Ci proponiamo ora di introdurre le definizioni di funzioni crescenti e decrescenti. Queste definizioni saranno per noi importanti in modo da poter poi comprendere quali informazioni può darci lo studio del segno della derivata prima per l‘individuazione dei punti di massimo e minimo locali.
Osserviamo che una stessa funzione può essere crescente in un intervallo e decrescente in un altro intervallo. Di conseguenza, non considereremo necessariamente due differenti funzioni una crescente e l’altra decrescente, ma potremo ritrovare queste nozioni in una stessa funzione.
Concluderemo la lezione mostrando la relazione che interviene tra segno della derivata prima di una funzione e crescenza/decrescenza in senso stretto e non della funzione stessa.
Vediamo allora subito le definizioni di funzioni crescenti e decrescenti.
Funzione strettamente crescente
Una funzione \( f(x):D_f \subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R} \) si dice strettamente crescente nell’intervallo \( [a,b]\subseteq D_f \), se dati \( x_1, \: x_2 \in [a,b] \) con \( x_1 < x_2 \), si ha:
\[ f(x_2)>f(x_1) \]
Funzione strettamente decrescente
Una funzione \( f(x):D_f \subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R} \) si dice strettamente decrescente nell’intervallo \( [a,b]\subseteq D_f \), se dati \( x_1, \: x_2 \in [a,b] \) con \( x_1 < x_2 \), si ha:
\[ f(x_2)<f(x_1) \]
NOTA: può essere utile chiarire che le condizioni appena esposte devono valere per una qualunque coppia di valori \( x_1 \) e \( x_2 \) tra loro distinti e appartenenti all’intervallo \( [a,b] \).
Funzioni crescenti e strettamente crescenti, decrescenti e strettamente decrescenti
Se nelle precedenti disuguaglianze \( f(x_2)>f(x_1) \) e \( f(x_2)<f(x_1) \) includiamo anche l’uguaglianza, modificando opportunamente le precedenti definizioni otteniamo rispettivamente le nozioni di funzione crescente e decrescente (non strettamente). In tal caso omettiamo l’avverbio “strettamente” poiché le funzioni possono essere nell’intervallo considerato anche costanti (quindi rispettivamente “strettamente crescenti e/o costanti”, “strettamente decrescenti e/o costanti”). Se qualcosa non è chiaro niente panico, vedremo tra poco queste definizioni in modo più preciso. 😉
Ciò che ci proporremo immediatamente a seguire è stabilire un criterio per capire in quali intervalli una data funzione risulta strettamente crescente ed in quali intervalli questa risulta strettamente decrescente.
Successivamente estenderemo il discorso al caso di funzioni che possono risultare in un dato intervallo “strettamente crescenti e/o costanti”, “strettamente decrescenti e/o costanti”.
Teorema (funzioni crescenti e decrescenti)
Sia \( f(x) \) una funzione reale di variabile reale continua nell’intervallo \( [a,b] \) e derivabile in \( ]a,b[ \).
- Se \( f'(x)> 0 \) per ogni \( x \) dell’intervallo \( ]a,b[ \), allora \( f(x) \) è strettamente crescente in \( [a,b] \);
- se \( f'(x)<0 \) per ogni \( x \) dell’intervallo \( ]a,b[ \), allora \( f(x) \) è strettamente decrescente in \( [a,b] \).
Il teorema evidenza chiaramente la relazione tra segno della derivata prima e crescenza/decrescenza di una funzione in un dato intervallo. In altre parole, se in un intervallo la derivata prima di una funzione è positiva, allora in tale intervallo la funzione è strettamente crescente. Se invece in un intervallo la derivata prima di una funzione è negativa, allora la funzione sempre in tale intervallo è strettamente decrescente.
Dimostrazione
Cominciamo dal primo punto.
Supponiamo che sia \( x_1 < x_2 \), con \( x_1, x_2 \in [a,b] \). Per dimostrare la tesi dobbiamo dimostrare che la funzione risulta strettamente crescente nell’intervallo \( [a,b] \). Dovremo quindi dimostrare che si ha \( f(x_2)>f(x_1) \).
Poiché per le ipotesi che abbiamo indicato la funzione soddisfa il teorema del valor medio (o teorema di Lagrange), dovrà essere:
\[ \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c) \]
con \( \: x_1 < c < \: x_2 \). Osserviamo che la precedente si può riscrivere come:
\[ f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1) \]
ma poiché come detto all’inizio \( x_1 < x_2 \) avremo che il fattore \( x_2-x_1 \) a secondo membro della precedente uguaglianza è positivo. Inoltre, \( f'(c) \) è maggiore di zero per l’ipotesi nell’enunciato. Di conseguenza, il secondo membro è positivo e quindi sarà positivo anche il primo membro dell’uguaglianza:
\[ f(x_2)-f(x_1)>0 \]
pertanto:
\[ f(x_2)>f(x_1) \]
per cui abbiamo che per le ipotesi dette la funzione effettivamente risulta strettamente crescente. Di conseguenza in merito al punto 1 il teorema è dimostrato.
Veniamo ora al secondo punto, la cui dimostrazione è del tutto analoga al primo.
Supponiamo che sia \( x_1 < x_2 \), con \( x_1, x_2 \in [a,b] \). Per dimostrare la tesi dobbiamo dimostrare che la funzione risulta strettamente decrescente nell’intervallo \( [a,b] \). Dovremo quindi dimostrare che si ha \( f(x_2)<f(x_1) \).
Poiché per le ipotesi che abbiamo indicato la funzione soddisfa il teorema del valor medio, dovrà essere, esattamente come al precedente punto:
\[ f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1) \]
con \( \: x_1 < c < \: x_2 \).
Ma poiché come detto all’inizio \( x_1 < x_2 \) avremo che il fattore \( x_2-x_1 \) a secondo membro della precedente uguaglianza è positivo. Inoltre, \( f'(c) \) è minore di zero per l’ipotesi nell’enunciato. Di conseguenza, il secondo membro è negativo e quindi sarà negativo anche il primo membro dell’uguaglianza:
\[ f(x_2)-f(x_1)<0 \]
pertanto:
\[ f(x_2)<f(x_1) \]
per cui abbiamo che per le ipotesi dette la funzione effettivamente risulta strettamente decrescente. Di conseguenza il teorema risulta dimostrato anche in merito al punto 2.
Vogliamo ora considerare funzioni che in un dato intervallo possano ad esempio risultare anche non strettamente crescenti o decrescenti. Incontriamo questa necessità al fine di poter studiare funzioni delle forme più generali. Possiamo allora estendere il teorema precedente come segue.
Teorema (funzioni crescenti e decrescenti anche non strettamente)
Sia \( f(x) \) una funzione reale di variabile reale continua nell’intervallo \( [a,b] \) e derivabile in \( ]a,b[ \).
- Se \( f'(x)> 0 \) per ogni \( x \) dell’intervallo \( ]a,b[ \), allora \( f(x) \) è strettamente crescente in \( [a,b] \);
- se \( f'(x)<0 \) per ogni \( x \) dell’intervallo \( ]a,b[ \), allora \( f(x) \) è strettamente decrescente in \( [a,b] \);
- qualora \( f'(x) \geq 0 \) per ogni \( x \) dell’intervallo \( ]a,b[ \), allora \( f(x) \) è strettamente crescente e/o costante in \( [a,b] \) (monotona non decrescente);
- se \( f'(x) \leq 0 \) per ogni \( x \) dell’intervallo \( ]a,b[ \), allora \( f(x) \) è strettamente decrescente e/o costante in \( [a,b] \) (monotona non crescente);
- se \( f'(x) = 0 \) per ogni \( x \in ]a,b[ \) allora \( f(x) \) è costante in \( [a,b] \).
NOTA: con i termini intuitivi strettamente decrescente e/o costante, strettamente crescente e/o costante intendiamo riferirci rispettivamente alle definizioni più rigorose di funzione monotona non crescente e monotona non decrescente. Dal punto di vista grafico ci riferiamo cioè a casi del tipo i seguenti:
La versione estesa del teorema sulle funzioni crescenti/decrescenti si giustifica grazie al seguente teorema.
Teorema (funzione con derivata nulla in un intervallo)
Supponiamo di avere una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \) e avente derivata prima nulla in ogni punto dell’intervallo \( ]a,b[ \).
Allora la funzione è costante in \( [a,b] \).
Grazie a questo teorema comprendiamo che in un qualsiasi intervallo ove sia \( f'(x) = 0 \) per ciascun punto dell’intervallo stesso, la funzione \( f(x) \) è costante. Di qui i punti 3, 4 e 5 del teorema esteso sulla crescenza/decrescenza delle funzioni.
In particolare, il punto 5 si ottiene direttamente dal presente teorema. I punti 3, 4 si ottengono infine confrontando la regola del punto 5 con le regole dei punti 1 e 2.
Dimostrazione (teorema sulla funzione con derivata nulla in un intervallo)
Sia \( c \in ]a,b[ \). Applichiamo il teorema di Lagrange all’intervallo \( [a,c] \). Si ha:
\[ f(c) = f(a)+(c-a)f'(x_0) \qquad (*) \]
ove \( x_0 \) è un opportuno punto dell’intervallo \( ]a,x[ \). Ma poiché per ipotesi la derivata prima della funzione è sempre nulla, avremo che \( f'(x_0)=0 \) e dalla \( * \) consegue \( f(c)=f(a) \).
La funzione è pertanto costante in \( [a,b] \) poiché il suo valore \( f(c) \) in qualsiasi punto \( c \) è uguale alla costante \( f(a) \). Di qui la tesi. 😉
Per quanto riguarda le funzioni crescenti e decrescenti e i relativi teoremi è tutto. Abbiamo così visto l’importante legame che intercorre tra crescenza/decrescenza di una funzione e derivata prima.
Nella prossima lezione arriveremo finalmente al punto cruciale, ovvero all’individuazione dei punti di massimo e minimo locali mediante lo studio della derivata prima. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂