi non sono uguali ma sono dello stesso grado rispetto ad una comune variabile, questi potrebbero risultare comunque identici per certi valori di uno o più parametri.
Concludiamo con due ultimi esempi. I polinomi:
\[ 7x^4+3x^3+9x^2+5; \qquad 3x^3+9x^2+5 \]
non sono uguali e nemmeno identici, poiché anche se tutti i termini fino al terzo grado hanno gli stessi coefficienti, il termine in \( x^4 \) ha coefficiente \( 7 \) nel primo polinomio mentre ha coefficiente \( 0 \) nel secondo polinomio.
Infine, i polinomi:
\[ 3x^2+9x+8; \qquad 4x^2+9x+8 \]
non sono uguali e nemmeno identici. E non c’è nessun’altra lettera presente che, vista come parametro, può rendere i polinomi identici per certi suoi valori.
Per questa lezione sul principio di identità dei polinomi è tutto. Nella prossima lezione cominceremo lo studio delle tecniche di scomposizione dei polinomi. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂