Quindi, calcoleremo la potenza di una frazione algebrica elevando entrambi il numeratore e il denominatore all’esponente dato.
La sostanziale differenza rispetto al caso numerico risiede nel fatto che abbiamo ora quantità letterali. Di conseguenza, nel calcolare le potenze di frazioni algebriche ci ritroveremo a dover lavorare con prodotti notevoli e scomposizioni di polinomi.
Vedremo nel dettaglio gli esponenti negativi interi e razionali quando arriveremo ai radicali. Per il momento, ci basti sapere che ad esempio la scrittura:
\[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} \]
indica il reciproco di una frazione e avremo quindi:
\[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a} \]
Allo stesso modo, nel valutare potenze negative di frazioni algebriche procederemo come segue:
\[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2}=\dfrac{b^2}{a^2} \]
Ciò si giustifica immediatamente osservando che:
\[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1\cdot2}=\left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}\right]^2=\left(\dfrac{b}{a} \right)^2=\dfrac{b^2}{a^2} \]
Abbiamo qui fatto uso della proprietà delle potenze di potenze.
E’ infine importante ricordare la proprietà del prodotto tra potenze di uguale esponente:
\[ a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b ) ^ 2 \]
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, avremo anche ovviamente:
\[ (a \cdot b ) ^ 2 =a^2 \cdot b^2 \]
Potremo così esprimere la potenza del prodotto tra due polinomi come:
\[ \left[p(x) \cdot q(x) \right]^2 = p(x)^2 \cdot q(x)^2 \]
Così ad esempio:
\[ \left[(x-1)(x+1)\right]^2=(x-1)^2\cdot(x+1)^2 \]
Questa considerazione ci sarà molto utile per il calcolo delle potenze delle frazioni algebriche. 😉
Vediamo allora direttamente degli esercizi sul calcolo delle potenze di frazioni algebriche.
Un primo esempio
Calcolare:
\[ \left(\dfrac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}\right)^2 \]
Teoricamente il calcolo si può eseguire elevando subito al quadrato numeratore e denominatore. Tuttavia, ci ritroveremmo in entrambi i casi a dover sviluppare dei quadrati di trinomi. Questo modo di procedere è dunque tutt’altro che rapido. 😉
L’idea pratica è allora quella di scomporre il numeratore e il denominatore della base (ovvero la frazione entro le parentesi tonde) e vedere se è possibile semplificarla. In tal modo alleggeriremo i calcoli.
La frazione presenta al numeratore e al denominatore dei trinomi caratteristici. La scomposizione è la seguente:
\[ \left(\dfrac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}\right)^2=\left[\dfrac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)} \right]^2= \]
Ora vediamo che possiamo semplificare dei fattori tra loro. Proseguiamo i passaggi:
\[ =\left[\dfrac{(x+2)\cancel{(x-1)}}{(x-2)\cancel{(x-1)}} \right]^2=\left[\dfrac{(x+2)}{(x-2)}\right]^2=\dfrac{(x+2)^2}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4x-4} \]
Abbiamo così calcolato la potenza della frazione algebrica di partenza. Grazie alla semplificazione eseguita prima di calcolare le potenze, ce la siamo cavata semplicemente con dei quadrati di binomi.
Per quanto riguarda il campo di esistenza della frazione ottenuta, dobbiamo in questo caso guardare il denominatore della base, scomposto in fattori senza aver ancora eseguito alcuna semplificazione.
Così, nel nostro caso avremo le condizioni di esistenza:
\[ x \neq 2 \quad \wedge \quad x \neq 1 \]
Ulteriori esempi sulle potenze di frazioni algebriche
Vediamo ora degli esempi su come si esegue in pratica il calcolo delle potenze di frazioni algebriche. Nei primi due esempi ci limiteremo al solo calcolo delle potenze di frazioni algebriche. Nei successivi esempi vedremo invece espressioni contenenti potenze e moltiplicazioni.
Tralasceremo per semplicità lo studio delle condizioni di esistenza delle frazioni algebriche, lasciando ovviamente inteso quanto precisato nel precedente paragrafo.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \left[ \dfrac{b^2(x^2-y^2)}{x+y}\right]^4 \]
Anzitutto scomponiamo in fattori la base:
\[ \dfrac{b^2(x^2-y^2)}{x+y}=\dfrac{b^2(x-y)(x+y)}{x+y}=b^2(x-y) \]
Procediamo a questo punto calcolando la potenza con la base così semplificata:
\[ \left[ \dfrac{b^2(x^2-y^2)}{x+y}\right]^4=\left[b^2(x-y) \right]^4=b^8(x-y)^4 \]
E così abbiamo ottenuto il risultato cercato. La potenza \( (x-y)^4 \) viene semplicemente lasciata indicata.
Esempio 2
\[ \left[\dfrac{a^2b-ab^2}{a^2b^2} \right]^3 \]
Lavoriamo come negli altri esempi anzitutto sulla base, ovvero la frazione algebrica dentro le parentesi quadre.
Eseguiamo un raccoglimento al numeratore:
\[ \dfrac{a^2b-ab^2}{a^2b^2}=\dfrac{\cancel{a}\cancel{b}(a-b)}{a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}}=\dfrac{a-b}{ab} \]
Ora possiamo calcolare la potenza più facilmente:
\[ \left[\dfrac{a^2b-ab^2}{a^2b^2} \right]^3=\left(\dfrac{a-b}{ab}\right)^3=\dfrac{(a-b)^3}{(a b)^3}=\dfrac{(a-b)^3}{a^3b^3} \]
Non stiamo a sviluppare il cubo di un binomio al numeratore. Lo lasciamo quindi indicato.
Al denominatore, abbiamo utilizzato una conseguenza della proprietà della moltiplicazione tra potenze di uguale esponente, come spiegato all’inizio della lezione.
Nelle potenze di frazioni algebriche, la pratica di lasciare indicati dei prodotti notevoli senza procedere al loro sviluppo agevola in genere i calcoli nelle espressioni algebriche, come vedremo nel prossimo esempio.
Esempio 3
\[ \left(\dfrac{x-3}{x+3} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{x+3}{x^2-9}\right)^2 \]
Scomponiamo il denominatore della seconda frazione:
\[ \left(\dfrac{x-3}{x+3} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{x+3}{x^2-9}\right)^2=\left(\dfrac{x-3}{x+3} \right)^2 \cdot \left[ \dfrac{x+3}{(x+3)(x-3)}\right]^2 = \]
Proseguiamo con i passaggi calcolando le potenze delle frazioni, lasciando i prodotti notevoli indicati:
\[ \begin{align} & = \dfrac{\cancel{(x-3)^2}}{\cancel{(x+3)^2}}\cdot \dfrac{\cancel{(x+3)^2}}{(x+3)^2 \cdot \cancel{(x-3)^2}} = \\ \\ & = \dfrac{1}{(x+3)^2}\end{align} \]
Abbiamo cioè evitato di sviluppare i prodotti. In questo modo, ci è stato possibile calcolare il risultato effettuando delle semplificazioni a croce.
Osserviamo che abbiamo calcolato la seguente potenza come segue:
\[ \left[ \dfrac{x+3}{(x+3)(x-3)}\right]^2= \dfrac{(x+3)^2}{[(x+3) \cdot (x-3)]^2}=\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)^2(x-3)^2} \]
Abbiamo cioè di nuovo utilizzato, per il denominatore, una conseguenza della proprietà del prodotto tra potenze di uguale esponente.
Esempio 4
Calcolare:
\[ \left(\dfrac{5x+10}{x-2} \right)^3\cdot\left(\dfrac{15x+30}{3x-6} \right)^4 \]
Riduciamo entrambe le basi, poi moltiplichiamo utilizzando le semplificazioni incrociate. Si ha:
\[ \begin{align} &\left(\dfrac{5x+10}{x-2} \right)^3\cdot\left(\dfrac{15x+30}{3x-6} \right)^4=\left[ \dfrac{5(x+2)}{x-2}\right]^3\cdot \left[\dfrac{\cancel{15}^{\small \displaystyle5}(x+2)}{\cancel{3}(x-2)} \right]^4= \\ \\ & = \dfrac{5^3(x+2)^3}{(x-2)^3}\cdot \dfrac{5^4(x+2)^4}{(x-2)^4}=\dfrac{5^7(x+2)^7}{(x-2)^7}\end{align} \]
Ovviamente lasciamo indicate le potenze dei binomi.
Termina così questa lezione sulle potenze di frazioni algebriche. Nella prossima lezione vedremo le espressioni con frazioni algebriche, contenenti tutte e quattro le operazioni più le potenze. Un saluto a tutti voi! 🙂