Poiché la definizione di derivata è basata sul concetto di limite, vedremo che esistono delle definizioni di derivata che sono a loro volta basate sui concetti di limite destro e limite sinistro: la derivata destra e la derivata sinistra. Su questo definiremo proprio la nozione di derivabilità di una funzione in un punto. In particolare, diremo che una funzione è derivabile in un punto se esistono entrambe le derivate destra e sinistra in quel punto.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito cosa si intende per funzione derivabile in un punto e quali sono le condizioni per la derivabilità di una funzione in un punto.
NOTA: come nelle altre lezioni eviteremo l’uso della variabile \( h \) utilizzando sempre il simbolo \( \Delta x \). E’ immediato il passaggio da una notazione all’altra, in modo che potrete adeguarvi facilmente a quanto richiesto dal vostro libro di testo o insegnante. 😉
Derivabilità di una funzione in un punto (funzione derivabile in un punto)
Per comprendere la nozione di derivabilità di una funzione in un punto dobbiamo prima introdurre le definizioni di derivata destra e derivata sinistra di una funzione.
Derivata sinistra di una funzione
Una funzione \( y = f(x) \) ammette derivata sinistra in un punto \( x_0 \) se esiste finito il seguente limite:
\[ \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
In tal caso diremo che la funzione ammette derivata sinistra pari al limite stesso:
\[ f’_{-}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=l_1 \in \mathbb{R} \]
Derivata destra di una funzione
Una funzione \( y = f(x) \) ammette derivata destra in un punto \( x_0 \) se esiste finito il seguente limite:
\[ \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
In tal caso diremo che la funzione ammette derivata destra pari al limite stesso:
\[ f’_{+}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=l_2 \in \mathbb{R} \]
Osserviamo che la derivata sinistra e la derivata destra di una funzione in un punto \( x_0 \), se esistono, sono entrambe dei valori numerici, in generale uno diverso dall’altro (per questo indicati nelle precedenti definizioni come \( l_1 \) e \( l_2 \)).
Se i due valori sono tra loro uguali, diremo che la funzione è derivabile in \( x_0 \), diversamente diremo che una funzione non è derivabile in \( x_0 \).
Ciò discende direttamente dalla definizione di derivata di una funzione in un punto. In particolare, affinché una funzione sia derivabile in un punto dovrà esistere finito il limite:
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x} \]
Ma, applicando al nostro caso la condizione di esistenza di un limite, il precedente limite esisterà finito soltanto se anzitutto esistono entrambi finiti i seguenti limiti sinistro e destro:
\[ \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}= l_1 \in \mathbb{R}; \qquad \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x} = l_2 \in \mathbb{R} \]
e inoltre se detti limiti sono uguali tra loro, ovvero:
\[ l_1 = l_2 \]
In base a quanto detto possiamo introdurre la seguente definizione.
Definizione di funzione derivabile in un punto (condizione per la derivabilità di una funzione in un punto)
Una funzione \( f(x) \) si dice derivabile in un punto \( x_0 \) del suo dominio se:
\[ f’_{-}(x_0) = f’_{+} (x_0) = l \in \mathbb{R} \]
ovvero se esistono entrambe le derivate sinistra e destra nel punto \( x_0 \) e sono tra loro uguali.
In modo del tutto equivalente, possiamo dire che una funzione è derivabile nel punto \( x_0 \) se:
\[ \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x }= \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x }=l \in \mathbb{R} \]
Esempio 1
Stabilire se la funzione \( f(x) = x^3 \) è derivabile nel punto \( x_0 = 2 \).
Per risolvere il problema dobbiamo considerare entrambi i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale per \( \Delta x \) che tende a zero rispettivamente da sinistra e da destra. Si tratterà in particolare di verificare che entrambi i limiti esistano finiti e che siano tra loro uguali. Procediamo:
\[ \begin{align}& \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}= \\ \\ & = \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{(2+\Delta x)^3-2^3}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0^{-}}\dfrac{\cancel{8}+12\Delta x+ 6 (\Delta x)^2+(\Delta x)^3-\cancel{8}}{\Delta x} = \\ \\ & = \lim_{\Delta x \to 0^{-}}\dfrac{12 \Delta x}{\Delta x} = 12 \end{align} \]
Il risultato si giustifica poiché ci ritroviamo al numeratore dell’argomento del limite esclusivamente con quantità infinitesime per \( \Delta x \to 0 \). La parte principale degli infinitesimi è così data dall’infinitesimo di ordine inferiore (quello di grado più piccolo). Così, al numeratore è rimasto il solo termine \( 12 \Delta x \), da cui il risultato ottenuto.
Vediamo ora il limite destro:
\[ \begin{align}& \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }= \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}= \\ \\ & = \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{(2+\Delta x)^3-2^3}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0^{+}}\dfrac{\cancel{8}+12\Delta x+ 6 (\Delta x)^2+(\Delta x)^3-\cancel{8}}{\Delta x} = \\ \\ & = \lim_{\Delta x \to 0^{+}}\dfrac{12 \Delta x}{\Delta x} = 12 \end{align} \]
Entrambi i limiti sono finiti ed uguali tra loro, di conseguenza la funzione \( x^3 \) è in conclusione derivabile nel punto \( x_0 = 2 \).
Esempio 2
Stabilire se la funzione \( y=|x-2| \) è derivabile in \( x_0 = 2 \).
Per la definizione di modulo abbiamo:
\[ |x-2| = \begin{cases}x – 2 \qquad x \geq 2 \\ \\ 2-x \qquad x<2 \end{cases} \]
Poiché abbiamo \( x_0 = 2 \) evidentemente risulta \( x_0 + \Delta x = 2+ \Delta x \).
Osserviamo che per \( \Delta x < 0 \) la quantità \( 2+ \Delta x \) è minore di \( 2 \), mentre per \( \Delta x > 0 \) la quantità \( 2 + \Delta x \) è maggiore di \( 2 \). Di conseguenza, per valutare la quantità \( f(2+ \Delta x) \) in caso di \( \Delta x \) negativo dovremo considerare la funzione \( f(x) = 2-x \), mentre per valutare quella stessa quantità nel caso di \( \Delta x \) positivo dovremo invece considerare la funzione \( y=x-2 \).
Osserviamo inoltre che \( \Delta x \) è negativo quando \( \Delta x \to 0^- \), mentre è positivo quando \( \Delta x \to 0 ^+ \). Così, dovremo considerare la funzione \( 2-x \) per il limite sinistro e la funzione \( x-2 \) per il limite destro.
Si ha:
\[ \small \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{2-(x_0+\Delta x)-(2-x_0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{2-2-\Delta x – 2 + 2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{-\Delta x}{\Delta x}=-1 \]
e:
\[ \small \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{(x_0+\Delta x)-2-(x_0-2)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{2+ \Delta x-2-2+2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{\Delta x}{\Delta x}=1 \]
Come possiamo vedere i due limiti esistono ma hanno valori differenti. Di conseguenza la funzione \( y=|x-2| \) non è derivabile in \( x_0 = 2 \).
Per quanto riguarda questa lezione sulla derivabilità di una funzione in un punto è tutto. Nella prossima lezione vedremo il legame tra derivabilità e continuità di una funzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂