Prodotti notevoli (somma per differenza e quadrato di un binomio)

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prodotti notevoli sono particolari prodotti che non vengono calcolati di volta in volta con la regola del prodotto tra polinomi. Piuttosto, si perviene al risultato dei prodotti notevoli ricordandosi a memoria una regola specifica. Ovviamente, quest’ultima consente di arrivare al risultato molto prima della regola generica. E, tra l’altro, con meno possibilità di errore. 😉

Per ciascuno dei prodotti notevoli dovremo individuare la regola di calcolo da utilizzare in base alla forma dei polinomi da moltiplicare. In particolare, come vedremo bisognerà cercare nei polinomi determinate caratteristiche, in modo da associare al prodotto fra polinomi assegnato uno fra i vari prodotti notevoli noti.

In questa lezione introdurremo i seguenti prodotti notevoli:

 

Prodotti notevoli: definizione

Un prodotto notevole è il risultato della moltiplicazione di polinomi che si presentano in una particolare forma.

Prodotto della somma per la differenza tra due monomi

Consideriamo la seguente moltiplicazione fra binomi:

\[ (a+b)\cdot(a-b) \]

Come possiamo vedere, abbiamo il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi (rispettivamente, ​\( a \)​ e ​\( b \)​).

Svolgiamo il prodotto con la regola della moltiplicazione tra polinomi:

\[ (a+b)\cdot(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=\boxed{a^2-b^2} \]

Quindi in generale avremo, indicati con ​\( a \)​ e ​\( b \)​ due qualsiasi monomi:

\[ (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \]

ovvero:

il prodotto della somma per la differenza di due monomi (termini) è pari alla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo termine.

In altre parole, se riconosciamo che nel prodotto tra polinomi abbiamo come fattori la differenza e la somma di due stessi termini, potremo semplicemente calcolare il risultato come indicato, senza usare la regola generica.

Chiaramente, per applicare la regola è importante sapere come calcolare il quadrato di un monomio, che è un caso particolare di potenza di un monomio.

 

Esempio 1

\[ (5x + 2y)(5x-2y) \]

Abbiamo un prodotto tra polinomi nel quale ciascun polinomio ha i termini ​\( 5x \)​ e ​\( 2y \)​. Nel primo polinomio abbiamo la somma dei termini, nel secondo la differenza.  Siamo dunque in presenza di un prodotto notevole: somma per differenza di monomi. Il risultato sarà così dato dalla differenza dei quadrati rispettivamente del primo termine e del secondo termine. Il primo termine è ​\( 5x \)​ (il primo termine che compare nella differenza, il minuendo) mentre il secondo termine è ​\( 2y \)​ (il secondo termine nella differenza, o sottraendo).

Il risultato sarà allora dato dal quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine:

\[ (5x + 2y)(5x-2y)=(5x)^2-(2y)^2=25x^2-4y^2 \]

 

Esempio 2

\[ (a-3)(a+3) \]

Siamo ancora nel caso del prodotto della somma per la differenza di due stessi termini (il termine ​\( a \)​ e il termine ​\( 3 \)​). In realtà, qui abbiamo la differenza per la somma dei due termini, ma come sappiamo per la proprietà commutativa della moltiplicazione è la stessa cosa.

Allora, il risultato sarà anche in questo caso dato dalla differenza dei quadrati dei due termini. Il primo termine nella differenza è ​\( a \)​, il secondo è ​\( 3 \)​, per cui scriveremo:

\[ (a-3)(a+3)=a^2-9 \]

 

Esempio 3

\[ \left(\dfrac{3}{4}a+\dfrac{2}{5}b \right)\cdot \left(\dfrac{3}{4}a-\dfrac{2}{5}b \right) \]

Ormai abbiamo capito la regola. Scriveremo:

\[ \left(\dfrac{3}{4}a+\dfrac{2}{5}b \right)\cdot \left(\dfrac{3}{4}a-\dfrac{2}{5}b \right)=\left(\dfrac{3}{4} \right)^2a^2-\left(\dfrac{2}{5} \right)^2b^2=\dfrac{9}{16}a^2-\dfrac{4}{25}b^2 \]

L’unica differenza rispetto agli altri esempi è data dalla presenza di coefficienti frazionari nei monomi. Serve un ripasso sulle potenze di frazioni?

Veniamo ora un esercizio che può essere ingannevole.

 

Esempio 4

\[ (7+ax)\cdot(ax-7) \]

Il prodotto è notevole poiché abbiamo la somma tra i termini ​\( 7 \)​ e ​\( ax \)​ e la differenza tra questi stessi termini.

In che ordine scriviamo la differenza di quadrati nel risultato? Mettiamo prima il quadrato di ​\( ax \)​ o il quadrato di ​\( 7 \)​? Potremmo avere questo dubbio poiché in un polinomio il primo termine è ​\( 7 \)​ mentre nell’altro il primo termine è ​\( ax \)​.

Per stabilire come scrivere il risultato, dobbiamo guardare il polinomio differenza. In esso, il primo termine (il minuendo) è ​\( ax \)​, mentre il secondo termine (il sottraendo) è ​\( 7 \)​. Così, dovremo scrivere prima il quadrato di ​\( ax \)​, e sottrarre ad esso il quadrato di ​\( 7 \)​. Si ha pertanto:

\[ (7+ax)\cdot(ax-7)=(ax)^2-(7)^2=a^2x^2-49 \]

 

Quadrato di un binomio (prodotti notevoli)

Consideriamo il seguente prodotto tra polinomi:

\[ (a+b)(a+b) \]

Questo si può scrivere, in modo del tutto equivalente, grazie alle potenze:

\[ (a+b)^2 \]

Abbiamo qui considerato il binomio ​\( a+b \)​ come base.

L’espressione ​\( (a+b)^2 \)​ è il quadrato di un binomio. E per quanto detto siamo in grado di calcolarla utilizzando, ancora una volta, la regola generica per la moltiplicazione tra polinomi:

\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+\underline{ab}+\underline{ab}+b^2=\boxed{a^2+2ab+b^2} \]

Così, in generale avremo che:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

ovvero:

il quadrato di un binomio espresso come somma di due termini è pari alla somma del quadrato del primo termine, del doppio prodotto tra i due termini del binomio, e infine del quadrato del secondo termine.

Consideriamo ora il seguente quadrato di un binomio:

\[ (a-b)^2 \]

Possiamo utilizzare la stessa regola appena enunciata, a patto di scriverlo nel seguente modo:

\[ (a+(-b))^2 \]

Abbiamo cioè espresso in modo del tutto equivalente la differenza ​\( a-b \)​ come somma algebrica tra i termini ​\( a \)​ e ​\( -b \)​. Così avremo, applicando la regola appena enunciata per il quadrato di un binomio:

\[ (a+(-b))^2=a^2+2\cdot a\cdot(-b)+(-b)^2=\boxed{a^2-2ab+b^2} \]

Tuttavia, è più comodo considerare la differenza ​\( a-b \)​ piuttosto che la somma algebrica ​\( a+(-b) \)​ ed introdurre la seguente regola:

il quadrato di un binomio espresso come differenza di due termini è pari al quadrato del primo termine, meno il doppio prodotto tra i due termini del binomio, più il quadrato del secondo termine.

Così indicati con ​\( a \)​ e ​\( b \)​ due generici monomi (o termini numerici) si ha:

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

In generale possiamo indicare la regola del quadrato di un binomio come segue:

\[ \boxed{(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2} \]

intendendo che nel risultato compariranno sempre e comunque i termini ​\( +a^2 \)​ e ​\( +b^2 \)​, e che avremo un termine ​\( +2ab \)​ se il binomio è una somma fra termini, mentre avremo un termine ​\( -2ab \)​ se il binomio è espresso come differenza tra termini.

In altre parole, il segno del doppio prodotto è l’unica cosa che cambia e dipende dal segno che separa i due termini nel binomio.

 

Esempio 1

\[ (2a+5)^2 \]

Abbiamo evidentemente il quadrato del binomio ​\( 2a+5 \)​. Poiché i due termini del binomio sono sommati tra loro, il doppio prodotto sarà positivo e scriveremo:

\[ (2a+5)^2=(2a)^2+2\cdot2a\cdot5+5^2=4a^2+20a+25 \]

 

ESEMPIO 2

\[ (5a-7b)^2 \]

L’espressione data è il quadrato del binomio ​\( 5a-7b \)​. Poiché i due termini nel binomio sono separati dal segno meno, il doppio prodotto dovrà essere negativo e si avrà:

\[ (5a-7b)^2=(5a)^2-2\cdot5a\cdot7b+(7b)^2=25a^2-70ab+49b^2 \]

 

Perché c’è il doppio prodotto?

Penso che tutti noi abbiamo pensato, appena fatta la conoscenza del prodotto notevole “quadrato di un binomio”:

ma non basta soltanto fare la somma dei quadrati?

La risposta è no per tre motivi:

  • la regola generica per il calcolo del prodotto fra polinomi ci mostra che il doppio prodotto ci deve essere;
  • se non ci fosse il doppio prodotto, non ci sarebbe differenza alcuna tra i risultati del quadrato del binomio ​\( (a-b) \)​ e del binomio ​\( (a+b) \)​, cosa evidentemente impossibile poiché si tratta di due quantità differenti come valore assoluto (escludiamo ovviamente il caso che uno dei due termini ​\( a, b \)​ sia nullo);
  • l’area di un quadrato avente lato ​\( a+b \)​ non può certo essere ​\( a^2+b^2 \)​.

Con riferimento all’ultimo punto, proviamo a rappresentare un quadrato avente lato ​\( a+b \)​:

 

Prodotti notevoli

Come possiamo vedere chiaramente dalla figura, l’area di un quadrato avente lato ​\( a+b \)​ è pari alla somma di due quadrati aventi lato rispettivamente ​\( a \)​ e ​\( b \)​, più due rettangoli aventi come lati ​\( a \)​ e ​\( b \)​. E tali rettangoli, come è immediato osservare, corrispondono proprio al doppio prodotto.

Ora non ci sono scuse: non dimentichiamo mai di mettere il doppio prodotto nello svolgimento del quadrato di un binomio. 😉

Un altro trucco per non dimenticarsene è quello di evitare scritture quali:

\[ (a+b)=a^2+b^2+2ab \]

La scrittura è indubbiamente corretta… me è troppo facile dimenticarsi del doppio prodotto. Meglio scrivere il doppio prodotto in mezzo ai quadrati. 😉

 

Questa lezione sui primi due prodotti notevoli finisce qua. Nella prossima lezione, vedremo il quadrato di un polinomio (trinomio e quadrinomio).

IMPORTANTE: per gli studenti delle scuole medie, di solito la trattazione dei prodotti notevoli termina con quanto esposto in questa lezione. Gli studenti della scuola media possono quindi passare direttamente a questa ultima lezione sul calcolo letterale: divisione di un polinomio per un monomio.

Ciao a tutti! 🙂