In questa lezione vediamo le proprietà delle potenze, indispensabili per il calcolo di espressioni numeriche e letterali. Le proprietà delle potenze consentono in particolare di semplificare notevolmente i calcoli nelle espressioni. Di qui la loro utilità nel risolvere un’infinità di problemi, tra cui ovviamente le equazioni.
Qui ci occuperemo di fare un ripasso delle proprietà delle potenze. Altramatica offre inoltre le seguenti lezioni per ulteriori approfondimenti:
Vediamo allora subito le proprietà delle potenze. 🙂
Proprietà delle potenze: tabella riassuntiva
Le proprietà delle potenze legano l’operazione di potenza (elevazione a potenza) ad altre operazioni algebriche, in particolare prodotto e quoziente. Così, le proprietà delle potenze ci consentono di calcolare più rapidamente prodotti e rapporti fra potenze, evitando di dover calcolare singolarmente ciascuna potenza. In tal modo conseguiamo anche il vantaggio di poter operare con quantità numeriche più piccole, alleggerendo i calcoli.
E’ inoltre interessante osservare che esiste un legame anche tra l’operazione di elevazione a potenza e sé stessa. In tal caso parliamo delle potenze di potenze, ed in particolare di una proprietà che facilita l’elevazione a potenza di una quantità che è essa stessa una potenza.
Riportiamo nella seguente tabella le proprietà delle potenze, per poi approfondirle nei paragrafi successivi. Le proprietà che qui presentiamo valgono per numeri naturali, relativi e per quantità letterali.
Proprietà delle potenze: prodotti
Prodotto tra potenze con la stessa base
Date due potenze aventi la stessa base, il loro prodotto è dato da una potenza avente come base la stessa base, e come esponente la somma tra gli esponenti:
\[ a^m\cdot a^n= a^{m+n} \]
Riportiamo alcuni esempi:
\[ \begin{align}& 3^2 \cdot 3^5 = 3 ^{2+5}=3^7 \\ \\ &a^4\cdot a^2 = a^{4+2} = a^6 \\ \\ \end{align} \]
La proprietà si estende anche nel caso del prodotto tra più di due potenze. Ad esempio:
\[ 5^2 \cdot 5^4 \cdot 5^3 = 5^{2+4+3}=5^9 \]
Prodotto tra potenze aventi lo stesso esponente
Date due potenze aventi lo stesso esponente, il loro prodotto è dato da una potenza avente per esponente il comune esponente, e per base il prodotto tra le basi:
\[ a^m \cdot b ^ m = (a \cdot b)^m \]
Ecco alcuni esempi:
\[ \begin{align}& 5 ^ 3 \cdot 9 ^ 3 = (5 \cdot 9) ^ 3= 45^3 \\ \\ &a^5 \cdot b ^5 = (a \cdot b)^5 \end{align} \]
Anche in questo caso la proprietà è valida anche per il prodotto tra più di due potenze:
\[ 3^5 \cdot 4 ^5 \cdot 2^5 = (3 \cdot 4 \cdot 2)^5 = 24^5 \]
Proprietà delle potenze: quozienti (rapporti)
Quoziente tra potenze aventi la stessa base
Il quoziente tra potenze aventi la stessa base è dato da una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti:
\[ a^m : a^n = \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
Osserviamo che nella differenza tra gli esponenti abbiamo come minuendo l’esponente della potenza dividendo o a numeratore e come sottraendo l’esponente della potenza divisore o a denominatore. Attenzione dunque a come scriviamo la differenza tra gli esponenti. 😉
Di nuovo, riportiamo alcuni esempi:
\[ 5^3:5^2 = \dfrac{5^3}{5^2}=5^{3-2}=5^1=5 \]
\[ a^5:a^2=\dfrac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3 \]
Quoziente tra potenze aventi lo stesso esponente
Il quoziente tra potenze aventi lo stesso esponente è dato da una potenza avente come esponente lo stesso esponente e come base il quoziente tra le basi:
\[ a^m:b^m=\dfrac{a^m}{b^m}=\left(\dfrac{a}{b} \right)^{m} \]
Alcuni esempi:
\[ \begin{align} & 5^3:7^3=\dfrac{5^3}{7^3}=\left(\dfrac{5}{7} \right)^3 \\ \\ & a^6:b^6= \dfrac{a^6}{b^6}=\left(\dfrac{a}{b} \right)^6\end{align} \]
Proprietà delle potenze: potenze di potenze
Ed eccoci all’ultima proprietà delle potenze, ovvero le potenze di potenze. L’idea è quella di elevare a potenza una quantità che è a sua volta una potenza:
\[ \left(a^m \right)^n \]
Ciò significa elevare all’esponente \( n \) la quantità \( a^m \), che è già una potenza. Si può dimostrare che si ha:
\[ \left(a^m \right)^n = a ^ {m \cdot n} \]
ovvero la potenza di una potenza è una potenza avente come base la stessa base e come esponente il prodotto tra gli esponenti.
Vediamo anche per questo caso un paio di esempi:
\[ \begin{align}& \left(5^3 \right)^2=5^{3\cdot2} = 5^6 \\ \\ & \left(a^5 \right)^3 = a^ {5 \cdot 3} = a^ {15}\end{align} \]
Dimostrazioni intuitive delle proprietà enunciate
Già abbiamo visto nelle lezioni linkate all’inizio delle dimostrazioni intuitive delle proprietà delle potenze, tuttavia vogliamo qui fare un breve ripasso.
Prestiamo anzitutto attenzione a non confondere quando bisogna sommare gli esponenti tra loro e quando invece bisogna moltiplicarli. In particolare:
- nel caso del prodotto tra potenze aventi la stessa base, il risultato avrà come esponente la somma tra gli esponenti delle potenze di partenza;
- nel caso delle potenze di potenze, il risultato dovrà avere come esponente il prodotto tra gli esponenti.
Ora vediamo di capire il perché di queste regole, in modo da essere ancor più sicuri di non incorrere in errori. 😉
Nel caso del prodotto tra potenze aventi la stessa base, osserviamo ad esempio che si ha:
\[ a^2 \cdot a ^ 3 = a \cdot a \times a\cdot a \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5 = a^{2+3} \]
Infatti \( a^2 = a \cdot a \) e \( a^3 = a \cdot a \cdot a \), in base alla definizione di potenza. Sempre per la definizione di potenza ritroviamo inoltre il risultato finale.
Nel caso della potenza di potenza si ha ad esempio:
\[ (a^3)^2= a^3 \cdot a ^ 3 = a^{3+3} = a ^6 = a^{3 \cdot 2} \]
Il primo passaggio deriva direttamente dalla definizione di potenza (es., \( x^2 = x \cdot x \)). Successivamente abbiamo applicato la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base, ritrovando in conclusione una potenza avente per esponente il prodotto tra gli esponenti di partenza.
Per quanto riguarda le proprietà delle potenze è tutto.
Buon proseguimento su Altramatica!