In questa lezione vedremo come determinare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Precisiamo fin da subito che per “equazione di una retta” intendiamo l’espressione di una funzione tale per cui le coppie \( (x, f(x)) \) sono tutte punti della retta assegnata.
La presente lezione fornisce così una pratica applicazione del significato geometrico della derivata di una funzione in un punto. Questa infatti rappresenta proprio il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
Come vedremo, il concetto chiave è dato dall’equazione della retta avente coefficiente \( m \) e passante per un punto \( (x_0, f(x_0)) \). Dopo di che, dovremo essere in grado di calcolare la derivata prima della funzione. Per fare questo, basterà utilizzare le regole di derivazione o, per chi ancora non le conosce, la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
Una volta nota la funzione derivata, otterremo il coefficiente angolare della retta tangente semplicemente valutando tale funzione derivata nel punto \( (x_0, y_0) \).
A questo punto, disponendo di tutti gli elementi necessari potremo scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto \( (x_0, y_0) \).
Su Altramatica è anche disponibile il pratico tool: determinare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto.
Vediamo allora subito come determinare la retta tangente al grafico di una funzione in un punto, mostrando anche un semplice esempio pratico.
Determinazione della forma generale dell’equazione di una retta tangente al grafico di una funzione noti un punto per il quale passa la retta e il suo coefficiente angolare
L’equazione di una retta passante per un certo punto \( (x_0, y_0) \) e avente coefficiente angolare \( m \) è data da:
\[ y-y_0 = m (x – x_0) \qquad (*) \]
Per il significato geometrico della derivata di una funzione, si ha:
\[ m=f'(x_0) \]
In altre parole, la derivata di una funzione in un punto è uguale al coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto.
Così, una volta trovata \( f'(x) \) sarà possibile valutare \( f'(x_0) \), che è il coefficiente angolare \( m \). L’equazione (*) diviene così:
\[ y-y_0 = f'(x_0) (x-x_0) \]
ovvero, eseguendo la moltiplicazione a secondo membro:
\[ y-y_0 = f'(x_0) x – f'(x_0) x_0 \]
Trasportando il termine \( -y_0 \) al secondo membro:
\[ y = f'(x_0) x – f'(x_0) x_0+y_0 \]
e poiché \( y_0 = f(x_0) \) otteniamo in conclusione:
\[ \boxed{y = f'(x_0) x – f'(x_0) x_0+y_0} \qquad (**) \]
Questa è l’equazione della retta tangente al grafico della funzione \( f(x) \) nel punto \( (x_0, f(x_0)) \).
Così, per risolvere i problemi che richiedono di determinare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un dato punto possiamo certamente ricordare a memoria la formula appena scritta. Tuttavia, onde evitare tale sforzo è anche possibile (e consigliabile) ripetere adattandolo al caso specifico il procedimento che abbiamo seguito nel caso generale. Nell’esempio a seguire useremo proprio questo secondo metodo.
Esempio pratico
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione \( y=x^3 \) nel suo punto di ascissa \( x_0 = \dfrac{1}{2} \).
Prima di tutto dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione \( y = x^3 \). Per chi conosce le regole di derivazione il calcolo è piuttosto immediato ed otteniamo \( f'(x)=3x^2 \).
Per chi non conosce le regole di derivazione, possiamo comunque calcolare la derivata utilizzando la definizione di derivata come limite per \( \Delta x \to 0 \) del rapporto incrementale \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x}. \) Riportiamo questa procedura sotto spoiler, poiché ha soltanto una valenza teorica. Infatti, il metodo pratico da utilizzare negli esercizi è quello che utilizza le regole di derivazione. Studieremo le regole di derivazione a partire dalla prossima lezione. 😉
Cominciamo calcolando il solo rapporto incrementale:
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
Nel nostro caso, poiché \( f(x) = x^3 \) si ha:
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x} \]
Facciamo i calcoli relativamente al solo secondo membro della precedente uguaglianza. Osserviamo che per calcolare il termine \( (x+\Delta x)^3 \) dobbiamo ricordare la regola del cubo di un binomio. Si ha:
\[ \begin{align}&\dfrac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}=\dfrac{\cancel{x^3}+3x(\Delta x)^2+3x^2\cdot\Delta x +(\Delta x)^3-\cancel{x^3}}{\Delta x} = \\ \\ & =\dfrac{3x\left[(\Delta x)^2+x \Delta x) \right] +(\Delta x)^3}{\Delta x} \end{align} \]
Così intanto abbiamo:
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{3x\left[(\Delta x)^2+x \Delta x) \right] +(\Delta x)^3}{\Delta x} \]
Poiché vogliamo calcolare la derivata della funzione dobbiamo passare al limite:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{3x\left[(\Delta x)^2+x \Delta x) \right] +(\Delta x)^3}{\Delta x} \]
Calcoliamo separatamente il limite. Per le proprietà delle operazioni tra limiti si ha:
\[ \small {\begin{align} & \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{3x\left[(\Delta x)^2+x \Delta x) \right] +(\Delta x)^3}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}3x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\Delta x)^2+x \Delta x}{\Delta x}+ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\Delta x)^3}{\Delta x}= \end{align}} \]
Per proseguire con i passaggi, osserviamo che l’argomento del primo limite \( 3x \) è una costante rispetto a \( \Delta x \). Così avremo che \( \displaystyle{\lim_{\Delta x \to 0} 3x = 3x} \). Quindi:
\[ \begin{align} & = 3x \cdot \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{\cancel{\Delta x}(\Delta x + x)}{\cancel{\Delta x}} +\lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x) ^ 2 = \\ \\ & = 3x \cdot\left(\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} x \right) = 3x \cdot (0+x) = 3x^2 \end{align} \]
Per giustificare l’ultimo passaggio ottenuto è utile osservare che il termine \( x \) è costante rispetto a \( \Delta x \). Di conseguenza \( \displaystyle{\lim_{\Delta x \to 0} x}=x \).
Così abbiamo:
\[ \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2 \]
e infine per la definizione di derivata:
\[ f'(x)=3x^2 \]
Abbiamo così ritrovato grazie alla definizione di derivata lo stesso risultato che si ottiene applicando le regole di derivazione. 😉
Ora si tratta di valutare la funzione derivata appena ottenuta per \( x_0 = \dfrac{1}{2} \). Si ha:
\[ f'(x_0) = 3(x_0)^2=3 \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \]
E poiché per il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto \( f'(x_0) = m \), abbiamo che \( m = \dfrac{3}{4} \).
Il punto nel grafico della funzione \( y = x^3 \) avente ascissa \( x_0 = \dfrac{1}{2} \) avrà ordinata \( y_0 = (x_0)^3=\left( \dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8} \). Così dovremo scrivere in conclusione l’equazione della retta avente coefficiente angolare \( m=\dfrac{3}{4} \) e passante per il punto \( \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8} \right) \).
Come sappiamo l’equazione di una retta passante per un punto ed avente coefficiente angolare \( m \) è data da:
\[ y-y_0 = m (x- x_0) \]
Sostituendo i valori numerici a noi noti otteniamo:
\[ y-\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4}\left( x- \dfrac{1}{2}\right) \]
e quindi:
\[ y = \dfrac{3}{4}x – \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8} \]
ovvero:
\[ y = \dfrac{3}{4}x -\dfrac{1}{4} \]
e questa è l’equazione cercata. 😉
Disegnando la funzione e la retta tangente che abbiamo trovato otteniamo una conferma del risultato ottenuto:
Per questa lezione sulla determinazione dell’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto è tutto. Vi ricordiamo il pratico tool: determinare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto.
Nella prossima lezione vedremo il concetto di derivabilità di una funzione (quando una funzione è derivabile) Ciao a tutti e buon proseguimento su Altramatica. 🙂